Przypadek

Co to właściwie jest przypadek? Fakt, że coś się w ogóle zdarzyło? Coś co byśmy w teorii prawdopodobieństwa nazwali zdarzeniem losowym? Nie, to chyba nie do końca to. Potocznie, to raczej zdarzenie nieoczekiwane i o nieobliczalnych, przynajmniej w chwili jego wystąpienia następstwach. Hmmm...
Przypadkowość tak pojęta, gdyby próbować wulgarnie przełożyć ją na terminy rachunku prawdopodobieństwa, jest powszechna w rozsądnych probabilistycznych modelach zjawisk. Standardowy "paradoks" mówi, że skreślenie 6 kolejnych liczb w totolotku jest równie rozsądne niz skreślenie np. liczb 1, 2, 12, 17, 29, 40. Kłóci się to z tzw. zdrowym rozsądkiem, nieprawdaż? Wylosowanie sześciu kolejnych liczb mogłoby wzbudzić (nieuzasadnione przecież) podejrzenia o jakiś szwindel, albo przynajmniej awarię maszyny losującej. Drugi ciąg - pewnie nie wywołałby większych podejrzeń. Od przypadku oczekujemy nieregularności. Tą intuicję formalizuje z matematycznego punktu widzenia tzw. algorytmiczna teoria informacij - fascynująca dziedzina matematyki leżąca na pograniczu logiki, teorii obliczalności, teorii informacji i teorii liczb. Jej podstawowym pojęciem, jest tzw. złożoność Kołmogorowa. Z grubsza rzecz biorąc, jest to pewna liczba rzeczywista którą można przypisać do ciągu liczb naturalnych. Liczba to to granica stosunku sumy długości minimalnej programu "komputerowego" i danych wejściowych dla niego niezbędnych aby wygenerować pierwszych n wyrazów ciągu jaki badamy, przy n zmierzającym do nieskończoności. Dokładną realizację maszyny i "język programowania" możemy przy tym, czego się skrupulatnie dowodzi po przyjęciu odpowiednio ścisłych definicji, właściwie zaniedbać, jako że emulatory jednych maszyn na innych czy interpretery jednego języka w drugim, to stały koszt, który zgubi się w przejściu granicznym. Rzeczywiście złożoność Kołmogorowa nieźle chwyta intuicję "przypadkowości ciągu". Ma też bogate konsekwencje teoretyczne prowadząc do pewnych specyficznych wersji twierdzenia Gödla i szeregu mniej lub bardziej (kwestia indywidualna - zależnie od wielkości sumy nabytych przesądów) paradoksalnych wniosków dotyczących liczb. Gregory Chaitin, jej twórca znany jest zresztą z wygłaszania (tym razem już raczej nieuzasadnionych, ale dajmy mu przyjemność bycia ocierającym się o genialność dziwakiem) stwierdzeń, np. że duże liczby naturalne nie istnieją, mają bowiem zbyt paradoksalne właściwości. W niedalekiej przyszłości, kiedy odświeżę sobie dawną bliższą znajomość z tą teorią nie omieszkam części przytoczyć. W piętrzącej się w moim domu stercie papieru (bez szans na szybki dostęp do wybranego z nich, niestety) mam też pracę poświęconą inżynierii oprogramowania, gdzie na gruncie ATI autorzy uzasadniają, że idea reużywalności kodu jest właściwie bez szans, podpierając to solidną dawką empirycznych pomiarów przeprowadzonych na oprogramowaniu "open source". Osobiście przyznam się, że w dawnych czasach głębokich lat 90, kiedy jeszcze cieszyłem się umysłem skłonnym do spekulacji, być może byłem blisko samodzielnego wymyślenia definicji złożoności Kołmogorowa, zastanawiając się nad pewnymi zagadnieniami dotyczącymi kryptografii. Ale to tylko takie gdybanie. W każdym razie gdzieś wokół podobnych zagadnień krążyłem.
Z zagadnieniem przypadku w fascynujący sposób łączą się też inne interesujące tematy warte zgłębiania. Np. tzw. prawa 0-1 z teorii grafów losowych na które po raz pierwszy natknąłem się wertując książkę poświęconą teorii modeli (sic!) - kolejnego pułkownika czekającego na lepsze czasy. Stąd pewnie niedaleko do fizyki statystycznej, przejść fazowych oraz własności wielkoskalowych sieci takich jak internet. Zresztą przypadek - co każdy wie - jest wszędobylski, cóż więc dziwnego, ze kiedy snuje się nad nim refleksję w jakiś sposób snuje się i refleksję nad samą naturą rzeczywistości.
Aha, a ciąg który podałem jako przykład "nielosowości" w totolotku, ma ta właściwość, że liczba na pozycji n jest najmniejszą liczbą, taką że 4 podniesione do niej ma n-1 jedynek w rozwinięciu dziesiętnym. Gdzie tu losowość? Sprawdzić to mozna sobie samemu, ale ja skorzystałem z jednego z moich ulubionych narzędzi internetowych: encyklopedii ciągów liczb całkowitych. Chyba dobrze, że autorzy testów na inteligencję lubujący się w zagadkach typu: odgadnij następną liczbę w ciągu, nie zaglądają tam za często...