Poranne dramaty.

Nazwijmy rzeczy po imieniu. Nie za wiele mi się chce ostatnio. Widać, że postępy w lekturach żałosne, robota w pracy też jakoś szczególnie mi się w rękach nie pali, różnego typu łamigłówki mnie męczą i powodują poczucie irytacji bardziej niż zapału. Generalnie chyba źle - bo staro. Aby się trochę ożywić, nabyłem na Allegro trochę literatury matematycznej w języku rosyjskim, w tym perełkę z 1948 roku zawierającą trzy eseje Chinczyna poświęcone teorii liczb (w zasadzie trochę też kombinatoryce), każda z nich przedstawiająca wybrane twierdzenie, które ma elementarny (dający się przeprowadzić przy pomocy pojęć znanych z liceum, albo nawet ze szkoły podstawowej) dowód - z tym małym ale, że dowód jest elementarny ale nie prosty. Ciekawą cechą formalną tej książki, jest to, że ułożona jest trochę jakby jakiś list do młodszego kolegi matematyka, który jest na froncie (moje wydanie jest już drugie, pierwsze to Leningrad, marzec 1945). Dziś rano w autobusie oddawałem się lekturze pierwszego i najkrótszego z esejów poświęconemu kombinatorycznemu dowodowi twierdzenia Van der Wearden'a. Dowód nie jest bardzo trudny, ale małpio zręczny, z cyklu tych, czytając które wiemy, że sami nigdy byśmy na to nie wpadli. Małe dzieło sztuki.
Skończyłem czytać, gdy dojeżdżałem zaledwie do obszarów ruralnych na których raczył się wybudować mój chlebodawca, miałem więc trochę czasu na myślenie i zacząłem zastanawiać się jakie ciekawe zastosowanie może mieć to (samo w sobie interesujące) twierdzenie. Przyszła mi do głowy pewna myśl, mianowicie taka, że możnaby je zastosować do pewnego problemu¹ dotyczącego iteracji odwzorowania przestrzeni zwartej w siebie. Maszerując dziarsko w kierunku bramki w okalającym firmę ogrodzeniu, popadłem jednak w wątpliwości, bowiem używanie twierdzenia VdW w tym przypadku zaczęło mi się wydawać strzelaniem z armaty do wróbla. W okolicach drzwi wejściowych, rzeczywiście udało mi się udowodnić moje twierdzenie metodą znacznie bardziej elementarną, ale oddech przyspieszył mi dopiero kiedy zasuwały się drzwi windy. Mianowicie, powstała w mym umyśle idea, że możnaby użyć w pokrętny sposób elementarnej metody udowodnienia mojego topologicznego problemu, do udowodnienia samego VwD. Właściwie obrazek sam się zaczął układać - trzeba wymodelować kolorowanie liczb naturalnych jako odpowiednie ruch punktu w stosownej przestrzeni, zrobić ją przestrzenią zwartą.
Przestrzeń się narzuca - zbiór Cantora postaci {0,1...,K}^N, gdzie K to liczba klas z twierdzenia VwD, odwzorowanie modelujące - ciągowi liczb naturalnych z których każda jest zaklasyfikowana do jednej z K klas przypisuje jego ciągu numerów klas co da nam punkt x w tym zbiorze. Za F bierzemy przesunięcie (shift), czyli odwzorowanie przypisujce ciągowi a₀,a₁,...,a_n,... ciąg a₁,...,a_n,... przycinamy jeszcze lekko przestrzeń do domknięcia orbity punktu (innymi słowy X=cl({x, F(x), ...}). I volais: stąd już bardzo niedaleko do końca.
W okolicy mojego kubika, zacząłem myśleć: coś tu musi być nie tak bo idzie za prosto, albo sprawa jest już dobrze znana. Dopadam przeglądarki (nich będzie mi wybaczone, to już w godzinach pracy!) i napuszczam googla na "dynamical system Van der Waerden" i po sekundzie mam pdfa. Biegnę wzrokiem: wszystko się zgadza, idzie tak samo jak mój dowód, takie samo X, takie samo F, taka sama konkluzja...
I tu zaczyna się najsmutniejsza częśc tej historii... Przebiegam błyskawicznie wzrokiem tekst, nie czytam nawet, łapię słowa kluczowe gdy mój wzrok zatrzymuje się na nazwisku Furstenberg.
Pamiętam wyraźnie: pokój na Bydgoskiej, bałagan, kolega Maniek, koleżanki z chemii, wiosna jak dziś, leżę na wyrku i czytam Furstenberga, a tam mój dowód... Znałem go wcześniej! To pewnik! Ale może jednak zapomniałem na amen i sam teraz wymyśliłem?
Teraz lepiej rozumiem przypowieść o Lao Tse, któremu przyśniło się ponoć, że jest motylem a potem nigdy już nie wiedział na pewno czy jest mędrcem, który śnił że jest motylem, czy motylem, który śni że jest mędrcem. Ech życie...

¹Dla każdego odwzorowania F:X->X przestrzeni metrycznej zwartej w siebie i dla każdego e>0 i dla każdego N>0 naturalnego istnieje punkt x przestrzeni X i liczba naturalna n, taka, że pierwsze N iteracji funkcji G = Fⁿ nie wyprowadza punktu x poza otoczenie o promieniu e dookoła x.