2009-12-13

(Meta)fizyka kombinatoryczna

Potraktujmy poniższe jako niezobowiązującą zabawę w skojarzenia.

Nie wiem czy i do jakiego stopnia Epikura należałoby nazwać filozofem. Stworzył on coś w rodzaju świeckiej religii, której celem było wyzwolenie człowieka od starchu, egzystencjalnego przerażenia. Drogą ku owej wolności , oprócz stosownych reguł życia był - chciałoby się powiedzieć: wyznawany - materializm, który miał usunąć "lęk metafizyczny" i strach przed śmiercią. Jest chyba podobieństwo pomiędzy epikureizmem a psychoterapią (niekoniecznie freudowską, np. jakąś Gestalt czy coś w tym guście - nie znam się zbytnio na psychoterapii), którą w czasach współczesnych ludzie stosują w dokładnie tym samym celu. Ale ja nie o tym właściwie chciałem.

Epikur nie pozostawił pisanej spuścizny opierając się na nauczaniu ustnym i kształceniu uczniów - praktyków jego filozofii i podejścia do życia - krzewiących jego idee dalej. Ten model okazał się zaskakująco skuteczny skoro "wyznanie" epikurejczyków, przetrwało jakieś 500 lat w świecie starożytnym. Elementy filozofii epikurejskiej pokazujące metafizyczne koncepcje stojące za nią dotarły w dużej mierze dzięki twórczości "szeregowych" epikurejczyków utrwalających naukę w swojej twórczości. Najbardziej znany z nich to Lukrecjusz, którego poemat "O naturze wszechrzeczy" to chyba najważniejsze a na pewno najbardziej znane pismo epikurejskie dotrwałe do naszych czasów. Mimo braku programowych ksiąg kodyfikujących doktrynę metafizyczną epikureizmu, trochę o niej wiemy. Przede wszystkim koncepcje bytu i natury świata nie były tu spekulacją prowadzącą do wniosków o charakterze praktycznym, ale wręcz przeciwnie - mądrość życiowa, odrzucenie strachu, droga do szczęścia i wolności człowieka, słowem filozofia życia Epikura wyprzedzał metafizykę, która miała dać dla niej jedynie teoretyczne podstawy, zakorzenić ją w wizji samej natury świata. Jak wspomniałem epikureizm opierał się na materializmie - materia, to co dotykalne, jest jedynym bytem a rządzą materią ustalone racjonalne prawa. Fizyka tego świata to atomizm. Atomy to niepodzielne i podstawowe elementy materii, różnych co prawda ale w ustalonym wyborze rozmiarów i kształtów. Oczywiście epikurejczycy nie mieli pojęcia o grawitacji w rozumieniu dzisiejszym, mieli natomiast naiwne pojęcie o ciążeniu, jako o sile działającej wzdłuż kierunku (a właściwie konstytuującej kierunek) góra-dół. Naturalnym ruchem atomów był więc spadek, poruszanie się w dół. Jednak aby nie stały się jedynie lawiną równolegle spadających cząstek należało wprowadzić coś co tchnie w nią "życie". Zatem do naturalnego ruchu w dół atomom epikurejskim arbitralnie dodano losowy ruch na boki nazwany climena - odchylenie. To remedium na nudny, nieskończenie trywialny determinizm. To climena powoduje, że pojawiają się interakcje atomów, ich zderzenia, łączenie się. Za jego sprawą pojawiają się, jako losowy produkt owych interakcji światy. Dokładnie tak: światy a nie jeden świat. Wśród losowych konfiguracji atomów epikurejczycy za pewne przyjmują pojawienie się kiedyś każdej możliwej ich kombinacji a zatem i każdego możliwego świata. Są to światy chwilowe, nietrwałe, wynikłe z tymczasowej konfiguracji atomów. Ich pojawienie się jest jednak w jakichś sposób konieczne.

Ten aspekt metafizyki, czy też fizyki epikurejskiej jakoś mnie uwiódł. Postaram się wytłumaczyć dlaczego. W oczywisty sposób widzę w nim pewne wczesne ale i daleko idące intuicje probabilistyczne. Np. taką, że nawet niesłychanie mało prawdopodobne zdarzenia w odpowiednio długiej serii losowań (a każda zmiana oparta o climena jest niejako nowym aktem losowania, czy raczej krokiem losowego błądzenia) w końcu z wielką dozą pewności w niej się pojawią.
Ale to pierwsza myśl. Drugie skojarzenie dotyczące intuicji epikurejskich - tym razem na pograniczu probabilistyki i logiki - to teoria tzw. praw zero-jedynkowych. To niesłychanie ciekawe twierdzenia, których protoplastą było prawo zero-jedynkowe udowodnione w latach 60 przez matematyków radzieckich (a przepraszam: sowieckich). Brzmi ono tak:
Niech phi będzie dowolnym zdaniem w języku pierwszego rzędu o skończonej sygnaturze relacyjnej (tzn. języku zawierającym jedynie symbole relacyjne i to w skończonej ilości) wtedy, limn->∞ μn(φ) = 0 albo 1, gdzie przez μn(φ) rozumie się ilość nieizomorficznych modeli rozmiaru n zdania φ.

Co mówi prawo zero-jedynkowe w bardziej ludzkim języku? Ano mówi, że względnie proste zdania o prostym, losowym świecie (w odległy sposób przypominającym co do zasady epikurejską rzeczywisość atomów), są albo trywialnie prawdziwe albo trywialnie fałszywe. Tzn, jeżeli dopuścić naprawdę wielki losowy świat, albo lepiej, coraz większe losowe światy, to prawdopodobieństwo prawdziwości bądź fałszywości owych zdań w tych światach staje się coraz większe. Innymi jeszcze słowy, w coraz większym procencie - rosnącym wraz z rozmiarami - owych światów opisywane przez te zdania struktury istnieją, bądź nie istnieją. Pożytecznym zastosowaniem praw zero-jedynkowych jest możliwość dowodzenia twierdzeń o niewyrażalności pewnych własności w językach pierwszego rzędu. Taką własnością - co wynika z zacytowanego prawa prawa zero-jedynkowego niemal natychmiast - jest parzystość liczby elementów w strukturze relacyjnej. Nie jest to intuicyjne - przynajmniej dla mnie. Prawa zero-jedynkowe są więc ciekawe.
Mnie zawsze kusi, choć to oczywiście zabawa i żart i nie należy traktować tego poważnie, żeby ekstrapolować treść praw zero-jedynkowych na tzw. real w następujący sposób: wszystko co powiemy jasnym i prostym językiem jest albo trywialnie prawdziwe albo trywialnie nieprawdziwe. (Dla potrzeb żartu odrzucam tu wszystkie, ale to absolutnie wszystkie możliwe zastrzeżenia i upraszczam sprawę maksymalnie. Zastrzegam się tak, żeby nie gorszyć ew. czytających te słowa - jednych pozostawiając z fałszywymi przekonaniami co do praw zero-jedynkowych, drugich co do mojej osoby). Gdyby zbudować model formalny epikurejskiej fizyki i udowodnić o nim coś na kształt prawa zero jedynkowego, oznaczałoby to, że pewne konfiguracje, czy światy są w nim niemal konieczne, muszą się pojawić i pojawiają się często, inne zaś, mimo że logicznie możliwe pojawiają się rzadko, przygodnie - w praktycznym rozumieniu tego słowa: nigdy.

Prawa zero-jedynkowe funkcjonują w świecie absolutnie sprawiedliwie losowym. Co jednak ze światami które oszukują, w któych istnienie bądź nieistnienie relacji nie zależy od rzutu uczciwą monetą ale oszukaną. Tu ciekawe rzeczy mówi nam np. teoria grafów (i ogólnie hipergrafów) losowych. Tam pojawiają się interesujące zjawiska w postaci wartości krytycznych prawdopodobieństw zachodzenia relacji przy których dane zdanie stanie się niemal pewnym itp. To w ogóle droga do ciekawej i modnej ostatnio dziedziny badań na styku rachunku prawdopodobieństwa, kombinatoryki, teorii liczb. Wiele się tam ekscytujących rzeczy ostatnio dzieje.