O zwartości burzowym latem

gdy umysł i ciało wołają urlopu...
Dziś trochę matematyki, jaką ostatnio się podbawiałem.



1. Twierdzenie z topologii o uniwersalności kostki Cantora dla przestrzeni zwartych


W topologii ogólnej dowodzi się następującego twierdzenia:



Twierdzenie 1:

Każdej przestrzeń zwarta X o ciężarze m jest ciągłym obrazem kostki Cantora C_m =  {0,1}^m (gdzie na C_m mamy topologię Tichonowa).

Gwoli wyjaśnienia, ciężarem przestrzeni topologicznej nazywamy minimalną liczność bazy tej przestrzeni.



2. Specjalny przypadek zwartych przestrzeni metyrycznych: dowód

Nas interesować będzie szczególna wersja tego twierdzenia, mianowicie
taka, gdy X jest przestrzenią zwartą metryczną. Ponieważ zwarta
przestrzeń metryczna ma ciężar nie przekraczający ω, twierdzenie,
którym przez moment się zajmiemy będzie miało postać:

Twierdzenie 2:

Każdej przestrzeń metryczna zwarta X jest ciągłym obrazem kostki
Cantora C_ω  =  {0,1}^N. 

(gdzie na C_ω mamy metrykę
zadaną wzorem: d_C(x,y)=0, dla x=y i d(x,y) = (1/2)^-n, gdzie n = min {i| x(i)≠y(i)} w przeciwnym wypadku).

Oczywiście pracujemy tu w ogóle w kategorii porzestrzeni metrycznych z odwzorowaniami ciągłymi jako morfizmami, bowiem {0,1}^N jest metryzowalna (i co więcej da się tak zmetryzować, że będzie izometryczna ze zbiorem Cantora mieszkającym jak wiadomo na odcinku). Dla potrzeb poniższych rozważań, żeby nie gryźć się w język co chwilę, pojęcia kostki Cantora używał będeż zawsze w rozumieniu kostki Cantora o ciężarze ω. Podobnie - z uwagi na to co powiedziałem powyżej, mogę też użyć terminu "zbiór Cantora" jako synonimu dla "kostki Cantora".

Przedstawię dowód twierdzenia 2 jaki sobie na własny użytek przeprowadziłem:


Zacznijmy od definicji. ε-sieć  to zbiór S punktów w przestrzeni metrycznej (X,d), t.że X = ∪ {K(x, ε) | x ∊ S}.

Dla przestrzeni metrycznych zwartych, dla kazdego epsilon istnieje (na ogół nie jedna) skończona ε-sieć.




W celu konstrukcji naszego odwzorowania, weźmy ciąg ε_n = (1/2)ⁿ . Dla n, niech S_n oznacza pewną wybraną ε_n-sieć.


Niech φ(0) = #S₀


φ(n) = max {#S_n ⋂ K(x, ε_n-1)| x ∊ S_n-1}


Niech Φ(n) := [log₂(φ(n))]+1


niech

ψ(0): {0,1}^Φ(0) -> S₀


ψ(n): {0,1}^Φ(n) × S_n-1 -> S_n taka, że:


ψ(0) jest surjekcją


ψ(n)(_,x): {0,1}^Φ(n) -> K(x,ε_n-1)) ⋂ S_n jest surjekcją


Φ(n) jak można zauważyć jest wystarczająco duże, tak że ψ(n)(_,x) da się dobrze określić dla każedego x ∊ S_n-1. Zbiory postaci {0,1}^Φ(n) × {x} dla x ∊ S_n-1 są rozłączne i łącznie pokrywają całą dziedzinę funkcji ψ(n), zatem ψ(n) da się określić dla każdego n.


Teraz zdefiniujemy dwie funkcje:


Rtp : {0,1}^N -> {0,1}^Φ(0) × {0,1}^Φ(1) × ...

i

Sq: {0,1}^Φ(0) × {0,1}^Φ(1) × ... -> X^N


Rtp jest zdefiniowana naturalnie:


(c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1, c_Φ(0) ..., c_{Φ(0)+Φ(1)-1}, c_Φ(0)+Φ(1), ...) -> ((c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1), (c_Φ(0) ..., c_{Φ(0)+Φ(1)-1}), (c_Φ(0)+Φ(1), ...),...)


Przyporządkowanie Sq zaś, określone jest następująco:

((c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1), (c_Φ(0) ..., c_{Φ(0)+Φ(1)-1}), (c_Φ(0)+Φ(1), ...),...) -> (x₀, x₁, ...)

gdzie:

x₀ = ψ(0)(c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1)

x_n = ψ(n)((c_{Φ(0)+...+Φ(n-1)}, c_{Φ(0)+...+Φ(n-1)+1}, ..., c_{Φ(0)+...+Φ(n)-1}), x_n-1)


Zauważmy, że dowolny ciąg należący do obrazu funkcji Sq jest zbieżny.
Wynika to z określenia ciągu (x_n) i doboru funkcji ψ(n).
Mamy bowiem:
d(x_n, x_n-1) <= ε_n-1
więc
d(x_l, x_k) < Σ_i=min(l,k)^∞ (1/2)ⁱ  = (1/2)^min(l,k)-1


Zatem(x_n) jest ciągiem Cauchy'ego - a więc zbieżnym w przestrzeni zwartej.

Możemy teraz zdefiniować funkcję:

Cant : {0,1}^N -> X

Cant(s) = lim_n->∞(Sq(Rpt(s)))(n)

Do zakończenia dowodu należy jeszcze pokazać, że:

1. Cant, jest funkcją ciągłą
2. Cant jest suriekcją

Punktu 1 dowodzi się podobnie jak istnienia granicy:

Zauważmy, że d(Sq(Rpt(s))(j), Cant(s)) < (1/2)^(j-1) (*)

Teraz, jeżeli Cant(s) = x i weźmiemy dowolne ε > 0, możemy wybrać δ > 0, tak małe, że:

z d_C(s,t) < δ wynika, że s(i) = t(i) dla i = 0,...,N, gdzie N > Φ(0)+....+Φ(k) i gdzie (1/2)^k < ε/2

Wtedy Sq(Rpt(s))(i) = Sq(Rpt(t))(i) dla i = 0,...,k

i

d(Cant(s), Cant(t))<d(Sq(Rpt(s))(k), Cant(s))+d(Sq(Rpt(s))(k), Cant(t)) = d(Sq(Rpt(s))(k), Cant(s))+d(Sq(Rpt(t))(k), Cant(t)) < ε

co dowodzi ciągłości.

Zatem Cant(C_ω) jest domknięty (zwarty) w X. Pokażę teraz, że jest również gęsty w X, co da nam suriektywność i skończy tym samym dowód. Wybierzmy pewne dowolne ε i punkt x ∊ X. Pokażę, że w otoczeniu K(x, ε) punktu x istnieje punkt z obrazu funkcji Cant. Zauważmy, że dla każdego j Sq(Rpt(_))(j) : C_ω -> S_j jest surjekcją (**). Wybierzmy więc j tak duże, że S_j jest ε/2-siecią i (1/2)^(j-1) < ε/2. Z nierówności (*) i faktu (**) wynika, że istnieje s takie, że d(Cant(s), x)<ε .



3. Ale po co

Samo twierdzenie wydawało mi się zawsze ciekawe. Jakoś ostatnio nachodziło mnie (i wtedy też je sobie udowodniłem) w kontekście nieco filozoficznych rozważań o naturze obiektów matematycznych. Jest bowiem tak, że w twierdzeniu jest ukryty pewien sposób konstruowania przestrzeni zwartych w kombinatoryczny (może finitystyczny) sposób. Funkcje pomocnicze, które były wykorzystywane na potrzeby konstrukcji funkcji Cant zależą od dość dowolnych wyborów stosownych ε-sieci i odpowiednich suriekcji (słowem: Cant powinna mieć przeliczalną liczbę indeksów opisujących jakąż parametry od których zależy) . Ciekawe może być pytanie o warunki jakie należy narzucić na ciąg zbiorów skończonych (Z_n) i funkcji F_n: Z_n->P(Z_n+1) (P(X) to zbiór poszbiorów zbioru X) i malejący ciąg liczb (ε_n) aby istniała przestrzeń metryczna dla której Z_n będą ε_n-sieciami? Jak odpowiedź zależy od tego, że założymy że będę to ε_n-sieci minimalne (tzn. żaden właściwy podzbiór Z_n nie będzie już en siecią)?  Przy założeniach minimalności są chyba jakieś ciekawe związki między ciągiem #Z_n z wymiarem Hausdorffa przestrzeni X? Dołożyć do systemu wymaganie obliczalności systemu funkcji F_n - co dostaniemy? Czy jakąś obliczalną teorię przestrzeni zwartych, w której da się ściśle i dokładnie powiedzieć co to znaczy np. że okrąg lub odcinek jest "prostym" zbiorem natomiast taki płatek Kocha bardziej złożonym (a może wręcz przeciwnie prostszym)? Może ma to jakieś praktyczne znaczenie - np dla kompresji "kształtów" a więc i np. obrazów?

Czy jest jakiś związek (właśnie się uczę tej teorii zaintrygowany ninejszym pytaniem) między twierdzeniem tu dowodzonym a możliwością przedstawiania przestrzeni zwartych jako algebr definiowalnych równościowo?

Bedę wracał do tych tematów mam nadzieję, bo żywo mnie ostatnio zajmują.

Interludium w milczeniu

Znowu długa i nie planowana przerwa w blogowaniu. Dużo pracy, po prostu. Nie bardzo mam siłę zabierać się za pisanie. Dookoła dziwne lato. Chaos w pogodzie i chaos w umysłach ludzi. Bardzo podziwiam moich znajomych, którzy wychodzą z pracy i oddają się jeszcze jakiemuś absorbującemu hobby. Ja ostatnio nawet lektury pcham do przodu z największym trudem. Fakt, że nie poszedłem z nimi na łatwiznę - zbliżam się właśnie do końca drugiego tomu "Historii filozofii starożytnej" Giovanniego Reale. Świetna rzecz - polecam gorąco. W tle i przed zaśnięciem doprowadziłem też za Flawiuszem Arrianem Aleksandra Wielkiego do Indii i pożegnałem go w Babilonie.
Sam nie wiem jak się to stało, że od jakiegoś czasu strasznie mnie wciąga starożytność. Może to kolejna po matematyce forma bezpiecznego dla zdrowia eskapizmu (uprawiam również formy niezdrowe...)? Może fakt, że po kilku przejażdżkach w śródziemnomorskie okolice, zobaczeniu kilku miejsc przestała być dla mnie ta historia bezduszna - nabrała barw, smaków, kolorów. Ma swoją scenografię. Z drugiej strony, nie jest to jednak oderwanie się zupełne od współczesności. W zmienionych dekoracjach widzę tam przecież ten sam spektakl, charaktery i postawy które spotykam na ulicach, w pracy czy włączając telewizor. Czytając książkę Reale znajduję początek, w wielu przejawach imponujący jakby miał być apogeum, sporów i przygód myśli ludzkiej które trwają do dzisiaj. Pytań na które, stawiając je być może w innym języku - wciąż nie znaleziono odpowiedzi mimo ataków i prób.
Z drugiej strony jestem nieodrodnym dzieckiem swoich czasów. Doceniając pragnienie odpowiedzi na wielkie pytania, metafizyczne starożytności, podziwiając śmiałość w ich stawianiu, rodzącą się głębię i precyzję myśli w czasach kiedy po raz pierwszy próbowano na nie udzielać odpowiedzi, więzi mnie sceptycyzm co do możliwości udzielenia tejże w ogóle. Zgniłe podejrzenia, że są to w rzeczywistości problemy sztuczne, pułapki języka. Wątpliwości co do sensu ich stawiania. Węszę ślady złudnych odpowiedzi i "nibyrozwiązań" w myślach i słowach tych, którzy czują się powołani narzucać -arbitralnie, z pyszną pewnością swoich racji - swoją wolę innym. Historia myśli jest historią złudzeń. Teraźniejszość myśli jest teraźniejszością złudzeń.