Smutna historia o pewnym twierdzeniu

Zeszłe wakacje spędziłem w połowie nad Bałtykiem a w drugiej połowie podróżując po Słowacji. Z żoną i z pewnym problemem matematycznym postawionym przez nieocenionego WH. Dobrze jest mieć jakieś ciekawe zadanie na latni wyjazd. To gwarancja, że niezależnie od pogody urlop nie będzie stracony.
Nie bedę referował tu problemu jakim się zajmowałem, ale zreferuję z grubsza pewien odprysk, który sam w sobie jest ciekawy i stoi za nim pewna historia, którą postaram się w miarę możliwości zrekonstruować.
Norweski matematyk Fredrik Carl Mülertz Størmer, żyjący w latach 1874-1957 sformułował następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1 (Størmer)
Niech P={p1,...,pn} będzie skończonym zbiorem liczb pierwszych. Wśród liczb naturalnych, jest skończenie wiele takich n, n i n+1 mają w rozkładzie na czynniki pierwsze jedynie liczby ze zbioru P.

Størmer dowodził owego twierdzenia przy użyciu twierdzeń o rozwiązaniach równiania Pella - nb. jednego z najważniejszych równań diofantycznych. Metoda Størmera dawała również możliwość, dzięki istnieniu algorytmów rozwiązywania równań Pella nadających się do ręcznego wykonania, wyliczenia wszystkich liczb naturalnych o jakich mowa a Twierdzeniu 1, dla rozsądnie małych zbiorów P zawierających rozsądnie małe liczby pierwsze.
Oczywiście dzisiaj, mając do dyspozycji komputery, pewnie z łatwością (ciekawe czy ktoś to zrobił, może sam się tym zajmę...) dałoby się przy użyciu tych samych metod znaleźć stosowne liczby dla znacznie większych zbiorów P i większych liczb pierwszych w nich zawartych.
Naturalnym uogólnieniem egzystencjalnej części wyników Størmera (a więc po prostu Twierdzenia 1) jest oczywiście:

Twierdzenie 2:
Niech P={p1,...,pn} będzie skończonym zbiorem liczb pierwszych. Dla każdego naturalnego k > 0 wśród liczb naturalnych, jest skończenie wiele takich n, n i n+k mają w rozkładzie na czynniki pierwsze jedynie liczby ze zbioru P.

To właśnie klucz, który okazał się być mi potrzebny by uporać się z hipotezą WH. Problem jako żywo kojarzył mi się z Hipotezą Catalana, starym problemem matematycznym, który został rozwiązany ostatecznie w 2000 roku i przestał istnieć jako problem stając się Twierdzeniem Catalana. Na drodze do dowodu Twierdzenia Catalana zwieńczonej przez P. Mihailescu milowym krokiem były wyniki R. Tijdemana, szczęśliwie publikowane w Acta Arithmetica, międzynarodowego czasopisma wydawanego przez Polską Akademię Nauk którego starsze roczniki są dostępne w Internecie. Przyznaję, że nie starałem się zgłębić rozumowań Tijdemana, choć wiązałem z taką analizą pewną nadzieję na przyszłość. Jednak to co zwróciło moją uwagę, było jedno z twierdzeń na którym Tijdeman opierał swoje dowody. Pochodziło ono od Alana Baker'a a Tijdeman referował do pracy, szczęśliwie również publikowanej w Acta Arithmetica. Przez ciąg referencji w pracach Bakera, dotarłem w końcu do wygodnego sformułowania. Oto one:

Twierdzenie 3 (Baker)


Niech a_1,...,a_n będą niezerowymi liczbami algebraicznymi stopnia nie przekraczającego d
i wysokości tych liczb nie przekraczają A_1,...,A_n.
Niech Q=log(A_1)*...*log(A_n) i Q>=2.

Wtedy

istnieje stała C taka, że nierówność:
|b_1*log(a_1)+...+b_n*log(a_n)| < exp(-C*Q*ln(Q)*log(B)) (1)
nie ma niezerowych rozwiązań dla liczb całkowitych b_1, ...,b_n takich, że |b_i| <= B > 2 dla i=1,...,n

Bazując na tym twierdzeniu, udało mi się dowieść Twierdzenia 2.

Dowód Twierdzenia 2:

Dla moich celów nie potrzebuję jawnej postaci Q,
zapiszę więc nierówność (1) jako:

|b_1*log(a_1)+...+b_n*log(a_n)| < B^-C (2)

(C w (2) oczywiście jest tu zmodyfikowane w stosunku do (1) tzn. pomnożone przez Q*ln(Q))

Założmy, dla celów rozumowania nie wprost, że par o jakich mowa w Twierdzeniu 2 istnieje nieskończenie wiele.
Innymi słowy, dla dowlnego M naturalnego istniałaby X > M, takie, że X i X+k miałyby dzielniki pierwsze wyłącznie ze zbioru P.

Rozpatrzmy iloraz:

(X+k)/X = 1+k/X

Mamy:

0< log(1+k/X) = log(X+k)-log(X) = a_1*log(p_1)+...+a_n*log(p_n) (3)

gdzie a_1, ..., a_n są pewnymi liczbami całkowitymi.

Z Twierdzenia 3, na mocy nierówności (2) i z (3) dla B takich, że

B > max(|a_1|, ...,|a_n|)

mamy:

log(1+k/X)>B^-C (4)

Zauważmy, że dla odpowiedni dużych X i dla i=1,...,n:

|a_i|<2*(|a_1|*log(p_1)+...+|a_n|*log(p_n)) < 2*log((X+k)*X) < 2*log(2*X^2) = 2log(2)+4*log(X)

Zatem:

B=2log(2)+4*log(X)

jest odpowiednią stałą, przy której nierówność (4) jest prawdziwa.

Dostajemy ostatecznie:

log(1+k/X)>(2log(2)+4*log(X))^-C

czyli:

1+k/X>exp( (2ln(2)+4*log(X))^-C )

i w końcu:

k>X*exp((2log(2)+4*log(X))^-C)-X

Funkcja po prawej stronie, dąży jednak powoli ale wytrwale do nieskończoności, przy X->00 co przy założonej na potrzeby dowodu niewprost nieograniczoności X daje sprzeczność.

Dobra, wracam do historii. Grzebiąc w owym czasie po literaturze nie natknąłem się na sformułowanie i dowód twierdzenia 2 i przez jakiś czas tkwiłem w przeświadczeniu, że może udało mi się (co prawda przy pomocy kobyły w postaci twierdzenia bakera, ale jednak) uzyskac nowy i ciekawy przyznacie wynik. Łyżkę dziegciu cały czas stanowiła jednak enigmatyczna notka w wikipedii, że Twierdzenie 1 można uzyskać za pomoca tzw. twierdzenia Thue-Siegela-Rotha. Co prawda nie pracowałem nad tym zbyt wytrwale, ale do diaska, nie wiedziałem jak. Ba, dręczyło mnie przeczucie, że i Twierdzenie 2 można tą drogą uzyskać.
I ostatnio znalazłem. Praca nosi tytuł "On integers with many small prime factors", autorstwa wspomnianego już tu Tijdemana ukazała się w Compositio Matematica w 1973 roku. Tijdeman dowodzi tam silniejszego jeszcze rezultatu (opierając się na twierdzeniach Bakera), ale pisze, że Twierdzenie 2 zostało udowodnione przez Thuego w 1908 roku, wzmocnione przez Siegela w 1921 i na dobitkę jeszcze wzmocnione przez Erdösa w 1965.
Smutno :(.
Jaki morał dla mnie? Kilka:
Nie cieszyć się za wcześnie. Uczyć się, kiedy jest na to czas - braki w erudycji mogą owocować zawodem. Na wakacjach więcej odpowczywać - wysiłki są próżne. Sklejanie samolotów czy zbieranie znaczków to mniej frustrujące hobby niż matematyka. Wina chilijskie są niezłe na pocieszenie.

P.S.
Kiedy wyjdę z depresji, postaram się wzbogacić ten wpis o linki do stosownych prac, nazwisk etc.