Skala

W czasach kiedy studiowałem, a i dzisiaj też, choć nie jest to już pierwszorzędny hit naukowy, jednym z najmodniejszych tematów były fraktale i teoria chaosu. Oba te zagadnienia są ściśle pokrewne (fraktale pojawiają się w sposób naturalny w modelach tzw. deterministycznego chaosu) i poza wartością ściśle naukową są prowokacyjne intelektualnie i estetycznie. Stanowią wyzwanie filozoficzne ale stały się też posiłkiem wyobraźni masowej.
Nie ma jednej definicji fraktala, choć nazwa (ang. fractal pochodzi od łacińskiego "fractus" i ma ten sam źródłosłów co "fraction " - ułamek) trochę nam w zrozumieniu o co chodzi pomaga. A chodzi mianowicie o kwestię stosunku w jakim pozostaje część obiektu geometrycznego do całości. Definicja wikipedyjna wymienia 5 cech "fraktalności", z których tu intetresuje mnie tu teraz tylko pierwsza, a mianowicie pewna bogactwo struktury obiektu w dowolnie małej skali. Z pewnością dla osoby oglądającej sobie fraktale jak np. zbiór Mandelbrota (nb. twórcy nazwy i pojęcia fraktal) dla doznąń estetycznych, najlepiej przy użyciu jakiegoś sprytnego oprogramowania pozwalającego na zasadzie cudownego mikroskopu niegraniczenie przybliżać fragmenty fraktala, jest to cecha czyniąca całą zabawę fascynującą, dostarczającą przyjemności podobnych do zapomnianego już prawie urządzenia zwanego kalejdoskopem. Ona więc najbardziej rzuca się w oczy.
Ale gdy zajmowałem się fraktalami na studiach, ten aspekt "fraktalności" był w zasadzie pomijany. Pewnie dlatego, że jest najtrudniejszy do uchwycenia w przeciwieństwie do np. samopodobieństwa czy ściśle już liczbowych własności nie dających się w ogóle przełożyć prosty na język potoczny jak np relacja między wymiarem topologicznym i wymiarem Hausdorffa.

Zwróciłem uwagę na kluczowość cechy "bogactwa struktury" dla traktowania fraktali jako narzędzia badania rzeczywistości trochę na zasadzie małego olśnienia gdy czytałem w książkę Edwarda O. Wilsona "Różnorodność życia". W jednym z fragmentów, przywołuje on tam obraz obraz kory wielkiego tropikalnego drzewa, na której żyją organizmy różnych rozmiarów - od "makroskopowych" owadów przez mikroskopowych rozmiarów owady po roztocza i w końcu baktere czy pierwotniaki. Dla każdego z nich, powierzchnia drzewa jest światem o skończonej powierzchni, ale powierzchnia wymierzana skalą tych zwierząt jest coraz większa. To co wielki żuk potraktuje jako nieco tylko chropowatą ale równą powierzchnię dla roztoczy będzie krajobrazem z górami i dolinami. To odwołuje się do takiej "bajkowej", dziecięcej wyobrażni, i dobrze ilustruje ideę. Jest też w pewnej sprzeczności z wizją fraktala jako tworu samopodobnego, ponieważ zależnie od skali pojawiają się nam różne (a w każdym razie niekoniecznie takie same) perspektywy i inne, jakże do siebie niepodobne obrazy. Tym niemniej struktura na każdym poziomie jest bogata.

Ciekawi mnie ujawnianie się pewnych struktur zależnie od skali. Mezokosmos, czyli ta cześć rzeczywistości, która mierzona jest skalą ludzką zajmuje niewiele miejsca na osi możliwych "wielkości". Praktyczna działalność człowieka dostrzegalna jest w trochę szerszym zakresie, Dopiero od niedawna spojrzenie przez silny mikroskop może nas skłonić do podejrzeń, że to na co patrzymy to twór sztuczny. Jeszcze 60 lat temu sztuczność struktury praktycznie nie ujawniała się na tym poziomie. Dziś, patrząc na układ scalony wysokiej skali integracji dostrzeżemy wytwory z łatwością dające się zakwalifikować jako sztuczne - coś niby miasta. Idąc w drugą stronę, oddalimy się z wolna od ziemi i z wysokości setek kilometrów, wytwory ludzkiej techniki są coraz trudniej dostrzegalne, w końcu zostaje tylko wielki mur, kanał sueski, światła miast. Dalej, w skalach kosmicznych, redukujemy się do punktu, potem nasze słońce redukuje się dp punktu itd.
Mamy pojęcie o tym gdzie więc rozciągają sie skale w których pracowite łapki i wiecznie kombinujące główki odciskują swoje piętno. Ale, ale - skąd niby, gdybyśmy sami nie wybudowali czy nie stworzyli tych wszystkich sztucznosci, mielibyśmy wiedzieć, że są one rzeczywiście sztuczne?
To kolejny ciekawy problem. Weźmy problem N ciał. Mechanika klasyczna, Newton. Ogólne rozwiązanie analityczne w postaci ładnego wzoru oczywiście nie istnieje. Skomplikowany taniec punktów materialnych, w ogólnym przypadku jest chaotyczny i szczelnie wypełnia tą część przestrzeni fazowej zbudowanej z możliwych pędów i położeń która odpowiada stałej energii równej energii warunku początkowego. Takim światem w przybliżeniu jest układ słoneczny - jego stabilność nie udowodniona przecież a postulowana jako rzecz warta dowodu już przez Pierre Simone'a de Laplace'a - może okazać się krótkim okresem w stosunku do innego teoretyczno-mechanicznego scenariusza w którym zaczną się dziwaczne wywijasy (byleby energia była stała!). Ba - na pewno wręcz! Że tak teoretycznie się stanie - uczy nas choćby twierdzenie Poincare o powracaniu tyle tylko że czasy przewidywane przez teorię na zajście jakichś drastycznych zmian wyglądają na długawe w porównaniu z wiekiem wszechświata. Dla naszej cywilizacji jednak bieg planet kryje w sobie nie ukryte zalążki chaosu ale Harmonia Mundi - muzykę sfer. Dzieło Boga w najczystszej postaci. OK kryło.
W słynnym epitafium Pope'a:

"Nature and nature's laws lay hid in night;
God said 'Let Newton be' and all was light."

czai się zalążek kolejnego wielkiego filozoficznego sporu - czy Bóg stworzył i kieruje światem, czy tylko stworzył prawa nim rządzące i puścił wszystko w ruch. Z pewnego punktu widzenia, chciałoby się zapytać: really all was light ? To również jest kwestia skali i pewnego poziomu abstrakcji myślenia - tyle, że to nie mój spór i nie mój problem - dzięki Bogu!