Dowiedziałem się, że elektrownie szczytowo-pompowe (takie jak na górze Żar) służą (nie jest to oczywiście ich podstawowa funkcja) w przypadku wielkich awarii w sieci energetycznej, kiedy wyłączają się całe elektrownie do ponownego rozruchu systemu. By bowiem uruchomić bloki energetyczne często potrzebna jest już spora energia. Wtedy zmagazynowana w takiej elektrowni woda służy do wygenerowania energii elektrycznej, która inicjuje resztę systemu. Jeśli więc przejść, prawem przenośni, od sytemu energetycznego do bloga, Homo Sapie... przeżywał kilkumiesięczną przerwę w działaniu i jakiś odpowiednik - coś małego na początek by system wprawić w ruch - elektrowni szczytowo pompowej mu się należy. Niech będzie to niniejszy krótki post (wybaczcie pewną sztywność i nieporadność stylistyczną - wyszedłem nieco z wprawy).
Tym razem rekomendacja: w dzisiejszym skrócie z arXiv zauważyłem bardzo interesującą króciutką pracę przeglądową Adama Grygiela dotycząca osiągnięć w Teorii Liczb na przestrzeni dekady 1999-2009. Omówienie podzielono zgodnie z dość powszechnie przyjętą klasyfikacją Mathematical Review. Praca jest naprawdę zwięzła i najlepiej przeczytać ją całą samemu - ja napisze tylko o moich osobistych refleksjach.
Co do części pierwszej poświęconej elementarnej teorii liczb kompletnie umknęło mojej uwadze rozwiązanie hipotezy Sierpińskiego dotyczącej rozwiązań równania z funkcją Eulera w roli głównej. Dziwne, choć rok publikacji 1999 - to środek okresu kilku lat absolutnego chaosu w moim życiu prywatnym i zawodowym, więc poniekąd czuję się usprawiedliwony.
Wzmiankowane w rozdziale “Sequences and Set of Integers” prace Gowersa, Greena i Tao są być może najbardziej spopularyzowanymi spośród omawianych wyników. W tych okolicach plasowały się w ostatnich latach Medale Fieldsa. Poza tym wspomniani matematycy prowadzą intensywną działalność popularyzatorsko-publicystyczną i Internecie, co przyczynia się również do popularności wiedzy o tych rezultatach. Niemniej jednak w metodach które kryją się za tymi wynikami czai się w moim odczuciu potężna siła. Z pierwocinami niektórych z nich (na ile cokolwiek rozumiem z tych metod) zetknąłem się w czasach studenckich intensywnie przeglądając książkę Furstenberga “Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory”. Temat , choć jak wielu innych nie przetrawiłem go wówczas dogłębnie, wydał mi się fascynujący. Szczególnie w owym czasie przypadł mi do gustu dowód Furstenberga twierdzenia Van der Waerdena o postępach arytmetycznych. Po wielu latach poznałem z uroczej książeczki Chińczyna orygianlny dowód Van der Waerdena - sprytny, ale nie dał mi takiej satysfakcji jak Furstenberga. Twórcze rozwinięcie tych metod - to teraźniejszość i chyba przyszłość. Tego się warto nauczyć...
W dziale “Diophantine equations” - wielki sukces ostatnich lat czyli udowodnienie przez Mihailescu hipotezy Catalana. Zadziwiające, że poszło to metodami algebraicznymi (z którymi u mnie kiepsko). Kiedyś może spróbuję się zmierzyć z tym dowodem. Niemniej jednak zapoczątkowane przez Gelfonda potem rozwinięte przez Bakera a potem drążone przez Tijdemana metody analityczne, które zdawały się podchodzić tuż, tuż mimo, ze zawiodły wciąż mają moim zdaniem swój potencjał. Lubię je, bo sam ich kiedyś użyłem w małej co prawda sprawie, ale zawsze ;).
O dziale “Analytic numbers theory” za wiele nie umiem powiedzieć, poza tym, że o hipotezie Schinzla oczywiście słyszałem (i ona bardziej chyba niż słynny problem Colatza zasługuje na słowa Erdosa, ze jest poza zasiegiem współczesnej matematyki). Podobnie słyszałem wcześniej o wynikach Goldstona, Pintza i Yıldırıma o małych odstępach między liczbami pierwszymi, ale chyba nie doceniłem wagi wyniku.
Ostani dział, czyli obliczeniowa teoria liczb - trudno dziś o tym nic nie wiedzieć. To być może najbardziej praktyczny aspekt teorii liczb dzisiaj. Testy pierwszości o których mowa są bardzo wyrafinowane. To wyzwanie dla matematyków i informatyków. Przez nagminność stosowania teorioliczbowych metod w kryptografii dotykają te zagadnienia samych podstaw funkcjonowania masowej telekomunikacji w obecnym kształcie we współczesnym świecie. Ale mnie, szczerze mówiąc, jakoś ten temat dziś nie bardzo pociąga. Inaczej było wiele lat temu, gdy rozpoczynałem pracę - wtedy podniecał mnie dużo bardziej.
Na koniec refleksja natury ogólniejszej - artykuł został złożony do American Mathematical Monthly (więc pisma popularnego) ale wcześniej ukazał się w Wiadomościach Matematycznych po polsku. Szkoda, że nie propaguje się i nie promuje piśmiennictwa matematycznego w Polsce i po polsku należycie. Do Wiadomosci Matematycznych trudno się dostać a upubliczniają artykuły z dużym opóźnieniem. IMHO to kompletnie bez sensu. Jest to chyba jedyne polskie pismo które drukuje na poziomie popularnym ale dla matematyków i bardziej wyrobionych amatorów. Sporo wyżej niż nieoceniona Delta, ale jednak nie jest to periodyk stricte badawczy. Odczuwam dotkliwy deficyt “w tym segmencie rynku” w naszym kraju. Poza tym: czy ktoś słyszał o jakimś blogującym na bieżące tematy matematyku w tym kraju ? Po polsku - znalazł by się jeden (patrz rekomendacje blogów na marginesie). Ale newsy z pola walki ? - skazani jesteśmy na anglojęzyczne publikacje, blogi itp. Szkoda. Ale rozumiem...
Jeszcze jedna uwaga. Takie sympatyczne prace z krótkim omówieniem jak ta o której piszę szybko zostają zauważone - bo pozwalają ludziom zerknąć na trochę bardziej panoramiczny, choć mocno okrojony co do szczegółów obrazek. W moich twittowych subskrybcjach już ktoś o niej napomknął. Dla amatorów takich jak ja - zawsze wielka radość móc się z takim materiałem zapoznać. Co i moim porzuconym na miesiące czytelnikom polecam. Praca tu: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1010/1010.2484v1.pdf
2010-07-09
Mundialowe dylematy
Z Mundialem mam zawiły kibicowsko-rodzinno-moralny problem. Otóż, nie znam się w ogóle na piłce, a właściwie na żadnym sporcie. A moi teściowie są namiętnymi widzami wszelkich widowisk sportowych. Można sobie wyobrazić - mówmy wprost - pewien rodzaj politowania, jaki okazują osoby, które czują się ekspertami dla dajmy na to towarzysza przy stole który nie jest w stanie sklecić zdania na dany temat bez popadania w rażący błąd lub absolutną śmieszność.
Będąc z wizytą u nich w okolicach początku mistrzostw, żeby nie wyjść na kompletnego idiotę, który nie ma żadnego zdania, palnąłem w rozmowie, że wygra Holandia. Oczywiście pokiwano głową nad moim matołectwem i wszyscy zapomnieliśmy o sprawie. Tu zaczyna się dramat. Los chciał, że nieszczęsna Holandia doszła do finału. Wyobraźcie sobie jaka nadzieja we mnie wstąpiła, jak ostrzyłem sobie kły na ciętą ripostę. I co się dowiaduję od małżonki która rozmawiała z rodzicami telefonicznie..., że obecnie utrzymują, że od początku mówili, że wygra Holandia.
Teraz nie wiem, czy kibicować Holandii i w razie jej wygranej mieć satysfakcję z fuksem, bo fuksem, ale trafnie wytypowanego wyniku, czy Hiszpanii i w razie jej wygranej mieć satysfakcję, że jednak im się nie udało wytypować (choć ten typ to oczywiste fałszerstwo).
Z drugiej strony - ktokolwiek nie wygra, będę miał jakiś powód do zadowolenia...
Będąc z wizytą u nich w okolicach początku mistrzostw, żeby nie wyjść na kompletnego idiotę, który nie ma żadnego zdania, palnąłem w rozmowie, że wygra Holandia. Oczywiście pokiwano głową nad moim matołectwem i wszyscy zapomnieliśmy o sprawie. Tu zaczyna się dramat. Los chciał, że nieszczęsna Holandia doszła do finału. Wyobraźcie sobie jaka nadzieja we mnie wstąpiła, jak ostrzyłem sobie kły na ciętą ripostę. I co się dowiaduję od małżonki która rozmawiała z rodzicami telefonicznie..., że obecnie utrzymują, że od początku mówili, że wygra Holandia.
Teraz nie wiem, czy kibicować Holandii i w razie jej wygranej mieć satysfakcję z fuksem, bo fuksem, ale trafnie wytypowanego wyniku, czy Hiszpanii i w razie jej wygranej mieć satysfakcję, że jednak im się nie udało wytypować (choć ten typ to oczywiste fałszerstwo).
Z drugiej strony - ktokolwiek nie wygra, będę miał jakiś powód do zadowolenia...
2010-06-29
Natręctwo
Dręczy mnie mały problem matematyczny - nie wiem czy trudny (jak bym znał rozwiązanie to bym wiedział, ale wtedy bym nie pytał). Zgaduje, że jest znany w folklorze matematycznym. Prześladuje na tyle natrętnie, że przeszkadza mi trochę w pracy, więc postanowiłem się chociaż cześciowo uwolnić dzieląc się nim.
Zatem:
Na płaszczyźnie euklidesowej, dla zbioru ograniczonego S przez szerokość S w kierunku X gdzie X jest dowolną prosta, rozumiem kres dolny odległości prostych prostopadłych do X takich, że S mieści się w pasie między nimi. Oznaczmy go W(S,X).
Ograniczę się do zbiorów S będących homeomorficznymi obrazami okręgu - krzywych zamkniętych bez samoprzecięć. Dla S1 , S2 równość funkcji W(S1 , _) ≡ W(S2, _) na ogół nie oznacza, że S1 jest przystające do S2 . Najprostsze kontrprzykłady to krzywe niewypukłe, np brzeg kwadratu z małym wcięciem “do środka” na jednym z boków. Ale wypukłość też nie daje gwarancji - przykładem okrąg i trójkąt Roleaux (ten od silnika Wankla) o szerokości równej średnicy okręgu.
Pytanie jakie mnie nurtuje: A co jeżeli założmy, że krzywa jest wypukła (ogranicza obszar wypukły) i gładka (tzn. jest gładkim włożeniem okręgu) ? Czy wtedy W(S1 , _) ≡ W(S2, _) gwarantuje przystawanie S1 i S2 ?
Zatem:
Na płaszczyźnie euklidesowej, dla zbioru ograniczonego S przez szerokość S w kierunku X gdzie X jest dowolną prosta, rozumiem kres dolny odległości prostych prostopadłych do X takich, że S mieści się w pasie między nimi. Oznaczmy go W(S,X).
Ograniczę się do zbiorów S będących homeomorficznymi obrazami okręgu - krzywych zamkniętych bez samoprzecięć. Dla S1 , S2 równość funkcji W(S1 , _) ≡ W(S2, _) na ogół nie oznacza, że S1 jest przystające do S2 . Najprostsze kontrprzykłady to krzywe niewypukłe, np brzeg kwadratu z małym wcięciem “do środka” na jednym z boków. Ale wypukłość też nie daje gwarancji - przykładem okrąg i trójkąt Roleaux (ten od silnika Wankla) o szerokości równej średnicy okręgu.
Pytanie jakie mnie nurtuje: A co jeżeli założmy, że krzywa jest wypukła (ogranicza obszar wypukły) i gładka (tzn. jest gładkim włożeniem okręgu) ? Czy wtedy W(S1 , _) ≡ W(S2, _) gwarantuje przystawanie S1 i S2 ?
2010-06-10
Świeżo po lekturze
Po świetnym doświadczeniu jakim była lektura książki Fefermanów "Tarski", postanowiłem kontynuować w tym duchu, tj. wziąć na warsztat kolejną biografię. Kandydatka miętosiła się na półce od kilku ładnych lat (bodaj od 2003 roku) i niepokoiła trochę moje sumienie, dostałem ją bowiem w prezencie od żony i zamiast od razu przeczytać zakisiłem.
Rzecz nosi tytuł "Pan Bóg jest wyrafinowany. Nauka i życie Alberta Einsteina" i jest autorstwa Abrahama Pais i jest jak sam tytuł wskazuje biografią Einsteina.
Bez przeciągania powiem: rzecz jest świetna, trudna i wymagająca. Słowo biografia właściwie nie do końca do niej pasuje. Gdyby wypreparować treść jakiej się zwykle spodziewamy po biografiach - zostało by nam ok 30 procent objętości książki. Od razu powiem, że nie wynika to z braku drobiazgowości autora (choć zestawiając z biografią Tarskiego, Pais bardzo zadbał o prywatność Einsteina) - widać wyraźnie, że starał się nie pominąć żadnego z ważnych w życiu Einsteina wydarzeń ani żadnej z ważnych osób, poświecając każdej z nich i jej relacjom z Einsteinem stosownej miary miejsce w książce. Niewątpliwie jednak to na czym skupił się najbardziej to dzieło naukowe Einsteina: jego miejsce i rola w nauce. Odbija się to wyraźnie w organizacji książki. Podstawowym planem jest podział na wielkie zagadnienia jakim się uczony zajmował i ponieważ taki podział częściowo kłóci się z chronologią samego życiorysu, poświęcona została ona właśnie - stąd pewne przeploty i powtórzenia. Dołączono jednak na końcu kalendarium ktore znakomicie pozwala po przeczytaniu uporządkować sobie wszystko
Najciekawsze jest owe 70 procent stanowiące detaliczny opis fizyki jaką uprawiał Einstein. Welkie tamaty ujęte są z w następującej kolejności: mechanika statystyczna i ugruntowanie atomowej teorii budowy materii, szczególna teoria względności, ogólna teoria względności, jednolita teoria pola i teoria kwantów.
W każdym z "działów" podano stan wiedzy aktualny w czasach bezpośrednio poprzedzających Einsteina, wkład jego samego, omówienie specyfiki jego akurat pracy, konsekwencje i rozwój danej dziedziny po Einsteinie często do czasów mniej więcej pierwszego wydania książki (tj. do lat 80 -tych). Pisząc o stanie wiedzy nie mówię o popularnym omówieniu. Tu tkwi trudność ale i piękno książki: omawia się konkretne eksperymenty i równania wraz z krótkimi wyprowadzeniami. Podobnie prezentuje się dokonania samego Einsteina. Omawia się szczegółowo współzależność prac - co pozwala lepiej zoorientować się w kwestiach dość kontrowersyjnych. Należą do nich np. kwestionowanie pierszeństwa Einsteina w odkryciu szczególnej teorii względności na rzecz Lorentza lub Poincare (o czym czasem słychać), czy rewolucyjna rola uczonego w tzw. pierwszej teorii kwantów. Omawiając prace Einsteina autor nie stroni od opisywania błędnych ścieżek kiedy Einstein czasem się zapędza, czasem wycofuje, zwyczajnie błądzi a czasem błyska zupełnie zaskakującą intuicją.
Naukowe życie Einsteina pełne jest dramatycznch zupełnie napięć. Po słynnym anno mirabilis (1905) kiedy z dziecinną niemal łatwością produkuje Einstein kilka rewolucyjnych zupełnie prac w tym tą o szczególnej teorii względności następuje kilka lat wytężonej pracy by skleić zasadę względności z dynamiką. Einstein - obdarzony zupełnie niesamowitą intuicją fizyczną odnajduje matematykę, a konkretniej geometrię Riemanna (właściwie w jego kontekście Minkowskiego-Riemanna) w którą nareszcie jest w stanie ubrać swoje intuicje tworząc ogólną teorię względności.
Podobnie dramatycznie wygląda sprawa teorii kwantów, której podwaliny tworzy zajmując się oddziaływaniem promieniowania i materii a potem wyjaśniając np. niewytłumaczalne na bazie klasycznej fizyki anomalie związane z ciepłem właściwym ciał stałych czy w końcu postulując kwantową naturę światła i wyjaśniając efekt fotoelektryczny. Otóż w ciągu dekady rodzi się zupełnie nowa fizyka - druga teoria kwantów czyli mechanika kwantowa w dzisiejszym rozumieniu - na którą z powodów filozoficznych nigdy nie godzi się jako na teorię fundamentalną, ze względu na wyróżnioną i podstawową w niej rolę przypadku i prawdopodobieństwa. Mamy więc Einsteina który przeorał fizykę stanowiąc cezurę między XIX i XX wiekiem, zostawiając fizyków starej daty osłupiałych i nie mogących się pogodzić z nowym obrazem świata i Einsteina który w tej jednej dziedzinie stoi w ich roli kiedy obraz świata po raz wtóry zostaje obrócony na nice. Fascynujące.
Również trzydziestoletnia bez mała walka o jednolitą teorię pola - wyrosłą albo przynajmniej podsycana przez ową niezgodę - którą prowadził samotnie oddalając się od mainstreamu do samej śmierci. Wielkie i heroiczne - szczególnie w świetle tego co osiągnął wcześniej.
Ksiązka, jako się rzekło, jest bardzo trudna dla kogoś kto nie zna się na fizyce albo zna się tak powierzchownie jak ja. Nie wszystkie argumenty zrozumiałem, większości wyprowadzeń w ogóle albo bardzo prymitywnie, od strony formalnej jeno, nie łapiąc do końca treści fizycznej. W sumie nic dziwnego. To nie podręcznik przecież. Trud brnięcia przez tą treść bardzo się jednak opłaca, bo na kilka spraw oczy mi się otworzyły i jednak z tego mozołu może jakiś pożytek będzie. W każdym razie walczyłem twardo. Polska redakcja zawiera błędy we wzorach. Wyłapałem kilka - tam gdzie coś rozumiałem, albo gdzie bił po oczach.
Bezcenną rzeczą - że będę zmierzał do końca - jest podglądniecie tej wielkiej postaci przy pracy. Zobaczenie pewnych chwytów które stosuje, rozumowań. Dla mnie było to szczególnie ciekawe, bo nigdy nie miałem jakoś szczególnie rozwiniętej intuicji fizycznej a mogłem zobaczyć ją w działaniu. Np. piękne fragmenty dotyczące pierwszych przyczynków do ogólnej teorii względności, małe modele myślowe które buduje a w które nie są jeszcze tak nieprawdziwe by odbiegały znacząco od rzeczywistości opisywanej znaną już teorią a w których mogłyby się już ujawnić nowe szukane jej aspekty. Zresztą wiele innych temu podobnych miejsc.
Jeszcze jedno - czuję trochę niedosyt jeśli chodzi o omówienie patentów i technicznych innowacji uzyskanych przez Einsteina i współpracowników. Jest trochę, ale chciałoby się o niektórych tych zabawkach wiedzieć więcej.
Słowem: z czystym sumieniem polecam książkę. Ale niekoniecznie na wakacjach...
P.S. Parę lat temu w jakimś supermarkecie widziałem egzemplarz tej książki za jedną dziesiątą ceny jaką zapłaciła moja żona. Był to chyba jedyny raz kiedy książka w której pojawiają się równania Einsteina pojawiła się w takim miejscu...
Rzecz nosi tytuł "Pan Bóg jest wyrafinowany. Nauka i życie Alberta Einsteina" i jest autorstwa Abrahama Pais i jest jak sam tytuł wskazuje biografią Einsteina.
Bez przeciągania powiem: rzecz jest świetna, trudna i wymagająca. Słowo biografia właściwie nie do końca do niej pasuje. Gdyby wypreparować treść jakiej się zwykle spodziewamy po biografiach - zostało by nam ok 30 procent objętości książki. Od razu powiem, że nie wynika to z braku drobiazgowości autora (choć zestawiając z biografią Tarskiego, Pais bardzo zadbał o prywatność Einsteina) - widać wyraźnie, że starał się nie pominąć żadnego z ważnych w życiu Einsteina wydarzeń ani żadnej z ważnych osób, poświecając każdej z nich i jej relacjom z Einsteinem stosownej miary miejsce w książce. Niewątpliwie jednak to na czym skupił się najbardziej to dzieło naukowe Einsteina: jego miejsce i rola w nauce. Odbija się to wyraźnie w organizacji książki. Podstawowym planem jest podział na wielkie zagadnienia jakim się uczony zajmował i ponieważ taki podział częściowo kłóci się z chronologią samego życiorysu, poświęcona została ona właśnie - stąd pewne przeploty i powtórzenia. Dołączono jednak na końcu kalendarium ktore znakomicie pozwala po przeczytaniu uporządkować sobie wszystko
Najciekawsze jest owe 70 procent stanowiące detaliczny opis fizyki jaką uprawiał Einstein. Welkie tamaty ujęte są z w następującej kolejności: mechanika statystyczna i ugruntowanie atomowej teorii budowy materii, szczególna teoria względności, ogólna teoria względności, jednolita teoria pola i teoria kwantów.
W każdym z "działów" podano stan wiedzy aktualny w czasach bezpośrednio poprzedzających Einsteina, wkład jego samego, omówienie specyfiki jego akurat pracy, konsekwencje i rozwój danej dziedziny po Einsteinie często do czasów mniej więcej pierwszego wydania książki (tj. do lat 80 -tych). Pisząc o stanie wiedzy nie mówię o popularnym omówieniu. Tu tkwi trudność ale i piękno książki: omawia się konkretne eksperymenty i równania wraz z krótkimi wyprowadzeniami. Podobnie prezentuje się dokonania samego Einsteina. Omawia się szczegółowo współzależność prac - co pozwala lepiej zoorientować się w kwestiach dość kontrowersyjnych. Należą do nich np. kwestionowanie pierszeństwa Einsteina w odkryciu szczególnej teorii względności na rzecz Lorentza lub Poincare (o czym czasem słychać), czy rewolucyjna rola uczonego w tzw. pierwszej teorii kwantów. Omawiając prace Einsteina autor nie stroni od opisywania błędnych ścieżek kiedy Einstein czasem się zapędza, czasem wycofuje, zwyczajnie błądzi a czasem błyska zupełnie zaskakującą intuicją.
Naukowe życie Einsteina pełne jest dramatycznch zupełnie napięć. Po słynnym anno mirabilis (1905) kiedy z dziecinną niemal łatwością produkuje Einstein kilka rewolucyjnych zupełnie prac w tym tą o szczególnej teorii względności następuje kilka lat wytężonej pracy by skleić zasadę względności z dynamiką. Einstein - obdarzony zupełnie niesamowitą intuicją fizyczną odnajduje matematykę, a konkretniej geometrię Riemanna (właściwie w jego kontekście Minkowskiego-Riemanna) w którą nareszcie jest w stanie ubrać swoje intuicje tworząc ogólną teorię względności.
Podobnie dramatycznie wygląda sprawa teorii kwantów, której podwaliny tworzy zajmując się oddziaływaniem promieniowania i materii a potem wyjaśniając np. niewytłumaczalne na bazie klasycznej fizyki anomalie związane z ciepłem właściwym ciał stałych czy w końcu postulując kwantową naturę światła i wyjaśniając efekt fotoelektryczny. Otóż w ciągu dekady rodzi się zupełnie nowa fizyka - druga teoria kwantów czyli mechanika kwantowa w dzisiejszym rozumieniu - na którą z powodów filozoficznych nigdy nie godzi się jako na teorię fundamentalną, ze względu na wyróżnioną i podstawową w niej rolę przypadku i prawdopodobieństwa. Mamy więc Einsteina który przeorał fizykę stanowiąc cezurę między XIX i XX wiekiem, zostawiając fizyków starej daty osłupiałych i nie mogących się pogodzić z nowym obrazem świata i Einsteina który w tej jednej dziedzinie stoi w ich roli kiedy obraz świata po raz wtóry zostaje obrócony na nice. Fascynujące.
Również trzydziestoletnia bez mała walka o jednolitą teorię pola - wyrosłą albo przynajmniej podsycana przez ową niezgodę - którą prowadził samotnie oddalając się od mainstreamu do samej śmierci. Wielkie i heroiczne - szczególnie w świetle tego co osiągnął wcześniej.
Ksiązka, jako się rzekło, jest bardzo trudna dla kogoś kto nie zna się na fizyce albo zna się tak powierzchownie jak ja. Nie wszystkie argumenty zrozumiałem, większości wyprowadzeń w ogóle albo bardzo prymitywnie, od strony formalnej jeno, nie łapiąc do końca treści fizycznej. W sumie nic dziwnego. To nie podręcznik przecież. Trud brnięcia przez tą treść bardzo się jednak opłaca, bo na kilka spraw oczy mi się otworzyły i jednak z tego mozołu może jakiś pożytek będzie. W każdym razie walczyłem twardo. Polska redakcja zawiera błędy we wzorach. Wyłapałem kilka - tam gdzie coś rozumiałem, albo gdzie bił po oczach.
Bezcenną rzeczą - że będę zmierzał do końca - jest podglądniecie tej wielkiej postaci przy pracy. Zobaczenie pewnych chwytów które stosuje, rozumowań. Dla mnie było to szczególnie ciekawe, bo nigdy nie miałem jakoś szczególnie rozwiniętej intuicji fizycznej a mogłem zobaczyć ją w działaniu. Np. piękne fragmenty dotyczące pierwszych przyczynków do ogólnej teorii względności, małe modele myślowe które buduje a w które nie są jeszcze tak nieprawdziwe by odbiegały znacząco od rzeczywistości opisywanej znaną już teorią a w których mogłyby się już ujawnić nowe szukane jej aspekty. Zresztą wiele innych temu podobnych miejsc.
Jeszcze jedno - czuję trochę niedosyt jeśli chodzi o omówienie patentów i technicznych innowacji uzyskanych przez Einsteina i współpracowników. Jest trochę, ale chciałoby się o niektórych tych zabawkach wiedzieć więcej.
Słowem: z czystym sumieniem polecam książkę. Ale niekoniecznie na wakacjach...
P.S. Parę lat temu w jakimś supermarkecie widziałem egzemplarz tej książki za jedną dziesiątą ceny jaką zapłaciła moja żona. Był to chyba jedyny raz kiedy książka w której pojawiają się równania Einsteina pojawiła się w takim miejscu...
2010-06-02
Newton, Pascal i hermeneutyka - witajcie w świecie 4G
Mimo, że skończyłem szkołę w odległych i coraz szybciej, niestety, oddalających się czasach, pojęcie lektury obowiązkowej nie stało mi się obce. Tak więc, poza rzeczami które czytam z ciekawości, z chęci wzbogacenia poglądów, dla nauki, dla przyjemności, ze snobizmu etc. etc. zdarza mi się czytać rzeczy po prostu z obowiązku. Ostatnia lektura, która poczatkowo wydawała mi się koszmarnie nudna ale ciekawość moja rosła i wciąż rośnie oraz pojawiają się pewne oznaki satysfakcji z niej, to pewne fragmenty dokumentu o wiele mówiącym oznaczeniu 3GPP TS 36.213 V8.8.0 (2009-09) .
Tu dygresja: studiowanie dokumentów opisujących standardy telekomunikacyjne ma w sobie coś z sztuki walki, coś z rozwiązywania rebusa i coś ze studiowania świętej księgi. Zatem: Środki retoryczne jakimi posługują się autorzy owych dzieł ograniczają się zwykle do nadużywania trybu rozkazującego ("X shall Y..." - "Zaprawdę powiadam Ci, X będzie Y..." ). Powtarzalność schematów zdań ukrywa nagłe zwroty akcji. Jakakolwiek motywacja działań bohaterów jest szczelnie zakryta przed czytelnikiem. Zrozumienie wymaga długotrwałych medytacji i skomplikowanych egzegez. Wrogiem jest montonia, nuda, nieuwaga. Piszący owe standardy, w końcu, często nadzwyczaj jednostronnie biorą sobie do serca uwagę Gaussa o "zwiezłości, cesze którą należy brać pod rozwagę tak bardzo jak to możliwe".
Szczególnym gatunkiem owej literatury, do których przynależy i przywołany przeze mnie dokument, są opisy standardów komunikacji bezprzewodowej. Kapryśna i ograniczona natura medium i nieustający głód szybkości, pojemności i niezawodności prowadzi do tworzenia skomplikowanych piętrowych konstrukcji, nad którymi władzę absolutną sprawują Oszczędność, Zapobiegliwość i Kompromis.
Wracając do mojej lektury, okazuje się, że aby zadość uczynić surowym prawom owych trzech władców nadzwyczaj często należy uciec się do fortelu a pomocnikiem jest matematyka. O jednym fortelu , na który się natknąłem opowiem, bo to proste, ciekawe i - przynajmniej dla mnie - zaskakujące. Istotę tego fortelu należy jednak dopiero wyłuskać z opisu. Rzecz podana została bowiem do wierzenia.
Pomedytujmy, nad następującymi wersetami (przy okazji będącymi typową próbką stylu):
Co się za tym kryje. Otóż, chodzi o metodę pozwalającą w możliwie najzwięźlejszy sposób przekazać informację o wybranym M-elementowym podzbiorze w uporządkowanym zbiorze N - elementowym. Zakładamy przy tym, że obie strony znają N i M.
Uwaga - w dalszym ciągu na oznaczenie symbolu Newtona przyjmę (NM) - oznacza "N po M". Stosuję też konwencję jak w artykule (tj. dla N <>NM) = 0).
Jak możnaby to zrobić? Pierwszy pomysł to wziąć N bitów i zapalić odpwiednie M z nich (stworzyć mapę bitową), następnie przesłać taką liczbę binarną. Ale, N może być duże i przesłać musielibyśmy wiele liczb. Ba, ten sposób pomija zupełnie informację, że M jest ustalone i potrzebuje więc zwykle [log2N]+1 (czasem tylko log2N) bitów ale wykorzystuje tylko (NM)/2N część owej przestrzeni możliwych map bitowych. Z punktu widzenia królowej Oszczędności sytuacja niedopuszczalna.
Możnaby z drugiej strony - korzystając z faktu, że jest (N M) kombinacji N elementów z M elementów - wymyślić jakąkolwiek funkcję przypisującą liczbom od 0 do (N M) -1 stosowny zbiór, umówić obie strony zeby ją znały i używały. Musielibyśmy wówczas jednak wymyślić bardzo wiele takich funkcji dla różnych par N i M - Zapobiegliwość nie byłaby z nas zadowolona.
Kompromisu w takich sytuacjach nakazuje s: znajdźmy uniwersalny sposób kodowania. Fortel - i mamy metodę opisaną w standardzie. Poniżej zajmę się jej objaśnieniem:
Po pierwsze, przypomnijmy sobie wzór dotyczący symbolu Newtona - nb. kluczowy dla konstrukcji trójkąta Pascala:
(n k) + (n k-1) = (n+1 k) (*)
Po drugie zauważmy, że jezeli n > m to
(n k) >= (m k) (**)
To łatwo udowodnić indukcją (zadanie licealne) albo zobaczyć od razu (stosując indukcję niejako niejawnie) z (*). Po prostu
(n k) = (n-1 k) + (n-1k-1) = (n-2 k) + (n-2 k-1) + (n-1 k-1) = [powtarzamy rozwinięcie pierwszego składnika] = (m k) + C
które to C jest >=0 (> 0 jeśli n > k).
Po trzecie zauważmy, że:
(N-1 M) + (N-2 M-1) +... + (N-M 1) = (N M) -1 (***)
Tym razem: szybka ale trochę fikuśna indukcja:
Oznaczmy F(n,m) = (n-1 m) + ... + (n-m 1)
Wtedy:
F(n,1) = (n-1 1) = n = (n 1) -1
Załóżmy, że dla ustalonego n i m F(n-1,m-1) = (n-1 m-1) -1
Wtedy F(n,m) = (n-1 m) + F(n-1, m-1) = (n-1 m) + (n-1 m-1) - 1 = (n m) -1
(ponownie z (*) )
Teraz prosto do tajemnicy naszego indeksu.
Weżmy jakiekolwiek r ∈ {0,..., (N M)-1}.
Weźmy największe K = K(r, N, M) t. że (K(r,N,M) M) <= r. Takie K(r, N, M) oczywiście istnieje i jest jedyne - z (**) Zauważmy, że r - (K(r, N, M) M) ≤ (K(r, N, M) M-1) - 1
to jasne bo w przeciwnym razie
r >= (K(r, N, M) M) + (K(r, N, M) M-1) = (K(r, N, M)+1 M)
co jest sprzecznością bo K(r, N, M) było największe
Zatem, dla r' = (r - (K(r, N, M) M)) ∈ {0,...,(K M-1)-1} czynność możemy powtórzyć wyliczając K':
K > K' = K((r - (K M)), K, M-1)
itd. dla M-2, M-3 itd i kolejnych r otrzymując ciąg M różnych wartości.
W ten sposób podaliśmy, algorytm który danego r w jednoznaczny sposób przypisuje ciąg {Ki} spełniający warunek Ki > Ki+1
Proponuję - jako ćwiczenie, żeby nie było nudno - sprawdzić, że opisany algorytm wykonuje operację dokładnie odwrotną do tej opisanej w naszym cytacie. Dodam, że zdaje się, że by to stwierdzić nie trzeba już nic liczyć...
Tu dygresja: studiowanie dokumentów opisujących standardy telekomunikacyjne ma w sobie coś z sztuki walki, coś z rozwiązywania rebusa i coś ze studiowania świętej księgi. Zatem: Środki retoryczne jakimi posługują się autorzy owych dzieł ograniczają się zwykle do nadużywania trybu rozkazującego ("X shall Y..." - "Zaprawdę powiadam Ci, X będzie Y..." ). Powtarzalność schematów zdań ukrywa nagłe zwroty akcji. Jakakolwiek motywacja działań bohaterów jest szczelnie zakryta przed czytelnikiem. Zrozumienie wymaga długotrwałych medytacji i skomplikowanych egzegez. Wrogiem jest montonia, nuda, nieuwaga. Piszący owe standardy, w końcu, często nadzwyczaj jednostronnie biorą sobie do serca uwagę Gaussa o "zwiezłości, cesze którą należy brać pod rozwagę tak bardzo jak to możliwe".
Szczególnym gatunkiem owej literatury, do których przynależy i przywołany przeze mnie dokument, są opisy standardów komunikacji bezprzewodowej. Kapryśna i ograniczona natura medium i nieustający głód szybkości, pojemności i niezawodności prowadzi do tworzenia skomplikowanych piętrowych konstrukcji, nad którymi władzę absolutną sprawują Oszczędność, Zapobiegliwość i Kompromis.
Wracając do mojej lektury, okazuje się, że aby zadość uczynić surowym prawom owych trzech władców nadzwyczaj często należy uciec się do fortelu a pomocnikiem jest matematyka. O jednym fortelu , na który się natknąłem opowiem, bo to proste, ciekawe i - przynajmniej dla mnie - zaskakujące. Istotę tego fortelu należy jednak dopiero wyłuskać z opisu. Rzecz podana została bowiem do wierzenia.
Pomedytujmy, nad następującymi wersetami (przy okazji będącymi typową próbką stylu):
Co się za tym kryje. Otóż, chodzi o metodę pozwalającą w możliwie najzwięźlejszy sposób przekazać informację o wybranym M-elementowym podzbiorze w uporządkowanym zbiorze N - elementowym. Zakładamy przy tym, że obie strony znają N i M.
Uwaga - w dalszym ciągu na oznaczenie symbolu Newtona przyjmę (NM) - oznacza "N po M". Stosuję też konwencję jak w artykule (tj. dla N <>NM) = 0).
Jak możnaby to zrobić? Pierwszy pomysł to wziąć N bitów i zapalić odpwiednie M z nich (stworzyć mapę bitową), następnie przesłać taką liczbę binarną. Ale, N może być duże i przesłać musielibyśmy wiele liczb. Ba, ten sposób pomija zupełnie informację, że M jest ustalone i potrzebuje więc zwykle [log2N]+1 (czasem tylko log2N) bitów ale wykorzystuje tylko (NM)/2N część owej przestrzeni możliwych map bitowych. Z punktu widzenia królowej Oszczędności sytuacja niedopuszczalna.
Możnaby z drugiej strony - korzystając z faktu, że jest (N M) kombinacji N elementów z M elementów - wymyślić jakąkolwiek funkcję przypisującą liczbom od 0 do (N M) -1 stosowny zbiór, umówić obie strony zeby ją znały i używały. Musielibyśmy wówczas jednak wymyślić bardzo wiele takich funkcji dla różnych par N i M - Zapobiegliwość nie byłaby z nas zadowolona.
Kompromisu w takich sytuacjach nakazuje s: znajdźmy uniwersalny sposób kodowania. Fortel - i mamy metodę opisaną w standardzie. Poniżej zajmę się jej objaśnieniem:
Po pierwsze, przypomnijmy sobie wzór dotyczący symbolu Newtona - nb. kluczowy dla konstrukcji trójkąta Pascala:
(n k) + (n k-1) = (n+1 k) (*)
Po drugie zauważmy, że jezeli n > m to
(n k) >= (m k) (**)
To łatwo udowodnić indukcją (zadanie licealne) albo zobaczyć od razu (stosując indukcję niejako niejawnie) z (*). Po prostu
(n k) = (n-1 k) + (n-1k-1) = (n-2 k) + (n-2 k-1) + (n-1 k-1) = [powtarzamy rozwinięcie pierwszego składnika] = (m k) + C
które to C jest >=0 (> 0 jeśli n > k).
Po trzecie zauważmy, że:
(N-1 M) + (N-2 M-1) +... + (N-M 1) = (N M) -1 (***)
Tym razem: szybka ale trochę fikuśna indukcja:
Oznaczmy F(n,m) = (n-1 m) + ... + (n-m 1)
Wtedy:
F(n,1) = (n-1 1) = n = (n 1) -1
Załóżmy, że dla ustalonego n i m F(n-1,m-1) = (n-1 m-1) -1
Wtedy F(n,m) = (n-1 m) + F(n-1, m-1) = (n-1 m) + (n-1 m-1) - 1 = (n m) -1
(ponownie z (*) )
Teraz prosto do tajemnicy naszego indeksu.
Weżmy jakiekolwiek r ∈ {0,..., (N M)-1}.
Weźmy największe K = K(r, N, M) t. że (K(r,N,M) M) <= r. Takie K(r, N, M) oczywiście istnieje i jest jedyne - z (**) Zauważmy, że r - (K(r, N, M) M) ≤ (K(r, N, M) M-1) - 1
to jasne bo w przeciwnym razie
r >= (K(r, N, M) M) + (K(r, N, M) M-1) = (K(r, N, M)+1 M)
co jest sprzecznością bo K(r, N, M) było największe
Zatem, dla r' = (r - (K(r, N, M) M)) ∈ {0,...,(K M-1)-1} czynność możemy powtórzyć wyliczając K':
K > K' = K((r - (K M)), K, M-1)
itd. dla M-2, M-3 itd i kolejnych r otrzymując ciąg M różnych wartości.
W ten sposób podaliśmy, algorytm który danego r w jednoznaczny sposób przypisuje ciąg {Ki} spełniający warunek Ki > Ki+1
Proponuję - jako ćwiczenie, żeby nie było nudno - sprawdzić, że opisany algorytm wykonuje operację dokładnie odwrotną do tej opisanej w naszym cytacie. Dodam, że zdaje się, że by to stwierdzić nie trzeba już nic liczyć...
2010-05-20
Równe
Wspomniałem w jednym z postów o ksiażce "A=B". W części ogólnej - bo potem zajmuje się tożsamościami z symbolem Newtona w roli głównej - zwraca ona uwagę na pewien stały motyw: jeżeli potrafimy policzyć coś na dwa sposoby, to dostajemy ciekawe prawo (matematyczne, fizyczne itp). Dla mnie tego typu dowody są bardzo atrakcyjne i estetyczne. Twórcze rozwinięcie tego motywu można znaleźć w uroczej książeczce "Proofs that really count: the art of combinatorial proof"
Jedno z moich pierwszych doświadczeń matematycznych, gdzieś głęboko w czasach szkoły podstawowej polegało właśnie na małym odkryciu w tym duchu. Otóż nudząc się jak mops na jakiejś lekcji (nie wykluczam, że matematyki) rysowałem sobie na kartce punkciki łącząc każdy z każdym.
Powtarzając tą mechaniczną czynność zauważyłem, że pierwszy łączę z n-1 pozostałymi, drugi już z n-2 (bo z pierwszym już połączony) itd. Lewa strona była więc gotowa, miałem połączeń: 1+2+3+...+(n-1)
Potem spostrzegłem, że każdy jest połaczony z (n-1) pozostałymi i każde połaczenie licząc w ten sposób jest powtórzone dwa razy: Wyłania się prawa strona : n(n-1)/2 . I w końcu dumny znak "=":
1+2+3+...+(n-1) = n(n-1)/2
Przeżyłem to - jakkolwiek nie zabrzmi to perwersyjnie - jako głęboką przyjemność. Być może tamta chwila zdecydowała w ogóle o moim wyborze wykształcenia.
Jedno z moich pierwszych doświadczeń matematycznych, gdzieś głęboko w czasach szkoły podstawowej polegało właśnie na małym odkryciu w tym duchu. Otóż nudząc się jak mops na jakiejś lekcji (nie wykluczam, że matematyki) rysowałem sobie na kartce punkciki łącząc każdy z każdym.
Powtarzając tą mechaniczną czynność zauważyłem, że pierwszy łączę z n-1 pozostałymi, drugi już z n-2 (bo z pierwszym już połączony) itd. Lewa strona była więc gotowa, miałem połączeń: 1+2+3+...+(n-1)
Potem spostrzegłem, że każdy jest połaczony z (n-1) pozostałymi i każde połaczenie licząc w ten sposób jest powtórzone dwa razy: Wyłania się prawa strona : n(n-1)/2 . I w końcu dumny znak "=":
1+2+3+...+(n-1) = n(n-1)/2
Przeżyłem to - jakkolwiek nie zabrzmi to perwersyjnie - jako głęboką przyjemność. Być może tamta chwila zdecydowała w ogóle o moim wyborze wykształcenia.
2010-05-18
2010-05-14
Grzebiąc na półce
Od jakichś trzech lat stałem się fanem Nabokova - nie jakimś nadzwyczaj gorliwym, ale dwie, trzy powieści rocznie czytuję. W serii którą kupuję, po każdej powieści są posłowia autorstwa Leszka Engelkinga. Zawsze mnie zawstydzają, bo uświadamiają o ile więcej można zobaczyć niż to co mnie się udało: chodzi i o interpretację i o konstrukcję fabuły, o wątki, motywy, detale. No, ale pozycja jest trochę nierówna - w posłowiach tych zsyntetyzowany jest zbiorowy wysiłek pokoleń "nabokologów".
Co mnie nieodmiennie zachwyca to pierwsze zdania w powieściach Nabokova. Jest prawie niemożliwym, żeby przestać czytać kiedy po otwarciu książki natknie się na:
"Zgodnie z prawem wyrok śmierci obwieszczono Cyncynatowi C. szeptem."
albo:
"Ogromna czarna wskazówka zegara jest jeszcze nieruchoma, zastygła przed czynionym co minutę gestem; jej sprężyste drgnienie wprawi w ruch cały świat."
Co mnie nieodmiennie zachwyca to pierwsze zdania w powieściach Nabokova. Jest prawie niemożliwym, żeby przestać czytać kiedy po otwarciu książki natknie się na:
"Zgodnie z prawem wyrok śmierci obwieszczono Cyncynatowi C. szeptem."
albo:
"Ogromna czarna wskazówka zegara jest jeszcze nieruchoma, zastygła przed czynionym co minutę gestem; jej sprężyste drgnienie wprawi w ruch cały świat."
2010-04-08
Z świata celebrytów
Spacerując nie tak dawno sobotnim wieczorem w okolicach Małego Rynku wpadłem po raz pierwszy od dobrych 7-8 lat do mieszczącej się tam księgarni ezoterycznej CUD (Ciało Umysł Duch). Przez nią wchodzi się zresztą do knajpy na piętrze i w dawnych czasach kiedy pracowałem w "krążowniku" u zbiegu Wielopola i Starowiślnej wpadałem do owej knajpy czasem z koleżeństwem - stąd mam niejaki sentyment do tego miejsca. Wracając do księgarni CUD, to oczywiście jak podobne jej miejsca wypełniona jest mieszaniną rzeczy jakoś tam wartościowych z kompletnymi bzdurami od teorii spiskowych począwszy przez chiromancję, geomancję, astrologię, różne filozofie wschodu po programowanie neurolingwistyczne, że skrócę wyliczankę do kilku ledwie.
Jest tam też oczywiście dedykowana półka albo i dwie nawet specjalnie na książki z zakresu numerologii. Ja oczywiście nie wierzę w teorie numerologiczne, ale wierzę w istnienie numerologii i w to, że owo istnienie może nam coś ciekawego powiedzieć np. o ludziach. Pierwsze wrażenie jest takie, że jest tych książek - nie w sensie ilości egzemplarzy ale w sensie ilości tytułów sporo. Zazdrość bierze, bo chyba więcej niż książek poświęconych teorii liczb dostępnych w sprzedaży. Wziąłem się za kartkowanie z ciekawości, z pewną nadzieją, że o ile są to bzdury to przynajmniej natknę się gdzieś na bzdury na swój sposób wyrafinowane. Pokrewne numerologii np. rozważania miłośników Kabały bywają bowiem czasem całkiem intrygujące i o ile mi wiadomo kilku mistycznie nastawionych niezłych matematyków oddawało się i oddaje owemu szaleństwu. Niestety: wszystko wydaje się tam być zupełnie płaskie i sprowadzone do najzupełniej prymitywnego katalogowania liczb i wiązania ich z jakimiś wpływami, cechami charakteru ludzi itp. Najbardziej wyrafinowana operacja matematyczna na jaką można się tam natknąć to dodawanie a i to w zakresie dostępnym dla drugo, jeśli nie pierwszoklasity.
Ale generalnie liczby ludzi fascynują i chętnie czegoś w nich szukają. Mam kolegę, który bawi się w giełdę i tam - w ślad za jakąś nie do końca zdaje się uzasadnioną heurystyką zwaną teorią fal Elliota, niektórzy stosują jakąś formę przewidywania czy wróżenia z ciągu Fibonacciego. Od czasu do czasu zatem zadawał całkiem sensowne pytania teorio-liczbowe, na które starałem się jak umiałem odpowiedzieć. Cóż, nie sądzę żebym mu pomógł w zdobyciu fortuny (jeśli ją ma to skrzętnie ukrywa). A nawet jeśli - będę wspaniałomyślny i nie zażądam "działy". "Stalking" (dziś nauczyłem się tego słowa i dowiedziałem się co oznacza) stanowczo nie jest w moim stylu.
Niewykluczone, że w świecie pozamatematycznym liczby Fibonacciego zrobiły wśród ciągów liczbowych karierę największą. Raz, że rzeczywiście rekurencja której są może i najprostszym spośród spektakularnych przykładów rzeczywiście robi jakieś wrażenie nawet na ludziach nie znających matematyki, dwa, że powiązane są z kilkoma ciekawymi anegdotami historycznymi, trzy bo to temat przylegający do zagadnień praktycznych i pobudzajacych wyobraźnię - jak złoty podział i jego wszędobylskość np. Cóż - jest to jak widać twór przynależny już nie li tylko do matematyki ale do szeroko rozumianej kultury masowej (przypomnijmy sobie choćby Dona Browna).
Do rozmyślań o liczbach i kulturze bezpośrednio natchnął mnie fakt, że jeden z newsletterów jakie pronumeruje przyniósł mi dziś linka do strony jakiejś firmy powiązanej z FOREX-em, czyli instytucją (albo jak się to modnie mówi - platformą) organizującą światowy rynek walutowy. Ponieważ rynek ten jest chyba zupełnie skomputeryzowany, w czasach internetu obrósł firmami które pośredniczą w spekulacji na nim umożliwiając ją również maluczkim wyposażonym w konto bankowe i przeglądarkę WWW i stając się dla owych maluczkich jak sądzę skrzyżowaniem instytucji finansowej z szeroko rozumianą rozrywką hazardową. Co zauważyłem dziś - co odwraca niejako sytuację mojego kolegi gracza - w materiale promocyjnym owej firmy pisano przede wszystkim o ciągu Fibonacciego podając nawet całkiem ciekawe informacje historyczne delikatnie jedynie wspominając, że można go użyć do wspomnianego przeze mnie "przewidywania" w trakcie gry. Tak wiec firma promowała uczestnictwo w FOREX (a więc i nadzieję na bogactwo dla gracza i pewność prowizji dla siebie) używając ciągu Fibonacciego. Czyż to w dzisiejszych czasach nie nobilitacja wystąpić w reklamie ?
I ja na tym pewnie skorzystam bo mój dzisiejszy wpis dzięki Googlom przysporzy mi zapewne atrakcyjnymi słowami kluczowymi nowych, zawiedzionych, jednorazowych gości...
Jest tam też oczywiście dedykowana półka albo i dwie nawet specjalnie na książki z zakresu numerologii. Ja oczywiście nie wierzę w teorie numerologiczne, ale wierzę w istnienie numerologii i w to, że owo istnienie może nam coś ciekawego powiedzieć np. o ludziach. Pierwsze wrażenie jest takie, że jest tych książek - nie w sensie ilości egzemplarzy ale w sensie ilości tytułów sporo. Zazdrość bierze, bo chyba więcej niż książek poświęconych teorii liczb dostępnych w sprzedaży. Wziąłem się za kartkowanie z ciekawości, z pewną nadzieją, że o ile są to bzdury to przynajmniej natknę się gdzieś na bzdury na swój sposób wyrafinowane. Pokrewne numerologii np. rozważania miłośników Kabały bywają bowiem czasem całkiem intrygujące i o ile mi wiadomo kilku mistycznie nastawionych niezłych matematyków oddawało się i oddaje owemu szaleństwu. Niestety: wszystko wydaje się tam być zupełnie płaskie i sprowadzone do najzupełniej prymitywnego katalogowania liczb i wiązania ich z jakimiś wpływami, cechami charakteru ludzi itp. Najbardziej wyrafinowana operacja matematyczna na jaką można się tam natknąć to dodawanie a i to w zakresie dostępnym dla drugo, jeśli nie pierwszoklasity.
Ale generalnie liczby ludzi fascynują i chętnie czegoś w nich szukają. Mam kolegę, który bawi się w giełdę i tam - w ślad za jakąś nie do końca zdaje się uzasadnioną heurystyką zwaną teorią fal Elliota, niektórzy stosują jakąś formę przewidywania czy wróżenia z ciągu Fibonacciego. Od czasu do czasu zatem zadawał całkiem sensowne pytania teorio-liczbowe, na które starałem się jak umiałem odpowiedzieć. Cóż, nie sądzę żebym mu pomógł w zdobyciu fortuny (jeśli ją ma to skrzętnie ukrywa). A nawet jeśli - będę wspaniałomyślny i nie zażądam "działy". "Stalking" (dziś nauczyłem się tego słowa i dowiedziałem się co oznacza) stanowczo nie jest w moim stylu.
Niewykluczone, że w świecie pozamatematycznym liczby Fibonacciego zrobiły wśród ciągów liczbowych karierę największą. Raz, że rzeczywiście rekurencja której są może i najprostszym spośród spektakularnych przykładów rzeczywiście robi jakieś wrażenie nawet na ludziach nie znających matematyki, dwa, że powiązane są z kilkoma ciekawymi anegdotami historycznymi, trzy bo to temat przylegający do zagadnień praktycznych i pobudzajacych wyobraźnię - jak złoty podział i jego wszędobylskość np. Cóż - jest to jak widać twór przynależny już nie li tylko do matematyki ale do szeroko rozumianej kultury masowej (przypomnijmy sobie choćby Dona Browna).
Do rozmyślań o liczbach i kulturze bezpośrednio natchnął mnie fakt, że jeden z newsletterów jakie pronumeruje przyniósł mi dziś linka do strony jakiejś firmy powiązanej z FOREX-em, czyli instytucją (albo jak się to modnie mówi - platformą) organizującą światowy rynek walutowy. Ponieważ rynek ten jest chyba zupełnie skomputeryzowany, w czasach internetu obrósł firmami które pośredniczą w spekulacji na nim umożliwiając ją również maluczkim wyposażonym w konto bankowe i przeglądarkę WWW i stając się dla owych maluczkich jak sądzę skrzyżowaniem instytucji finansowej z szeroko rozumianą rozrywką hazardową. Co zauważyłem dziś - co odwraca niejako sytuację mojego kolegi gracza - w materiale promocyjnym owej firmy pisano przede wszystkim o ciągu Fibonacciego podając nawet całkiem ciekawe informacje historyczne delikatnie jedynie wspominając, że można go użyć do wspomnianego przeze mnie "przewidywania" w trakcie gry. Tak wiec firma promowała uczestnictwo w FOREX (a więc i nadzieję na bogactwo dla gracza i pewność prowizji dla siebie) używając ciągu Fibonacciego. Czyż to w dzisiejszych czasach nie nobilitacja wystąpić w reklamie ?
I ja na tym pewnie skorzystam bo mój dzisiejszy wpis dzięki Googlom przysporzy mi zapewne atrakcyjnymi słowami kluczowymi nowych, zawiedzionych, jednorazowych gości...
2010-03-31
Zupełnie inna historia
Skusiło mnie, mimo, że to zupełnie inna historia jak wzmiankowałem tu (warto być może przed czytaniem tego postu zajrzeć do linkowanego), ażeby opowiedzieć coś o twierdzeniu Dilwortha. Spróbuję zmierzyć się z innym jego dowodem (w porównaniu ze znanym choćby z wikipedii) który pozwala zerknąć trochę na strukturę zbioru antyłańcuchów o maksymalnej liczności w skończonym zbiorze uporządkowanym. Nie wiem czy jest to jakiś nowy dowód – twierdzenie Dilwortha nie jest bardzo trudne więc spodziewam się, że wiele osób dla przyjmności, przypadkiem czy w ramach ćwiczenia udowodniło go sobie na wiele różnych sposobów.
Twierdzenie Dilwortha, mówi: W skończonym zbiorze F uporządkowanym przez relację R maksymalna długość antyłańcucha jest równa minimalnej ilości rozłącznych łańcuchów pokrywającej zbiór F.
Uwaga: będę używał dla R zapisu infiksowego, tj. fakt, że (a,b) ∈ R będę oznaczał przez a R b.
Definicja: Kratą nazywamy zbiór częściowo uporządkowany w którym każde dwa elementy mają unikalne supremum (a więc minimalne ograniczenie górne) i unikalne infimum (a więc największe ograniczenie dolne).
Lemat:
Niech dana będzie krata skończona X gdzie relacją porządku jest ≤. Niech W ma wasność: ∀ x, y ∈ X sup(x, y) ∈ W i inf(x, y) ∈ W => x ∈ W i y ∈ W. Wtedy, jeżeli pewien maksymalny łańcuch w X zawiera się w W, to W = X.
Uwaga: ≤ używam tu w zapisie infiksowym, tzn (a,b) ∈ ≤ zapisuję jako a ≤ b . a < b oznacza zaś a ≤ b i a ≠ b
Dowód: Załóżmy nie wprost, że W ma sugerowaną własność, pewien maksymalny łańcuch M ⊆ W, ale W' = X \ W ≠ 0. Weźmy a - element maksymalny w W'. W M są elementy nieporównywalne z a, bo w przeciwnym wypadku M ∪{a} byłoby łańcuchem większym niż M a o M założyliśmy, że jest maksymalny. Weźmy o - najmniejszy z elementów łańcucha M nieporównywalny z a. Z maksymalności a w W' wiemy, że sup (a,o) ∈ W. (bo sup(a,o) > a ) Ponieważ a nie należy do W, wiemy też, że inf(a,o) ∉ W, (bo w przeciwnym razie z własności zbioru W mielibyśmy a ∈ W) Wiemy również, że o nie jest elementem minimalnym łańcucha, bowiem wtedy inf(a,o) < o musiał by być równy o a o jest nieporównywalne z a. Istnieje więc element b bezpośrednio poprzedzający o w W. Weźmy teraz element inf(a,o). Ponieważ b < a (jest porównywalne a nie może być mniejsze bo wtedy a < b < o a a nie jest porównywalny z o). Skoro tak, to b ≤ inf(a,o) (bo b < o i b < a wiec b ≤ inf(a,o) z definicji infimum). Gdyby b = inf(a,o) mielibyśmy znowu sup(a,o), inf(a,o) ∈ M ⊆ W i a ∈ W. Jeżeli zaś b < inf(a,o) < o to M ∪ {inf(a,o)} jest łańcuchem większym od M. Sprzeczność.
Zanim wykorzystam lemat, mała uwaga. Nie znałem wcześniej tego lematu i ciekaw jestem czy ma jakąś wartość (w sensie przydatności) poza dowodem, który tu przeprowadzam. Chętnie bym zobaczył szersze jego zastosowanie.
Druga uwaga - przypomina mi się żart, który opowiadał jeden z wykładowców w IM UJ (ale nie pamiętam który niestety) o dowodach nie wprost. Mianowicie: dowód nie wprost polega na tym, że ktoś pisze bzdurę a potem zaczyna wnioskując z niej wypisywać coraz większe i większe bzdury, aż w końcu wypisze coś tak niesłychanie bzdurnego, że wszyscy zgadzają się, że dalej już nie można kontynuować.
Wracając do tw. Dilwortha. Niech FM oznacza zbiór antyłańcuchów o maksymalnej długości w F uporządkowanym przez relację R. W FM wprowadźmy relację RM następująco: a RM b z definicji wtedy i tylko wtedy gdy ∀ x ∈ a ∃ y ∈ b t. że x R y
Pokażę, że jest to relacja porządku. A więc :
1) a RM a - oczywiste
2) Niech a RM b i b RM c . Mamy x ∈ a więc ∃ y ∈ b t. że x R y . Zatem ∃ z ∈ c t. że y R z. Z Przechodniości R mamy x R z. Więc a RM c
3) Niech a RM b i b RM a . Weźmy x∈a . Zatem ∃ y ∈ b t. że x R y. Więc ∃ z ∈ a t. że y R z. Ale wtedy x R z i oba należą do antyłańcucha, więc x = z. Mamy więc x R y i y R x, czyli y = x. Rozumując tak ∀ x ∈ a i korzystając z tego, że oba antyłańcuchy mają maksymalną liczbę elementów więc są równoliczne dostajemy a = b
Pokażę więcej, mianowicie FM z porządkiem RM jest kratą. Wystarczy pokazać, że:
∀ a b ∈ FM ∃ sup(a, b) i inf(a,b).
Ponieważ konstrukcje i dowody obu są identyczne z dokładnością do kierunków nierówności, szczegółowo przedstawię przypadek supremum, zostawiając - jak to mają w zwyczaju leniwcy infimum czytelnikowi. A więc, niech a i b ∈ RM .
Mamy a = a1∪(a ∩ b)∪a2 gdzie
a1 = {x : x∈ a\b , ∃ s ∈ b t. że x R s }
a2 = {x: x∈ a\b , ∃ s ∈ b t. że s R x }
Podobnie b = b1∪(b ∩ a)∪b2 gdzie
b1 = {x : x∈ b\a , ∃ s ∈ a t. że s R x }
b2 = {x : x∈ b\a , ∃ s ∈ a t. że x R s }
Zauważmy, że a1 ∩ a2 = b1 ∩ b2 = 0
Gdyby bowiem x ∈ a1 ∩ a2 to ∃ y1, y2 ∈ b t.że y1 R x i x R y2
ale wówczas, (skoro b jest antyłańcuchem) y1 = y2 więc y1 = y2 = x. Ale a1 (jak i a2) z definicji nie ma elementów wspólnych z b. Przy okazji wynika z tego że
#a = #a1 + #a∩b + #a2
i podobnie
#b = #b1 + #a∩b + #b2
gdzie przez # oznaczam liczność zbioru.
Pokażę teraz, że:
inf(a, b) = a1∪(a ∩b)∪b2 i
sup(a, b) = b1∪(a ∩ b)∪a2
Zajmijmy się supremum. b1∪(a ∩ b)∪a2 jest antyłańcuchem. Mianowicie żadne dwa elementy zbioru b1∪(a ∩ b) nie są porównywalne między sobą, podobnie (a ∩ b)∪a2 , Zatem pozostaje pokazać, że elementy b1 i a2 nie są porównywalne.
Załóżmy że ∃x ∈ b1 y ∈ a2 t.że x i y są porównywalne.
Gdyby y R x mielibyśmy z definicji zbiorów b1 i a2 że
∃s z ∈ b t.że s R x i x R y i y R z więc s R z czyli s = z = x = y co jest sprzeczne.
Gdyby zaś x R y wtedy ∃s z ∈ a t.że s R x i x R y i y R z i rozumujemy jak linijkę wyżej.
Podobnie pokazać można, że a1∪(a ∩ b)∪b2 jest antyłańcuchem.
Pozostaje pokazać, że oba łańcuchy są maksymalnej długości. Ale wiemy:
#a = #b więc #a1 + #(a ∩ b) + #a2 = #b1 + #(a ∩ b) + #b2
czyli
#a1 - #b1 = #b2 - #a2 ale:
# b1∪(a ∩ b)∪a2 = #b1 + #(a ∩ b) + #a2 =
#b - #(a ∩ b) - #b2 + #(a ∩ b) + #a2 = #b + (#a2 - #b2)
Podobnie
a1∪(a ∩ b)∪b2 = #a1 + #(a ∩ b) + #b2 =
#a - #(a ∩ b) - #a2 + #(a ∩ b) + #b2 = #b + (#b2 - #a2)
Gdyby więc #a2 - #b2 ≠ 0 jeden z tych dwóch antyłańcuchów miałby długość większą niż długość antyłańcucha o maksymalnej długości – co jest jawną sprzecznością.
Teraz pozostaje pokazać jeszcze, że supremum jest naprawdę supremum, tzn.
jeżeli a RM x i b RM x to sup( a , b ) RM x
Jeżeli a RM x to oczywiście każdy s ∈ a jest porównywalny z jakimś elementem antyłańcucha x (bo inaczej po dołączeniu do x tworzyłby większy antyłańcuch). Gdyby któryś z nich był silnie większy od pewnego elementu x to (patrząc na definicję porządku RM w FM) byłby również silnie większy a więc w szczególności porównywalny z jakimś innym elementem a co daje sprzeczność.
Podobnie można rozumować i dla b. Zatem (b1∪(a ∩ b)∪a2 ) RM x.
Niemal identyczne rozumowanie pokazuje, że zdefiniowane przez nas inf jest rzeczywiście infimum zbiorów w RM.
FM jest zatem kratą.
Weźmy teraz A maksymalny łańcuch w FM. Pokażę, że istnieje łańcuch C w F mający wspólny element z każdym elementem A. To proste: niech c1 będzie maksymalnym elementem w A a x1 elementem c1. Teraz indukcyjnie dopóki nie wyczerpiemy elementów A, mając x1...xk elementów tworzących łańcuch w F takich, że xi ∈ ci i ci poprzedza ci-1 w A, definiujemy ci+1 jako element bezpośrednio poprzedzający ci w A a xi+1 element ci+1 t. że xi+1 R xi (element taki istnieje z definicji porządku RM w FM. Zauważmy, że nie musi być różny od x1 !). Żądanym łańcuchem zbiór będzie {x1,...,xn} (tworząc z ciągu zbiór wyeliminowaliśmy powtórzenia).
Niech teraz, przy znaczeniu A i C jak wyżej, S będzie podzbiorem FM takim, że a ∈ S wtedy i tylko wtedy gdy a ∩ C ≠ 0. Łatwo zobaczyć z charakteryzacji inf i sup, że S ma własność z naszego Lematu, tzn że jezeli inf(a,b) i sup(a,b) są w S to i a i b są w S.
Jest tak rzeczywiscie: jeżeli x i y należą do C, x R y i x ∈ inf( a, b) i y ∈ sup (a, b) to albo:
- x ∈ a ∩ b - wtedy oczywiście a ∩ C ≠ 0 i a ∈ S i b ∩ C ≠ 0 i b ∈ S
- x ∈ a1 wtedy z konieczności y ∈ b1 i znowu j.w. a ∈ S i b ∈ S
- x ∈ b2 wtedy z konieczności y ∈ a1 i j.w.
Co więcej A jest łańcuchem maksymalnym w FM i jest (co wynika ze sposobu konstrukcji) zawarty w S. Na mocy Lematu zatem S = FM. Innymi słowy każdy antyłańcuch o maksymalnej liczbie elementów przecina się z łańcuchem A.
Teraz samo Twierdzenie Dilwortha.
Indukcyjnie. Twierdzenie jest porawdziwe gdy maksymalna długośc antyłańcucha jest 1. Załóżmy, że jest prawdziwe dla zbiorów uporządkowancyh z antyłańcuchem o maksymalnej długości k gdzie k < n. Weźmy teraz zbiór F, z antyłańcuchem o maksymalnej długości n. Z tego co udowodniliśmy powyżej wynika istnieje łańcuch C mający część wspólną z każdym anyłańcuchem maksymalnej długości w F. Wtedy F \ C jest zbiorem z antyłańcuchem o maksymalnej długości równej n-1 i z założenia indukcyjnego minimalna łańcuchów pokrywających go wynosi n-1. Zatem F da się pokryć przez n łańcuchów (łańcuchy pokrywające F\C i C). Jest to rzeczywiście liczba minimalna, bo gdyby dało się pokryć przez mniej (np. n-1) dwa elementy antyłańcucha o długości n musiałyby wpadać do tego samego łańcucha z pokrycia - co jest niemożliwe.
Uff
Twierdzenie Dilwortha, mówi: W skończonym zbiorze F uporządkowanym przez relację R maksymalna długość antyłańcucha jest równa minimalnej ilości rozłącznych łańcuchów pokrywającej zbiór F.
Uwaga: będę używał dla R zapisu infiksowego, tj. fakt, że (a,b) ∈ R będę oznaczał przez a R b.
Definicja: Kratą nazywamy zbiór częściowo uporządkowany w którym każde dwa elementy mają unikalne supremum (a więc minimalne ograniczenie górne) i unikalne infimum (a więc największe ograniczenie dolne).
Lemat:
Niech dana będzie krata skończona X gdzie relacją porządku jest ≤. Niech W ma wasność: ∀ x, y ∈ X sup(x, y) ∈ W i inf(x, y) ∈ W => x ∈ W i y ∈ W. Wtedy, jeżeli pewien maksymalny łańcuch w X zawiera się w W, to W = X.
Uwaga: ≤ używam tu w zapisie infiksowym, tzn (a,b) ∈ ≤ zapisuję jako a ≤ b . a < b oznacza zaś a ≤ b i a ≠ b
Dowód: Załóżmy nie wprost, że W ma sugerowaną własność, pewien maksymalny łańcuch M ⊆ W, ale W' = X \ W ≠ 0. Weźmy a - element maksymalny w W'. W M są elementy nieporównywalne z a, bo w przeciwnym wypadku M ∪{a} byłoby łańcuchem większym niż M a o M założyliśmy, że jest maksymalny. Weźmy o - najmniejszy z elementów łańcucha M nieporównywalny z a. Z maksymalności a w W' wiemy, że sup (a,o) ∈ W. (bo sup(a,o) > a ) Ponieważ a nie należy do W, wiemy też, że inf(a,o) ∉ W, (bo w przeciwnym razie z własności zbioru W mielibyśmy a ∈ W) Wiemy również, że o nie jest elementem minimalnym łańcucha, bowiem wtedy inf(a,o) < o musiał by być równy o a o jest nieporównywalne z a. Istnieje więc element b bezpośrednio poprzedzający o w W. Weźmy teraz element inf(a,o). Ponieważ b < a (jest porównywalne a nie może być mniejsze bo wtedy a < b < o a a nie jest porównywalny z o). Skoro tak, to b ≤ inf(a,o) (bo b < o i b < a wiec b ≤ inf(a,o) z definicji infimum). Gdyby b = inf(a,o) mielibyśmy znowu sup(a,o), inf(a,o) ∈ M ⊆ W i a ∈ W. Jeżeli zaś b < inf(a,o) < o to M ∪ {inf(a,o)} jest łańcuchem większym od M. Sprzeczność.
Zanim wykorzystam lemat, mała uwaga. Nie znałem wcześniej tego lematu i ciekaw jestem czy ma jakąś wartość (w sensie przydatności) poza dowodem, który tu przeprowadzam. Chętnie bym zobaczył szersze jego zastosowanie.
Druga uwaga - przypomina mi się żart, który opowiadał jeden z wykładowców w IM UJ (ale nie pamiętam który niestety) o dowodach nie wprost. Mianowicie: dowód nie wprost polega na tym, że ktoś pisze bzdurę a potem zaczyna wnioskując z niej wypisywać coraz większe i większe bzdury, aż w końcu wypisze coś tak niesłychanie bzdurnego, że wszyscy zgadzają się, że dalej już nie można kontynuować.
Wracając do tw. Dilwortha. Niech FM oznacza zbiór antyłańcuchów o maksymalnej długości w F uporządkowanym przez relację R. W FM wprowadźmy relację RM następująco: a RM b z definicji wtedy i tylko wtedy gdy ∀ x ∈ a ∃ y ∈ b t. że x R y
Pokażę, że jest to relacja porządku. A więc :
1) a RM a - oczywiste
2) Niech a RM b i b RM c . Mamy x ∈ a więc ∃ y ∈ b t. że x R y . Zatem ∃ z ∈ c t. że y R z. Z Przechodniości R mamy x R z. Więc a RM c
3) Niech a RM b i b RM a . Weźmy x∈a . Zatem ∃ y ∈ b t. że x R y. Więc ∃ z ∈ a t. że y R z. Ale wtedy x R z i oba należą do antyłańcucha, więc x = z. Mamy więc x R y i y R x, czyli y = x. Rozumując tak ∀ x ∈ a i korzystając z tego, że oba antyłańcuchy mają maksymalną liczbę elementów więc są równoliczne dostajemy a = b
Pokażę więcej, mianowicie FM z porządkiem RM jest kratą. Wystarczy pokazać, że:
∀ a b ∈ FM ∃ sup(a, b) i inf(a,b).
Ponieważ konstrukcje i dowody obu są identyczne z dokładnością do kierunków nierówności, szczegółowo przedstawię przypadek supremum, zostawiając - jak to mają w zwyczaju leniwcy infimum czytelnikowi. A więc, niech a i b ∈ RM .
Mamy a = a1∪(a ∩ b)∪a2 gdzie
a1 = {x : x∈ a\b , ∃ s ∈ b t. że x R s }
a2 = {x: x∈ a\b , ∃ s ∈ b t. że s R x }
Podobnie b = b1∪(b ∩ a)∪b2 gdzie
b1 = {x : x∈ b\a , ∃ s ∈ a t. że s R x }
b2 = {x : x∈ b\a , ∃ s ∈ a t. że x R s }
Zauważmy, że a1 ∩ a2 = b1 ∩ b2 = 0
Gdyby bowiem x ∈ a1 ∩ a2 to ∃ y1, y2 ∈ b t.że y1 R x i x R y2
ale wówczas, (skoro b jest antyłańcuchem) y1 = y2 więc y1 = y2 = x. Ale a1 (jak i a2) z definicji nie ma elementów wspólnych z b. Przy okazji wynika z tego że
#a = #a1 + #a∩b + #a2
i podobnie
#b = #b1 + #a∩b + #b2
gdzie przez # oznaczam liczność zbioru.
Pokażę teraz, że:
inf(a, b) = a1∪(a ∩b)∪b2 i
sup(a, b) = b1∪(a ∩ b)∪a2
Zajmijmy się supremum. b1∪(a ∩ b)∪a2 jest antyłańcuchem. Mianowicie żadne dwa elementy zbioru b1∪(a ∩ b) nie są porównywalne między sobą, podobnie (a ∩ b)∪a2 , Zatem pozostaje pokazać, że elementy b1 i a2 nie są porównywalne.
Załóżmy że ∃x ∈ b1 y ∈ a2 t.że x i y są porównywalne.
Gdyby y R x mielibyśmy z definicji zbiorów b1 i a2 że
∃s z ∈ b t.że s R x i x R y i y R z więc s R z czyli s = z = x = y co jest sprzeczne.
Gdyby zaś x R y wtedy ∃s z ∈ a t.że s R x i x R y i y R z i rozumujemy jak linijkę wyżej.
Podobnie pokazać można, że a1∪(a ∩ b)∪b2 jest antyłańcuchem.
Pozostaje pokazać, że oba łańcuchy są maksymalnej długości. Ale wiemy:
#a = #b więc #a1 + #(a ∩ b) + #a2 = #b1 + #(a ∩ b) + #b2
czyli
#a1 - #b1 = #b2 - #a2 ale:
# b1∪(a ∩ b)∪a2 = #b1 + #(a ∩ b) + #a2 =
#b - #(a ∩ b) - #b2 + #(a ∩ b) + #a2 = #b + (#a2 - #b2)
Podobnie
a1∪(a ∩ b)∪b2 = #a1 + #(a ∩ b) + #b2 =
#a - #(a ∩ b) - #a2 + #(a ∩ b) + #b2 = #b + (#b2 - #a2)
Gdyby więc #a2 - #b2 ≠ 0 jeden z tych dwóch antyłańcuchów miałby długość większą niż długość antyłańcucha o maksymalnej długości – co jest jawną sprzecznością.
Teraz pozostaje pokazać jeszcze, że supremum jest naprawdę supremum, tzn.
jeżeli a RM x i b RM x to sup( a , b ) RM x
Jeżeli a RM x to oczywiście każdy s ∈ a jest porównywalny z jakimś elementem antyłańcucha x (bo inaczej po dołączeniu do x tworzyłby większy antyłańcuch). Gdyby któryś z nich był silnie większy od pewnego elementu x to (patrząc na definicję porządku RM w FM) byłby również silnie większy a więc w szczególności porównywalny z jakimś innym elementem a co daje sprzeczność.
Podobnie można rozumować i dla b. Zatem (b1∪(a ∩ b)∪a2 ) RM x.
Niemal identyczne rozumowanie pokazuje, że zdefiniowane przez nas inf jest rzeczywiście infimum zbiorów w RM.
FM jest zatem kratą.
Weźmy teraz A maksymalny łańcuch w FM. Pokażę, że istnieje łańcuch C w F mający wspólny element z każdym elementem A. To proste: niech c1 będzie maksymalnym elementem w A a x1 elementem c1. Teraz indukcyjnie dopóki nie wyczerpiemy elementów A, mając x1...xk elementów tworzących łańcuch w F takich, że xi ∈ ci i ci poprzedza ci-1 w A, definiujemy ci+1 jako element bezpośrednio poprzedzający ci w A a xi+1 element ci+1 t. że xi+1 R xi (element taki istnieje z definicji porządku RM w FM. Zauważmy, że nie musi być różny od x1 !). Żądanym łańcuchem zbiór będzie {x1,...,xn} (tworząc z ciągu zbiór wyeliminowaliśmy powtórzenia).
Niech teraz, przy znaczeniu A i C jak wyżej, S będzie podzbiorem FM takim, że a ∈ S wtedy i tylko wtedy gdy a ∩ C ≠ 0. Łatwo zobaczyć z charakteryzacji inf i sup, że S ma własność z naszego Lematu, tzn że jezeli inf(a,b) i sup(a,b) są w S to i a i b są w S.
Jest tak rzeczywiscie: jeżeli x i y należą do C, x R y i x ∈ inf( a, b) i y ∈ sup (a, b) to albo:
- x ∈ a ∩ b - wtedy oczywiście a ∩ C ≠ 0 i a ∈ S i b ∩ C ≠ 0 i b ∈ S
- x ∈ a1 wtedy z konieczności y ∈ b1 i znowu j.w. a ∈ S i b ∈ S
- x ∈ b2 wtedy z konieczności y ∈ a1 i j.w.
Co więcej A jest łańcuchem maksymalnym w FM i jest (co wynika ze sposobu konstrukcji) zawarty w S. Na mocy Lematu zatem S = FM. Innymi słowy każdy antyłańcuch o maksymalnej liczbie elementów przecina się z łańcuchem A.
Teraz samo Twierdzenie Dilwortha.
Indukcyjnie. Twierdzenie jest porawdziwe gdy maksymalna długośc antyłańcucha jest 1. Załóżmy, że jest prawdziwe dla zbiorów uporządkowancyh z antyłańcuchem o maksymalnej długości k gdzie k < n. Weźmy teraz zbiór F, z antyłańcuchem o maksymalnej długości n. Z tego co udowodniliśmy powyżej wynika istnieje łańcuch C mający część wspólną z każdym anyłańcuchem maksymalnej długości w F. Wtedy F \ C jest zbiorem z antyłańcuchem o maksymalnej długości równej n-1 i z założenia indukcyjnego minimalna łańcuchów pokrywających go wynosi n-1. Zatem F da się pokryć przez n łańcuchów (łańcuchy pokrywające F\C i C). Jest to rzeczywiście liczba minimalna, bo gdyby dało się pokryć przez mniej (np. n-1) dwa elementy antyłańcucha o długości n musiałyby wpadać do tego samego łańcucha z pokrycia - co jest niemożliwe.
Uff
2010-03-14
Zagadnienie literackie
Ktoś czytał "Rękopis znaleziony w Saragossie" Potockiego? Zakładam, że film Hassa na motywach tejże powieści oglądał każdy (jest ponoć kultowy również poza Polską, pieniądze na restaurację i koloryzację filmu wyłożył M. Scorsese). OK, to nie odpytywanie z lektury, chodzi mi tylko o to by przypomnieć specyficzną konstrukcję owej powieści, (widzowie filmu mieli okazję poczuć jak to jest zrobione, ale w stopniu komplikacji film nie zbliża się nawet do książkowego oryginału). Jest owa konstrukcja mianowicie taka - pomysł zbieżny z wschodnimi "Baśniami tysiąca i jednej nocy" - mamy opowieść główną i głównego narratora, który przeżywając swoje przygody napotyka inne postaci, które opowiadają mu własne przygody (co narrator przytacza dosłownie więc narracja zawsze pozostaje narracją w pierwszej osobie), w tych opowieściach rekurencyjnie zaczynają się i kończą inne opowieści i tak dalej, przy czym "głębokość stosu" o ile mnie pamięć nie zawodzi sięga w najgłębszym miejscu czterech. To nie koniec, zdarza się, że poszczególne opowieści odwołują się do tych samych postaci i wydarzeń, mają wspólnych bohaterów i/lub są dobrze zlokalizowane w czasie względem wydarzeń historycznych.
Nie sporządziłem czytając, choć kusiło mnie niezmiernie i może kiedyś to zrobię, diagramu wszystkich tych opowieści. Gdyby miał powstać należałoby zrobić coś takiego:
-Wypisać wszystkie wydarzenia (zakładając upraszczająco ich punktowość w czasie) jakie miały miejsce do których odwołują się poszczególne opowieści.
-Wprowadzić relację późniejsze/wcześniejsze pomiędzy wydarzeniami w oparciu o:
a) następstwo chronologiczne wydarzeń wewnątrz opowieści.
b) fakt, że opowiadane są wydarzenia przeszłe w więc miały miejsce przed zdarzeniem polegającym na rozpoczęciu opowiadania
c) następstwo czasu względem wydarzeń historycznych wspomnianych w opowieściach
d) informacje o wieku bohaterów w opowieści w poszczególnych opowieściach
e) inne, które nie przyszły mi teraz do głowy
Teraz załóżmy że zaznaczymy sobie zdarzenia kropkami a fakt następowania zdarzeń po sobie oznaczymy strzałką skierowaną od zdarzenia wcześniejszego do późniejszego.
To co powinniśmy dostać - o ile Potocki sprytnie nie oszukał nas gdzieś (chcący), bądź nie popełnił złośliwego i niezauważanego przez jego samego i czytelników błędu (niechcący w tym wypadku) - to tzw. DAG (czyli Directed Acyclic Graph - skierowany graf bez cykli).
Właściwie, wysycając do końca informacje z punków a-e, powinniśmy uzyskać coś więcej, mianowicie graf reprezentujący silny porządek częściowy. To wysycenie sprowadza się do prostej uwagi, że następstwo w czasie jest relacją przechodnią (bardziej uczenie i z obca: tranzytywną), czyli jeżeli zdarzenie B następuje po zdarzeniu A a zdarzenie C po zdarzeniu B to zdarzenie C następuje po zdarzeniu A.
Sekunda na definicje:
DAG jest to para składająca się ze zbioru wierzchołków V i relacji R ⊆ VxV t.że dla każdego ∀a1...∀an t. że (ai,ai+1) ∈ R dla i = 1,...,n mamy a1 ≠ an
Porządek częściowy w zbiorze A jest to relacja R ⊆ AxA, która jest
1. zwrotna tzn. ∀ a (a,a) ∈ R
2. antysymetryczna tzn. (a,b) ∈ R i (b,a) ∈ R ⇒ a = b
3. przechodnia tzn. ∀ a b c (a,b) ∈ R i (b, c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R
Nasz porządek wydarzeń w "Rękopisie" nazwałem "silnym porządkiem częściowym" co sprowadza się do tego, że modyfikujemy powyższą definicję i punkty 1 i 2 zastępujemy punktem:
1' antysymetryczna tzn ∀ a (a,a) ∉ R'
Mimo, że żaden porządek częściowy nie śmie być silnym porządkiem częściowym i vice versa (co przy okazji ilustruje nieco paradoksalne zjawisko semantyczne, że znaczenie rzeczownika z przymiotnikiem może nie mieścić się w zakresie znaczenia samego rzeczownika), to chwila zastanowienia pozwala stwierdzić, że są te relacje dobrymi krewnymi. Mianowicie (proste ćwiczenie) uzupełniając silny porządek R' o relację identyczności I = {(a,a), a \in A} dostajemy porządek częściowy, tzn R = R' ∪ I jest porządkiem częściowym. Podobnież, odejmując I od porządku R dostaniemy silny porządek częściowy (R'=R\I jest silnym porządkiem częściowym).
Dla pełnej konsystencji, wysycenie o którym wspomniałem w języku porządków sprowadza się do, nazwijmy to szumnie, twierdzenia:
Niech dany będzie DAG (A,R). Zdefiniujmy R'' = R ∪ RR ∪ RRR ∪ ... gdzie napisanie relacji jedna po drugiej oznacza operację ich złożenia. Wówczas (A, R'') jest silnym porządkiem częściowym. W fachowej nomenklaturze R'' nazywa się domknięciem tranzytywnym R. Częściej niż ja to zrobiłem tutaj, i dając lepsze konotacje nazwie "domknięcie tranzytywne" definiuje się ją tak: ∏ {S | s relacja tranzytywna na A} a potem dowodzi, że R'' jest postaci takiej jaką podałem za definicję. Ale operować w myślach, dla zbiorów skończonych przynajmniej, łatwiej znacznie konstruktywnym opisem.
Wracając do naszego modelu. Dla ułatwienia, ponieważ porządki częściowe to to z czym w matematyce pracujemy częściej, w dalszym ciągu wywodu nasz silny porządek częściowy, opisanym wyżej sposobem, zmienimy na porządek częściowy. W naszym kontekście literackim oznacza to, że przyjmujemy założenie z którym łatwo się pogodzić, że każde zdarzenie jest jednoczesne z samym sobą.
OK, zadajmy więc arcyliterackie Pytanie: ile maksymalnie zdarzeń opisanych w powieści mogło rozgrywać się jednocześnie ?
I natychmiast strawestujmy je w języku relacji porządkujących w następujący sposób: mając porządek częściowy w zbiorze skończonym, znaleźć maksymalną możliwą liczbę elementów wśród których żadne dwa nie będą porównywalne. Nazwiemy to szerokością zbioru uporządkowanego.
Można zrobić to na wiele sposobów, z których najprostszy i najbardziej pracochłonny to dla każdego podzbioru zbioru A sprawdzić czy jego elementy są parami nieporównywalne, jeżeli tak zapisać liczność tego zbioru i z zapisanych liczb po przejrzeniu całości wybrać liczbę największą.
Proponuję sposób następujący. Najpierw znowu pooznaczam:
A - zbiór skończony, R - relacja częściowego porządku w A, dla a ∈ A R+(a) = {x| aRx} \ {a} , R-(a) = {x | xRa}\{a}
Zdefiniuję teraz:
łańcuchem w (A,R) nazywamy podzbiór A który jest liniowo uporządkowany względem relacji R zawężonej do niego
antyłańcuchem w (A,R) nazywamy podzbiór w A w którym żadne dwa różne lementy nie są porównywalne. Szerokość zbioru oznaczę przez SZ.
Twierdzę teraz, że:
∀ a SZ(A) = max(SZ(A \ (R+(a) ∪ {a})), SZ(A \ (R+(a) ∪ {a})), 1+SZ(A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a})))
Jest tak gdyż:
Dla dowolnego elementu a, jeżeli
Przypadek 1) a należy do pewnego antyłańcucha o maksymalnej liczności. Wtedy antyłańcuch ten zawiera się w A\(R+(a) ∪ R-(a)) - bo ma a jako swój element i nie zawiera żadnego elementu porównywalnego z a. Wystarczy więc znaleźć jakiś antyłańcuch maksymalnej liczności w A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a}) i dołączyć do niego a (bo do każdego "dobrego" podzbioru elementów tego zbioru możemy dołączyć a dostajac ciągle dobry zbiór). Jego moc wynosi więc 1+SZ(A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a})).
Jeżeli zaś
Przypadek 2) a nie należy do antyłańcucha o maksymalnej liczności. Wtedy to pewien taki antyłańcuch zawiera się w A \ (R+(a) ∪ {a}) lub A \ (R-(a) ∪ {a}) (bo nie zawiera a, i nie może jednocześnie zawierać elementu z R+(a) i R-(a))
Ostatecznie szukając maksymalnej liczności antyłańcucha można sprowadzić do poszukiwania w podzbiorach jak w tezie (+1 dla wyniku w zbiorze A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a})) ) i wyboru maksymalnej z tych liczb.
Twierdzenie to sprowadza nam poszukiwanie SZ(A) do wyboru dowolnego elementu a i powtórzenia procedury dla trzech istotnie mniejszych zbiorów a następnie scalenia wyników przy pomocy prostej arytmetyki sprowadzającej się do inkrementacji jednego z wyników i funkcji maximum. To gotowy algorytm rekurencyjny.
Arbitralność wyboru elementu a otwiera pewne perspektywy w ew. optymalizacji algorytmu, ale mniejsza o to.
Ćwiczone na zajęciach z algorytmiki, wykładach z matematyki dyskretnej lub kombinatoryki, względnie ogólnie zainteresowane oko zauważy pokrewieństwo serwowanego problemu z twierdzeniem znanym pod nazwą twierdzenie Dilwortha. Mówi ono mianowicie, że w zbiorze częściowo uporządkowanym liczność maksymalnego (w sensie inkluzji) antyłańcucha w jest równa minimalnej ilości rozłącznych łańcuchów, których suma daje cały zbiór. To jednak jak to mówią, zupełnie inna historia.
Ciekawe, czy na zajęciach dajmy na to z teorii literatury na polonistyce nietaktem byłoby zadać nasze Pytanie ?
Przy okazji, do rozważań nad owym problemem i algorytmem sprowokowało mnie nie literatura wcale, ale pewne zagadnienie dotyczące alokacji zasobów w sieci telekomunikacyjnej. Ale to naprawdę inna historia.
Nie sporządziłem czytając, choć kusiło mnie niezmiernie i może kiedyś to zrobię, diagramu wszystkich tych opowieści. Gdyby miał powstać należałoby zrobić coś takiego:
-Wypisać wszystkie wydarzenia (zakładając upraszczająco ich punktowość w czasie) jakie miały miejsce do których odwołują się poszczególne opowieści.
-Wprowadzić relację późniejsze/wcześniejsze pomiędzy wydarzeniami w oparciu o:
a) następstwo chronologiczne wydarzeń wewnątrz opowieści.
b) fakt, że opowiadane są wydarzenia przeszłe w więc miały miejsce przed zdarzeniem polegającym na rozpoczęciu opowiadania
c) następstwo czasu względem wydarzeń historycznych wspomnianych w opowieściach
d) informacje o wieku bohaterów w opowieści w poszczególnych opowieściach
e) inne, które nie przyszły mi teraz do głowy
Teraz załóżmy że zaznaczymy sobie zdarzenia kropkami a fakt następowania zdarzeń po sobie oznaczymy strzałką skierowaną od zdarzenia wcześniejszego do późniejszego.
To co powinniśmy dostać - o ile Potocki sprytnie nie oszukał nas gdzieś (chcący), bądź nie popełnił złośliwego i niezauważanego przez jego samego i czytelników błędu (niechcący w tym wypadku) - to tzw. DAG (czyli Directed Acyclic Graph - skierowany graf bez cykli).
Właściwie, wysycając do końca informacje z punków a-e, powinniśmy uzyskać coś więcej, mianowicie graf reprezentujący silny porządek częściowy. To wysycenie sprowadza się do prostej uwagi, że następstwo w czasie jest relacją przechodnią (bardziej uczenie i z obca: tranzytywną), czyli jeżeli zdarzenie B następuje po zdarzeniu A a zdarzenie C po zdarzeniu B to zdarzenie C następuje po zdarzeniu A.
Sekunda na definicje:
DAG jest to para składająca się ze zbioru wierzchołków V i relacji R ⊆ VxV t.że dla każdego ∀a1...∀an t. że (ai,ai+1) ∈ R dla i = 1,...,n mamy a1 ≠ an
Porządek częściowy w zbiorze A jest to relacja R ⊆ AxA, która jest
1. zwrotna tzn. ∀ a (a,a) ∈ R
2. antysymetryczna tzn. (a,b) ∈ R i (b,a) ∈ R ⇒ a = b
3. przechodnia tzn. ∀ a b c (a,b) ∈ R i (b, c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R
Nasz porządek wydarzeń w "Rękopisie" nazwałem "silnym porządkiem częściowym" co sprowadza się do tego, że modyfikujemy powyższą definicję i punkty 1 i 2 zastępujemy punktem:
1' antysymetryczna tzn ∀ a (a,a) ∉ R'
Mimo, że żaden porządek częściowy nie śmie być silnym porządkiem częściowym i vice versa (co przy okazji ilustruje nieco paradoksalne zjawisko semantyczne, że znaczenie rzeczownika z przymiotnikiem może nie mieścić się w zakresie znaczenia samego rzeczownika), to chwila zastanowienia pozwala stwierdzić, że są te relacje dobrymi krewnymi. Mianowicie (proste ćwiczenie) uzupełniając silny porządek R' o relację identyczności I = {(a,a), a \in A} dostajemy porządek częściowy, tzn R = R' ∪ I jest porządkiem częściowym. Podobnież, odejmując I od porządku R dostaniemy silny porządek częściowy (R'=R\I jest silnym porządkiem częściowym).
Dla pełnej konsystencji, wysycenie o którym wspomniałem w języku porządków sprowadza się do, nazwijmy to szumnie, twierdzenia:
Niech dany będzie DAG (A,R). Zdefiniujmy R'' = R ∪ RR ∪ RRR ∪ ... gdzie napisanie relacji jedna po drugiej oznacza operację ich złożenia. Wówczas (A, R'') jest silnym porządkiem częściowym. W fachowej nomenklaturze R'' nazywa się domknięciem tranzytywnym R. Częściej niż ja to zrobiłem tutaj, i dając lepsze konotacje nazwie "domknięcie tranzytywne" definiuje się ją tak: ∏ {S | s relacja tranzytywna na A} a potem dowodzi, że R'' jest postaci takiej jaką podałem za definicję. Ale operować w myślach, dla zbiorów skończonych przynajmniej, łatwiej znacznie konstruktywnym opisem.
Wracając do naszego modelu. Dla ułatwienia, ponieważ porządki częściowe to to z czym w matematyce pracujemy częściej, w dalszym ciągu wywodu nasz silny porządek częściowy, opisanym wyżej sposobem, zmienimy na porządek częściowy. W naszym kontekście literackim oznacza to, że przyjmujemy założenie z którym łatwo się pogodzić, że każde zdarzenie jest jednoczesne z samym sobą.
OK, zadajmy więc arcyliterackie Pytanie: ile maksymalnie zdarzeń opisanych w powieści mogło rozgrywać się jednocześnie ?
I natychmiast strawestujmy je w języku relacji porządkujących w następujący sposób: mając porządek częściowy w zbiorze skończonym, znaleźć maksymalną możliwą liczbę elementów wśród których żadne dwa nie będą porównywalne. Nazwiemy to szerokością zbioru uporządkowanego.
Można zrobić to na wiele sposobów, z których najprostszy i najbardziej pracochłonny to dla każdego podzbioru zbioru A sprawdzić czy jego elementy są parami nieporównywalne, jeżeli tak zapisać liczność tego zbioru i z zapisanych liczb po przejrzeniu całości wybrać liczbę największą.
Proponuję sposób następujący. Najpierw znowu pooznaczam:
A - zbiór skończony, R - relacja częściowego porządku w A, dla a ∈ A R+(a) = {x| aRx} \ {a} , R-(a) = {x | xRa}\{a}
Zdefiniuję teraz:
łańcuchem w (A,R) nazywamy podzbiór A który jest liniowo uporządkowany względem relacji R zawężonej do niego
antyłańcuchem w (A,R) nazywamy podzbiór w A w którym żadne dwa różne lementy nie są porównywalne. Szerokość zbioru oznaczę przez SZ.
Twierdzę teraz, że:
∀ a SZ(A) = max(SZ(A \ (R+(a) ∪ {a})), SZ(A \ (R+(a) ∪ {a})), 1+SZ(A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a})))
Jest tak gdyż:
Dla dowolnego elementu a, jeżeli
Przypadek 1) a należy do pewnego antyłańcucha o maksymalnej liczności. Wtedy antyłańcuch ten zawiera się w A\(R+(a) ∪ R-(a)) - bo ma a jako swój element i nie zawiera żadnego elementu porównywalnego z a. Wystarczy więc znaleźć jakiś antyłańcuch maksymalnej liczności w A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a}) i dołączyć do niego a (bo do każdego "dobrego" podzbioru elementów tego zbioru możemy dołączyć a dostajac ciągle dobry zbiór). Jego moc wynosi więc 1+SZ(A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a})).
Jeżeli zaś
Przypadek 2) a nie należy do antyłańcucha o maksymalnej liczności. Wtedy to pewien taki antyłańcuch zawiera się w A \ (R+(a) ∪ {a}) lub A \ (R-(a) ∪ {a}) (bo nie zawiera a, i nie może jednocześnie zawierać elementu z R+(a) i R-(a))
Ostatecznie szukając maksymalnej liczności antyłańcucha można sprowadzić do poszukiwania w podzbiorach jak w tezie (+1 dla wyniku w zbiorze A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a})) ) i wyboru maksymalnej z tych liczb.
Twierdzenie to sprowadza nam poszukiwanie SZ(A) do wyboru dowolnego elementu a i powtórzenia procedury dla trzech istotnie mniejszych zbiorów a następnie scalenia wyników przy pomocy prostej arytmetyki sprowadzającej się do inkrementacji jednego z wyników i funkcji maximum. To gotowy algorytm rekurencyjny.
Arbitralność wyboru elementu a otwiera pewne perspektywy w ew. optymalizacji algorytmu, ale mniejsza o to.
Ćwiczone na zajęciach z algorytmiki, wykładach z matematyki dyskretnej lub kombinatoryki, względnie ogólnie zainteresowane oko zauważy pokrewieństwo serwowanego problemu z twierdzeniem znanym pod nazwą twierdzenie Dilwortha. Mówi ono mianowicie, że w zbiorze częściowo uporządkowanym liczność maksymalnego (w sensie inkluzji) antyłańcucha w jest równa minimalnej ilości rozłącznych łańcuchów, których suma daje cały zbiór. To jednak jak to mówią, zupełnie inna historia.
Ciekawe, czy na zajęciach dajmy na to z teorii literatury na polonistyce nietaktem byłoby zadać nasze Pytanie ?
Przy okazji, do rozważań nad owym problemem i algorytmem sprowokowało mnie nie literatura wcale, ale pewne zagadnienie dotyczące alokacji zasobów w sieci telekomunikacyjnej. Ale to naprawdę inna historia.
2010-02-17
...o kole o ko...
Według wstępniaka w zamykającym całą zabawę numerze Journal of Memetics z 2005 roku, memetyka jako płodna metoda badawcza, czy wręcz nauka per se poniosła klęskę. Natomiast jako inspirująca metafora, co autor owego artykułu również przyznaje, broni się, w tym sensie, że z informacją, pomysłami, generalnie: myślowymi wytworami kultury, które dają się komunikować dzieje się coś co przypomina ewolucję. Można zatem również myśleć o elementarnych cegiełkach dziedziczenia replikujących się i przekształcających podobnie jak kod genetyczny. Nie należy lekceważyć metafory. Wpływowe systemy filozoficzne bywały wzniesione na jednej metaforze (lub zredukowały się do niej). Ustroje państw miały przypominać ciało ludzkie, rzeczywistość płynęła jak woda lub płonęła jak ogień, społeczeństwa miały być maszynami, zegarami, porządek wśród ludzi miał odzwierciedlać ten jaki panuje między gatunkami, w wieku pary rządziła termodynamika, w adwencie wieku komputerów wszystko zdawało się przypominać komputer, dziś jako paradygmat (który w jakimś stopniu daje się sprowadzić do wielkiej metafory) króluje sieć. Metafora DNA dla świata myśli i idei ludzkich nie jest więc niczym specjalnie dziwnym czy niezwykłym.
Podążając, nie do końca przecież świadomie jej ścieżkami bawić się można wyjaśnianiem, uprawianiem filogenetycznej taksonomii myśli - nie jak prawdziwy naukowiec czy filozof przecież, ale tak zabawowo, pozostając do owych prawdziwych w stosunku takim samym jak miłośnik astronomii do astronoma. Mnie osobiście ostatnio pociągają peryferie pomiędzy filozoficzną spekulacją (którą często cenię za jej pomysłowość, czasem za moc i wielkość wizji, bywa że za dziwność, rzadko jednak uznaję jej roszczenie do prawdy innej niż ta na którą samo jej istnienie jest dowodem) a matematyką (w której podobnież cenię pomysłowość, wielkość wizji, czasem dziwność, ale której jestem skłonny przyznać znacznie więcej w kwestii prawdy).
Idąc tym tropem, kolejna karkołomna zabawa w skojarzenia.
O ile zdaje się TEN (w rozumieniu taki) Pitagoras któremu tak wiele przypisywali starożytni nie istniał, prazałożyciel szkoły Pitagoras dał głównie imię idolowi wielu stuleci, firmując nim postać o cechach herosa. Istnieli natomiast niewątpliwie pitagorejczycy. I oczywiście - z oddalenia przecież obraz rozmywa się i zlewa - ta nazwa obejmuje wiele różnych i często różniących się ruchów. Ci, którzy mnie chwilowo interesują, to pitagorejczycy można rzewc oryginalni, z okresu archaicznego, przedsokratejskiego. Widzimy ich dzisiaj, choć raczej jako tło dla innych przedsokratyków, znanych z nazwiska i przeniesionych w strzępach informacji (eleatów, filozofów jońskich). Pitagorejczycy wierzyli w harmonię i liczbę budując jak się zdaje coś w formie religii czy mistyki geometryczno-matematycznej. Wiązało się to z kilkoma odkryciami np. z powiązaniem proporcji w długościach struny a harmonijnym brzmieniem dźwięków z niej wydobywanych, z geometrią liczb wiążącą własności abstrakcji jaką jest liczba z konkretem jakim jest geometryczna konfiguracja, rozmieszczenie, przedmiotów ze zbioru o określonej liczności. Podobno głęboko skrywaną przez nich przez długi czas tajemnicą - być może wywracającą ich świat na nice, porównywalną jezeli chodzi o moc intelektualnego wstrząsu jaki powodowało jej poznanie z twierdzeniami Godla we nowożytnej nauce - był dowód istnienia liczb niewymiernych (a konkretnie, w ich nomenklaturze, dowód niewspółmierności przekątnej i boku kwadratu).
Poza mistyką liczby, wielki wpływ na pitagorejczyków miały jak się zdaje misteria o charakterze religijnym. Mianowicie kult orficki, orfizm. Archaiczna religia dokoptowana do achajskiej przez mit Orfeusza zstępującego do Hadesu i opuszczającego go. (ćwiczenie: z jakim memem mamy tu do czynienia ?). Jedną z głównych idei orfizmu - powielaną w różnych mutacjach w różnych religiach i filozofiach była idea reinkarnacji, metempsychozy. W orfiźmie dusza miała przejść pewną ustaloną i zdaje się nie wynikającą z jej dotychczasowego życia ilość inkarnacji. W innych systemach bywa inaczej: reinkarnacja w hinduiźmie np. nie ogranicza się przechodzenia przez postacie ludzkie, ale dusza odradza się w istotach żywych, zajmując miejsce w ich hierarchii (od nailichszego robactwa do człowieka) a jeśli już wcieleniem jest człowiek: w hierarchii społecznej (systemie kastowym) w zależności od dotychczasowego życia. Karma czyli przeznaczenie jest więc wynikiem postępowania i wyboru. Poza reinkarnacją liniową - tak rozumiałbym orficko-pitagorejską, i reinkarnacją nieliniową jak hinduistyczna umieściłbym coś co do końca nie jest może reinkarnacją ale bardzo ją przypomina - by abuse of the language nazwijmy ją reinkarnacją kołową. Do takiej zaliczałbym fantastyczną wyznawaną np. przez stoików ideę absolutnej kolistości czasu i historii a więc cyklicznej, idealnej, powtarzalności losu nie tylko człowieka ale wszechświata jako całości. Wszechświat stoików w niesamowity sposób przypomina jedną z idei współczesnej kosmologii - podyktowaną analizą możliwych rozwiązań równań Einsteina - wszechświata pulsujacego pomiędzy jedną a drugą osobliwością, na przemian eksplodującego z punktu (o którym równania owe i sama teoria niewiele lub nic nie może powiedzieć) i ostatecznie ginącego w takim samym punkcie z którego wszystko być może (równania tracą sens w osobliwości i nie można wnioskować na pewno co będzie "potem") zaczyna się na nowo.
Ideę powtarzalności zdarzeń w ciekawy literacko sposób wykorzystał (i dostarczył mi w ten sposób w odległych licealnych czasach kilku czytelniczych przyjemności) znany kolekcjoner perwersji umysłowych Jorge Luis Borghes. Prócz powtarzania tego motywu w wielu opowiadanich popełnił jeszcze z Adolfo Bioy Cesaresem powieść "Wynalazek Morela" w której uczynili z niego oś rozgrywającej się akcji. Polecam.
Cykliczność to jeden z podstawowych motywów matematycznych, toposów (w sensie teorioliterackim nie teoriokategoryjnym - o tych drugich mam chętkę napisać osobno) możnaby powiedzieć, gdyby do matematyki podejść jak do literatury. Od wczesnych i nieuświadomionych co do swojej ogólności form analizy harmonicznej (np. takiej jak w astronomii ptolemeuszowskiej rozkładającej ruchy ciał niebieskich na złożenie stosownych cykli), przez jej formy dojrzałe, przez badanie cykliczności w równaniach różniczkowych po formy wyrafinowane kiedy ścisła kolistość i cykliczność zostaje porzucona na rzecz niedokładnej, przybliżonej - jak w twierdzeniach o powrocie Poincare'go, teorii ergodycznej i w końcu teorii chaosu temat cykliczności powraca cyklicznie. Oczywiscie w wypadku matematyki nie jest to kwestia żadnej mody ale wynika wprost z natury badanych obiektów matematycznych. Ale czy nie jest i tak z toposami literackimi ? Czy owe motywy wracające od jednej opowieści do drugiej nie wyrastają po prostu z naszej natury, z podobieństwa i powtarzalności sytuacji w jakich znajduje się człowiek, ze wspólnego doświadczenia stada ludzkiego, starszego o tysiąclecia od czegokolwiek co dziś za literaturę moglibyśmy uważać?
Koniec. I tak za dużo i zbyt chaotycznie jak na tak długa przerwę.
Podążając, nie do końca przecież świadomie jej ścieżkami bawić się można wyjaśnianiem, uprawianiem filogenetycznej taksonomii myśli - nie jak prawdziwy naukowiec czy filozof przecież, ale tak zabawowo, pozostając do owych prawdziwych w stosunku takim samym jak miłośnik astronomii do astronoma. Mnie osobiście ostatnio pociągają peryferie pomiędzy filozoficzną spekulacją (którą często cenię za jej pomysłowość, czasem za moc i wielkość wizji, bywa że za dziwność, rzadko jednak uznaję jej roszczenie do prawdy innej niż ta na którą samo jej istnienie jest dowodem) a matematyką (w której podobnież cenię pomysłowość, wielkość wizji, czasem dziwność, ale której jestem skłonny przyznać znacznie więcej w kwestii prawdy).
Idąc tym tropem, kolejna karkołomna zabawa w skojarzenia.
O ile zdaje się TEN (w rozumieniu taki) Pitagoras któremu tak wiele przypisywali starożytni nie istniał, prazałożyciel szkoły Pitagoras dał głównie imię idolowi wielu stuleci, firmując nim postać o cechach herosa. Istnieli natomiast niewątpliwie pitagorejczycy. I oczywiście - z oddalenia przecież obraz rozmywa się i zlewa - ta nazwa obejmuje wiele różnych i często różniących się ruchów. Ci, którzy mnie chwilowo interesują, to pitagorejczycy można rzewc oryginalni, z okresu archaicznego, przedsokratejskiego. Widzimy ich dzisiaj, choć raczej jako tło dla innych przedsokratyków, znanych z nazwiska i przeniesionych w strzępach informacji (eleatów, filozofów jońskich). Pitagorejczycy wierzyli w harmonię i liczbę budując jak się zdaje coś w formie religii czy mistyki geometryczno-matematycznej. Wiązało się to z kilkoma odkryciami np. z powiązaniem proporcji w długościach struny a harmonijnym brzmieniem dźwięków z niej wydobywanych, z geometrią liczb wiążącą własności abstrakcji jaką jest liczba z konkretem jakim jest geometryczna konfiguracja, rozmieszczenie, przedmiotów ze zbioru o określonej liczności. Podobno głęboko skrywaną przez nich przez długi czas tajemnicą - być może wywracającą ich świat na nice, porównywalną jezeli chodzi o moc intelektualnego wstrząsu jaki powodowało jej poznanie z twierdzeniami Godla we nowożytnej nauce - był dowód istnienia liczb niewymiernych (a konkretnie, w ich nomenklaturze, dowód niewspółmierności przekątnej i boku kwadratu).
Poza mistyką liczby, wielki wpływ na pitagorejczyków miały jak się zdaje misteria o charakterze religijnym. Mianowicie kult orficki, orfizm. Archaiczna religia dokoptowana do achajskiej przez mit Orfeusza zstępującego do Hadesu i opuszczającego go. (ćwiczenie: z jakim memem mamy tu do czynienia ?). Jedną z głównych idei orfizmu - powielaną w różnych mutacjach w różnych religiach i filozofiach była idea reinkarnacji, metempsychozy. W orfiźmie dusza miała przejść pewną ustaloną i zdaje się nie wynikającą z jej dotychczasowego życia ilość inkarnacji. W innych systemach bywa inaczej: reinkarnacja w hinduiźmie np. nie ogranicza się przechodzenia przez postacie ludzkie, ale dusza odradza się w istotach żywych, zajmując miejsce w ich hierarchii (od nailichszego robactwa do człowieka) a jeśli już wcieleniem jest człowiek: w hierarchii społecznej (systemie kastowym) w zależności od dotychczasowego życia. Karma czyli przeznaczenie jest więc wynikiem postępowania i wyboru. Poza reinkarnacją liniową - tak rozumiałbym orficko-pitagorejską, i reinkarnacją nieliniową jak hinduistyczna umieściłbym coś co do końca nie jest może reinkarnacją ale bardzo ją przypomina - by abuse of the language nazwijmy ją reinkarnacją kołową. Do takiej zaliczałbym fantastyczną wyznawaną np. przez stoików ideę absolutnej kolistości czasu i historii a więc cyklicznej, idealnej, powtarzalności losu nie tylko człowieka ale wszechświata jako całości. Wszechświat stoików w niesamowity sposób przypomina jedną z idei współczesnej kosmologii - podyktowaną analizą możliwych rozwiązań równań Einsteina - wszechświata pulsujacego pomiędzy jedną a drugą osobliwością, na przemian eksplodującego z punktu (o którym równania owe i sama teoria niewiele lub nic nie może powiedzieć) i ostatecznie ginącego w takim samym punkcie z którego wszystko być może (równania tracą sens w osobliwości i nie można wnioskować na pewno co będzie "potem") zaczyna się na nowo.
Ideę powtarzalności zdarzeń w ciekawy literacko sposób wykorzystał (i dostarczył mi w ten sposób w odległych licealnych czasach kilku czytelniczych przyjemności) znany kolekcjoner perwersji umysłowych Jorge Luis Borghes. Prócz powtarzania tego motywu w wielu opowiadanich popełnił jeszcze z Adolfo Bioy Cesaresem powieść "Wynalazek Morela" w której uczynili z niego oś rozgrywającej się akcji. Polecam.
Cykliczność to jeden z podstawowych motywów matematycznych, toposów (w sensie teorioliterackim nie teoriokategoryjnym - o tych drugich mam chętkę napisać osobno) możnaby powiedzieć, gdyby do matematyki podejść jak do literatury. Od wczesnych i nieuświadomionych co do swojej ogólności form analizy harmonicznej (np. takiej jak w astronomii ptolemeuszowskiej rozkładającej ruchy ciał niebieskich na złożenie stosownych cykli), przez jej formy dojrzałe, przez badanie cykliczności w równaniach różniczkowych po formy wyrafinowane kiedy ścisła kolistość i cykliczność zostaje porzucona na rzecz niedokładnej, przybliżonej - jak w twierdzeniach o powrocie Poincare'go, teorii ergodycznej i w końcu teorii chaosu temat cykliczności powraca cyklicznie. Oczywiscie w wypadku matematyki nie jest to kwestia żadnej mody ale wynika wprost z natury badanych obiektów matematycznych. Ale czy nie jest i tak z toposami literackimi ? Czy owe motywy wracające od jednej opowieści do drugiej nie wyrastają po prostu z naszej natury, z podobieństwa i powtarzalności sytuacji w jakich znajduje się człowiek, ze wspólnego doświadczenia stada ludzkiego, starszego o tysiąclecia od czegokolwiek co dziś za literaturę moglibyśmy uważać?
Koniec. I tak za dużo i zbyt chaotycznie jak na tak długa przerwę.
2010-01-03
Remanenty (2009)
Jak co roku. Tym razem króciutko.
Postów: 24
Wizyt: 7550
Odsłon stron: 9818
Średni czas spędzony na stronie: 00:00:56
Lista lektur za rok 2009:
Swetoniusz "Żywoty Cezarów. T I"
Daniel C. Dennett "Słodkie sny"
Jan Potocki "Rękopis znaleziony w Saragossie"
Marek Kordos "Wykłady z historii matematyki"
Blaise Pascal "Prowincjałki"
Raviel Netz, William Noel "Kodeks Archimedesa. Tajemnice najsłynniejszego palimpsestu świata"
Jaroslav Hašek "Przygody dobrego wojaka Szwejka podczas wojny światowej"
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 4: Systemy epoki Cesarstwa"
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 3: Systemy epoki hellenistycznej."
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 2: Platon i Arystoteles."
Flawiusz Arrian "Wyprawa Aleksandra Wielkiego"
Robert Nye "Falstaff"
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 1: Od początków do Sokratesa."
Bartek Chaciński "Wypasiony słownik najmłodszej polszczyzny"
Paweł Jasienica "Rzeczpospolita Obojga Narodów. Dzieje agonii."
Paul J. Cohen "Set Theory and The Continuum Hypothesis"
Karol Darwin "Podróż na okręcie 'Beagle'"
Paweł Jasienica "Rzeczpospolita Obojga Narodów. Calamitatis regnum."
Paweł Jasienica "Rzeczpospolita Obojga Narodów. Srebrny Wiek"
Ernest Nagel, James R. Newman "Gödel's proof"
Paweł Jasienica "Polska Jagiellonów"
Tadeusz Wittlin "Ostatnia cyganeria"
Paweł Jasienica "Polska Piastów"
Marek Aureliusz "Rozmyślania"
Noworoczne pozdrowienia dla wszystkich!
Postów: 24
Wizyt: 7550
Odsłon stron: 9818
Średni czas spędzony na stronie: 00:00:56
Lista lektur za rok 2009:
Swetoniusz "Żywoty Cezarów. T I"
Daniel C. Dennett "Słodkie sny"
Jan Potocki "Rękopis znaleziony w Saragossie"
Marek Kordos "Wykłady z historii matematyki"
Blaise Pascal "Prowincjałki"
Raviel Netz, William Noel "Kodeks Archimedesa. Tajemnice najsłynniejszego palimpsestu świata"
Jaroslav Hašek "Przygody dobrego wojaka Szwejka podczas wojny światowej"
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 4: Systemy epoki Cesarstwa"
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 3: Systemy epoki hellenistycznej."
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 2: Platon i Arystoteles."
Flawiusz Arrian "Wyprawa Aleksandra Wielkiego"
Robert Nye "Falstaff"
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 1: Od początków do Sokratesa."
Bartek Chaciński "Wypasiony słownik najmłodszej polszczyzny"
Paweł Jasienica "Rzeczpospolita Obojga Narodów. Dzieje agonii."
Paul J. Cohen "Set Theory and The Continuum Hypothesis"
Karol Darwin "Podróż na okręcie 'Beagle'"
Paweł Jasienica "Rzeczpospolita Obojga Narodów. Calamitatis regnum."
Paweł Jasienica "Rzeczpospolita Obojga Narodów. Srebrny Wiek"
Ernest Nagel, James R. Newman "Gödel's proof"
Paweł Jasienica "Polska Jagiellonów"
Tadeusz Wittlin "Ostatnia cyganeria"
Paweł Jasienica "Polska Piastów"
Marek Aureliusz "Rozmyślania"
Noworoczne pozdrowienia dla wszystkich!
Subskrybuj:
Posty (Atom)
Posty
