Zaklinowałem się przy próbie zrozumienia kilku dowodów i opanowania paru technik w teorii liczb, których znajomość jak sądzę ułatwiłoby mi kolejne podjęcie próby ataku na równanie Brocarda-Ramanujana. Człowiek czasem staje przerażony ogromem swojej niewiedzy i mozolnością z jaką ją zdobywa i z jaką przychodzi zrozumienie. Co tu kryć, czuję się strasznie ograniczony. Cięzko mi sobie nawet wyobrazić rozmiar przedsiewzięcia na które z sukcesem poważyli się np. Wiles lub Perelman atakując i rozwiązując problemy o ileż trudniejsze i jakże wielkiej wiedzy, mozolnej pracy, wieloletniego napięcia uwagi i w końcu pomysłowości i geniuszu wymagające. Czy po takim wysiłku mogą chciec dokonać, więcej, czy są w stanie? Czy potem człowiek może czuć coś innego niż uczucie wypalenia i pustki, bo dzieło jego życia dokonało się już.
A ja - zardzewiały, rozleniwiony, rozpuszczony w codzienności nie jestem w stanie wskrzesać z siebie maleńkiego ułamka ich mocy i nie znajduję ułamka ich zdolności. Smutne to w sumie. Uczy pokory, ale i podziwu.
2008-01-17
2008-01-10
Trójki i równania - medytacje
W walce o dobra trójkę ABC naturalna heurystyka nakazuje szukać wśród rozwiązań równań diofantycznych ogólnej postaci:
<suma dwóch iloczynów z potęgami>=<iloczyn z potęgami>
takich rzecz jasna by kontrolować jeszcze "względną pierwszość" pary składników sumy i składników i wyniku.
Ten sposób myślenia jest niejako dualny do powodu z jakiego w ogólę hipotezę ABC postawiono, o czym jeszcze kiedyś napiszę (będę wówczas filozofował i wyrażał się w terminach skrajnie ogólnikowych). Dziś tylko raportuję o zaprzątających mnie medytacjach nad równaniami.
Wobec heurezy wspomnianej na początku, jako naturalny punkt wyjścia do poszukiwań dobrych trójek, przyjąłem poszukiwanie rozwiązań równania Pella:
x^2-D*y^2 = 1
To bardzo dobrze znane (od starożytności) i nieźle zbadane równanie, z grubsza spełniające sformułowany na początku postulat. Daje też niejakie nadzieje na znalezienie dobrych trójek, gdyż wśród 215 dobrych trójek na górze rankingu, dwie pochodzą od rozwiązań tego równania, mianowicie
Rozwiązanie równania: x^2 - (3*547)*y^2 = 1 daje 66 w rankingu trójkę (A=1, B= 2^4*3^7*547 C=5^8*7^2) z alfa=1.439063 znalezioną przez Benne M.M. de Weger
Rozwiązanie równania: x^2 - (2*3)*y^2 = 1 daje 34 w rankingu przepiękną trójkę (A=1, B= 2^5*3*5^2 C=7^4) z alfa=1.455673 również znalezioną przez Benne M.M. de Weger
Zaletą równania Pella jako źródła materiału do przeczesywania jest własnie to, że jest tak dobrze zbadane, ma rozwiązania przy niewielkich założeniach o D (ważne, żeby nie było kwadratem), które to rozwiązania zachowują się bardzo regularnie.
Nawiasem mówiąc znacznie większa ilość trójek w rankingu pochodzi z wyników algorytmicznego poszukiwania i badania rozwiązań innego równania:
K*x^n-L*y^n=M*z.
Atrakcyjność tego ostatniego dla poszukiwań trójek płynie z faktu, że można przyjmować względnie wysokie wykładniki n i dobrze dobierać współczynniki K,L i M licząć, że po wstawieniu za x, y i z rozwiązań równania przy owych parametrach, dostaniemy trójkę z dużym alfa. Eksploatował je z wielkim powodzeniem w tym kontekście Abderrahmane Nitaj.
Ja jednak chwilowo (i w ogóle nie sportowo podchodząc do zagadnienia dobrych trójek, nie rzucając się jak wilk na algorytmy Nitaja by zapisać swoje nazwisko w "hall of fame") zatrzymałem się przy równianiu Pella, którego wszędobylskość w elementarnej (i tej nie całkiem już elementarnej) teorii liczb z wypiekami na twarzy odkrywam. Spotyka się tu fascynująca tematyka ciągów Lucasa , aproksymacji diofantycznych (szczególnie zaś ułamków łańcuchowych), zagadnień obliczeniowych w teorii liczb (np. rzućcie okiem tu), ciał kwadratowych i wielu, wielu innych.
Przy okazji zabaw z równaniem Pella, albo ogólniej, na wycieczce w świat równań diofantycznych, natrafiłem na ciekawe równanie Brocarda-Ramanujana postaci:
n!+1 = m^2
którego znamy trzy rozwiązania, (4,5), (5,11), (7,71). Zbadano, numerycznie, że dla n < 10^9 nie ma innych rozwiązań. Nie ma jednak na razie dowodu, że rozwiązań jest skończenie wiele - chyba, że przy założeniu prawdziwości hipotezy ABC. Wtedy mamy nawet silniejszy rezultat (np. tu ). Ale przy prawdziwości hipotezy ABC, to można dowieść hu hu... Tak dużo, że nie zanosi się na razie na dowód samej hipotezy (a wielu wątpi w jej prawdziwość w ogóle).
Z różnych powodów wydaje mi się jednak, że tezy o skończonej ilości rozwiązań równania Brocarda-Ramanujana można jednak dowieść bez hipotezy ABC, co nie jest jednak na pewno łatwe, przez co dziś jestem trochę niewyspany i rozkojarzony ;).
<suma dwóch iloczynów z potęgami>=<iloczyn z potęgami>
takich rzecz jasna by kontrolować jeszcze "względną pierwszość" pary składników sumy i składników i wyniku.
Ten sposób myślenia jest niejako dualny do powodu z jakiego w ogólę hipotezę ABC postawiono, o czym jeszcze kiedyś napiszę (będę wówczas filozofował i wyrażał się w terminach skrajnie ogólnikowych). Dziś tylko raportuję o zaprzątających mnie medytacjach nad równaniami.
Wobec heurezy wspomnianej na początku, jako naturalny punkt wyjścia do poszukiwań dobrych trójek, przyjąłem poszukiwanie rozwiązań równania Pella:
x^2-D*y^2 = 1
To bardzo dobrze znane (od starożytności) i nieźle zbadane równanie, z grubsza spełniające sformułowany na początku postulat. Daje też niejakie nadzieje na znalezienie dobrych trójek, gdyż wśród 215 dobrych trójek na górze rankingu, dwie pochodzą od rozwiązań tego równania, mianowicie
Rozwiązanie równania: x^2 - (3*547)*y^2 = 1 daje 66 w rankingu trójkę (A=1, B= 2^4*3^7*547 C=5^8*7^2) z alfa=1.439063 znalezioną przez Benne M.M. de Weger
Rozwiązanie równania: x^2 - (2*3)*y^2 = 1 daje 34 w rankingu przepiękną trójkę (A=1, B= 2^5*3*5^2 C=7^4) z alfa=1.455673 również znalezioną przez Benne M.M. de Weger
Zaletą równania Pella jako źródła materiału do przeczesywania jest własnie to, że jest tak dobrze zbadane, ma rozwiązania przy niewielkich założeniach o D (ważne, żeby nie było kwadratem), które to rozwiązania zachowują się bardzo regularnie.
Nawiasem mówiąc znacznie większa ilość trójek w rankingu pochodzi z wyników algorytmicznego poszukiwania i badania rozwiązań innego równania:
K*x^n-L*y^n=M*z.
Atrakcyjność tego ostatniego dla poszukiwań trójek płynie z faktu, że można przyjmować względnie wysokie wykładniki n i dobrze dobierać współczynniki K,L i M licząć, że po wstawieniu za x, y i z rozwiązań równania przy owych parametrach, dostaniemy trójkę z dużym alfa. Eksploatował je z wielkim powodzeniem w tym kontekście Abderrahmane Nitaj.
Ja jednak chwilowo (i w ogóle nie sportowo podchodząc do zagadnienia dobrych trójek, nie rzucając się jak wilk na algorytmy Nitaja by zapisać swoje nazwisko w "hall of fame") zatrzymałem się przy równianiu Pella, którego wszędobylskość w elementarnej (i tej nie całkiem już elementarnej) teorii liczb z wypiekami na twarzy odkrywam. Spotyka się tu fascynująca tematyka ciągów Lucasa , aproksymacji diofantycznych (szczególnie zaś ułamków łańcuchowych), zagadnień obliczeniowych w teorii liczb (np. rzućcie okiem tu), ciał kwadratowych i wielu, wielu innych.
Przy okazji zabaw z równaniem Pella, albo ogólniej, na wycieczce w świat równań diofantycznych, natrafiłem na ciekawe równanie Brocarda-Ramanujana postaci:
n!+1 = m^2
którego znamy trzy rozwiązania, (4,5), (5,11), (7,71). Zbadano, numerycznie, że dla n < 10^9 nie ma innych rozwiązań. Nie ma jednak na razie dowodu, że rozwiązań jest skończenie wiele - chyba, że przy założeniu prawdziwości hipotezy ABC. Wtedy mamy nawet silniejszy rezultat (np. tu ). Ale przy prawdziwości hipotezy ABC, to można dowieść hu hu... Tak dużo, że nie zanosi się na razie na dowód samej hipotezy (a wielu wątpi w jej prawdziwość w ogóle).
Z różnych powodów wydaje mi się jednak, że tezy o skończonej ilości rozwiązań równania Brocarda-Ramanujana można jednak dowieść bez hipotezy ABC, co nie jest jednak na pewno łatwe, przez co dziś jestem trochę niewyspany i rozkojarzony ;).
2008-01-03
Varia(t?)
Varia
Fragment opisu książki (z Merlina):
... podręcznik teorii mnogości napisany przez doświadczonych wykładowców. Zawiera cztery części: - elementarny wykład ze wstępu do matematyki - aksjomatyczną terapię mnogości, arytmetykę liczb porządkowych i liczb kardynalnych - zastosowania teorii mnogości ...
Fragment opisu książki (z Merlina):
... podręcznik teorii mnogości napisany przez doświadczonych wykładowców. Zawiera cztery części: - elementarny wykład ze wstępu do matematyki - aksjomatyczną terapię mnogości, arytmetykę liczb porządkowych i liczb kardynalnych - zastosowania teorii mnogości ...
Hmmm... trafne. Aksjomatyka była jednym z lekarstw na brnącą w paradoksalność złudną oczywistość naiwnej teorii mnogości. Czyż Zermelo: 
nie jest choć trochę podobny Freuda:
?
Bo przecie nie do mnie:
Dobra, koniec żartów z poważnych spraw.
Rodzi się naturalne pytanie. Czy gdyby przeznaczyć tyle pieniędzy ile wynosi budżet CBA na rozwiązanie hipotezy ABC byłaby szansa popchnąć ją do przodu troszeczkę? Na razie za zupełną darmochę można powalczyć w nieustającym konkursie na dobre trójki ABC, tzn takie trzy liczby naturalne A, B, C parami względnie pierwsze, że:
1. A+B=C
2. alfa = log(C)/log(rad(ABC)) > 1.4
gdzie log to logarytm (powiedzmy dla ustalenia uwagi, że przy podstawie naturalnej, co oczywiście nie ma tu znaczenia), zaś rad to radykał liczby a więc iloczyn wszystkich ich dzielników pierwszych.
Chwilowo znanych jest kilkaset dobrych trójek. Rekord:
A = 2
B = 3^10*109
C = 23^5
alfa = 1.62991 (w przybliżeniu rzecz jasna).
Jeśli ktoś chce się pobawić w bicie rekordów, polecam PARI/GP jako kalkulator. Łatwo zdefiniować tam na przykład liczenie radykałów (których standardowo tam nie ma):
radical(x)=
{
storage = factor(x)[,1];
prod(X=1,#storage, storage[X])
}
Skoro o trójkach i trójcach mowa, w książce "A Shorter Model Theory" pióra Wilfrida Hodgesa (mam niemiłe uczucie porównywalne do tego które wywołuje widok osoby gryzącej wełniany sweter kiedy muszę odmienić anglosaskie nazwisko), znalazłem takie oto ćwiczenie, zresztą pierwsze jakie w ogóle tam jest (tłumaczenie moje więc nienajlepsze):
...
Za Tomaszem z Akwinu, Bóg jest strukturą G z trzema elementami 'pater', 'filius' i 'spiritus sanctus', o sygnaturze składającej się z jednej asymetrycznej binarnej relacji ('relatio opposita') R, nazywanej 'relatio originis'. Tomasz twierdzi również, że trzy elementy moga być jednoznacznie wyznaczone w terminach relacji R^G. Wydedukować, tak jak to zrobił Tomasz z Akwinu, że jeżeli pary (pater, filius) i (pater, spiritus sanctus) leżą w R^G, to dokładnie jedna z par (filius, spiritus sanctus) i (spiritus sanctus, filius) leżyw R^G.
...
Wyraźną linię tematyczną dzisiejszego wpisu (ba - harmonię!) łamie tylko, niczym fałszywa nuta, fakt, że kolega Tomasz z Akwinu nie był w ogóle brodaty:
:-(
Bo przecie nie do mnie:
Rodzi się naturalne pytanie. Czy gdyby przeznaczyć tyle pieniędzy ile wynosi budżet CBA na rozwiązanie hipotezy ABC byłaby szansa popchnąć ją do przodu troszeczkę? Na razie za zupełną darmochę można powalczyć w nieustającym konkursie na dobre trójki ABC, tzn takie trzy liczby naturalne A, B, C parami względnie pierwsze, że:
1. A+B=C
2. alfa = log(C)/log(rad(ABC)) > 1.4
gdzie log to logarytm (powiedzmy dla ustalenia uwagi, że przy podstawie naturalnej, co oczywiście nie ma tu znaczenia), zaś rad to radykał liczby a więc iloczyn wszystkich ich dzielników pierwszych.
Chwilowo znanych jest kilkaset dobrych trójek. Rekord:
A = 2
B = 3^10*109
C = 23^5
alfa = 1.62991 (w przybliżeniu rzecz jasna).
Jeśli ktoś chce się pobawić w bicie rekordów, polecam PARI/GP jako kalkulator. Łatwo zdefiniować tam na przykład liczenie radykałów (których standardowo tam nie ma):
radical(x)=
{
storage = factor(x)[,1];
prod(X=1,#storage, storage[X])
}
Skoro o trójkach i trójcach mowa, w książce "A Shorter Model Theory" pióra Wilfrida Hodgesa (mam niemiłe uczucie porównywalne do tego które wywołuje widok osoby gryzącej wełniany sweter kiedy muszę odmienić anglosaskie nazwisko), znalazłem takie oto ćwiczenie, zresztą pierwsze jakie w ogóle tam jest (tłumaczenie moje więc nienajlepsze):
...
Za Tomaszem z Akwinu, Bóg jest strukturą G z trzema elementami 'pater', 'filius' i 'spiritus sanctus', o sygnaturze składającej się z jednej asymetrycznej binarnej relacji ('relatio opposita') R, nazywanej 'relatio originis'. Tomasz twierdzi również, że trzy elementy moga być jednoznacznie wyznaczone w terminach relacji R^G. Wydedukować, tak jak to zrobił Tomasz z Akwinu, że jeżeli pary (pater, filius) i (pater, spiritus sanctus) leżą w R^G, to dokładnie jedna z par (filius, spiritus sanctus) i (spiritus sanctus, filius) leżyw R^G.
...
Wyraźną linię tematyczną dzisiejszego wpisu (ba - harmonię!) łamie tylko, niczym fałszywa nuta, fakt, że kolega Tomasz z Akwinu nie był w ogóle brodaty:
:-(
Subskrybuj:
Posty (Atom)
Posty
