Raj i piekiełko

Są takie chwile, kiedy na moment otwierają się kraty solipsystycznego więzienia jakie człowiek sam buduje w swojej głowie i można ręką dotknąć, okiem zobaczyć, uchem usłyszeć Rzeczywistość. Czy o to chodzi w buddyjskim doświadczeniu zwanym z japońska kensho? Nie wiem, ale wiem, że spotkało mnie to dziś kiedy przemierzałem niewielki odcinek drogi pomiędzy końcowym przystankiem autobusu a bramą firmy gdzie pracuję. Żywe doświadczenie realności i piękna świata, którkotrwały wgląd w jego prawdziwą naturę. Może ma coś z tym wspólnego kawałek łąki wzdłuż której biegnie chodnik? To bujne pole bitwy o słońce, wodę i glebę (z całą masą zawartych w niej pożywnych pierwiastków) toczonej przez tyleż dziarskie co pospolite trawy, zioła i inne chwasty. Eksponują swoje przeznaczone dla oczu owadów wdzięki, żywe ale nie krzykliwe kolory które dobierały przez miliony lat ewolucji, przywodząc na moment wyobrażenie raju.
Niedawno czytałem, że większość kultur ludzkich ma podobne wyobrażenie miejsca wiecznej szczęśliwości. Jest to nie tyle ogród co bardziej sawanna: równina pokryta trawą z rozrzuconymi niezbyt gęsto drzewami pewną ilością wody w postaci stawów lub strumieni i błękitnym niebem z niewielką ilościa chmur rozpostartym nad tym krajobrazem. Wedle tego wzoru ludzie urządzają swoje ogrody i parki, to tło literackich i malarskich sielanek ("Wśród takich pól przed laty, nad brzegiem ruczaju, na pagórku niewielkim, we brzozowym gaju ..."). Utrwalona w świadomości gatunku fotografia jego pierwotnej siedziby? Wspomnienie z dzieciństwa człowieczeństwa, jak większość wspomnień z dzieciństwa, szczęśliwe?
Mam i ja więc swój mały, sezonowy i z rzadka, niestety, dostrzegany kawałek raju koło którego niemal co dnia przechodzę.
Moje kensho, jak na kensho przystało, trwało krótko. Wróciłem w duszne ściany własnego umysłu.

Mam tu między innymi swoje piekiełko matematycznych obsesji.

Ostatnio wciągnął mnie za sprawą pewnej pracy temat minimalnych gramatyk. Zagadnienie (jak i wiele pokrewnych od niego, m.in ukryte modele Markova) zdaje się mieć wiele zastosowań już istniejących (np. kompresja danych) jak i jeszcze więcej potencjalnych. To jeden z punktów widzenia, dla których warto sie tym problemem zajmować, poza przyrodzoną samą urodą tematu. Mnie jednak fascynuje coś innego - potencjalne związki z teorią liczb. A nawet ogólniej - na kanwie już a nie bezpośrednio sprowokowany artykułem - pytanie o relacje między obliczalnościa a teorią liczb.

Pomysł jest, ogólnie rzecz biorąc, taki:

Jak wszyscy wiemy rozwinięcia liczb wymiernych w pozycyjnym systemie zapisu liczb, jest zawsze ostatecznie okresowe, tj. od pewnego momentu ciąg cyfr przy stosownej podstawie zaczyna się w rozwinięciu powtarzać. Przypadek, kiedy rozwinięcie jest po prostu skończone, sprowadza się do tego samego przypadku, jest bowiem ono ostatecznie okresowe, przy czym z okresem 1 powtarza się liczba 0.
Odwrotnie, liczba która nie ma takiego rozwinięcia jest po prostu niewymierna.
Jak niektórzy z nas wiedzą, liczba wymierna jest wyrażalna jako skończony ułamek łańcuchowy, i odwrotnie, skończone ułamki łańcuchowe definiują liczby wymierne. Natomiast nieskończone, ostatecznie okresowe ułamki łańcuchowe odpwiadają niewymiernym, rozwiązaniom równań kwadratowych o współczynnikach wymiernych. Co więcej, najbardziej popularne liczby rzeczywiste, po prostu gwiazdy continuum, cechują się wyjątkową regularnością jako ułamki łańcuchowe.

Widać wzorzec? Regularność reprezentacji liczby oznacza, że jest ona "prosta" według jakiegoś innego kryterium (np. jest wymierna, albo jest pierwiastkiem równania kwadratowego)
To w naturalny sposób prowadzi do szeregu interesujących pytań. Czy jest jakieś kryterium na ułamki łańcuchowe pozwalające powiązać budowę automatu generującego kolejne elementy łaćucha z własnością liczby reprezentowanej przez dany ułamek, np czy można podać kryterium "łańcuchowe" na bycie pierwiastkiem 3-go stopnia? Podobnego pytania dla rozwinięć pozycyjnych.
Kolejnego pytania, tym razem powiązanego z minimalnymi gramatykami: załóżmy, że umiemy znaleźć gramatykę minimalną rozwinięcia pozycyjnego pewnej liczby obciętego do n miejsc po przecinku. Jej długość (sprawdźcie artykuł szukając definicji) będzie się na ogół zwiększała z rozmiarem n. Czy tempo tego zwiększania (ewentualnie jakaś inna miara z nim związana) w naturalny sposób dzieli liczby na klasy, ustawia klasy w hierarchie i w dole tej hierarchii lokuje liczby w jakimś sensie proste (np. pierwiastki wielomianów itp).
Jest parę innych tu zagadnień, powiązanych ze wspomnianymi, które warto podjąć ale ich tu nie zanotuję. W każdym razie, temat jest intrygujący i niepokojący. Można też przy okazji - co ważne, bo kiedy myślenie nie idzie, trzeba czymś zająć ręce - pobawić się komputerem. By upiec jeszcze jakąś pieczeń na tym ogniu przy pisaniu programów po raz n-ty podejdę do Haskella, języka programowania dla prawdziwych matematyków. Podejdę od zera niemal, bo prawie zapomniałem czego się już kiedyś nauczyłem :(.