Elegancja i prostota.

Jak właściwie poznajemy i pojmujemy świat? Skąd się w ogóle bierze taka potrzeba. Jak głębokie podstawy mają kanony postępowania, reguły wnioskowania we wspólnym worku pod nazwą metodologia nauk, logika i temu podobne ?
To nasuwające się pytanie. Choćby taka historyjka: mamy koniec XVIII wieku, gdzieś tam jeszcze łomoczą się wśród fizyków ślady mechaniki arystelesowskiej i scholastycznych kontynuatorów, na pierwszym planie walczą jeszcze dwie teorie (dziś wiemy, że wynik starcia był nieunikniony): teoria wirów Kartezjusza i teoria grawitacji Newtona. Ta druga błyskotliwie wyjaśnia ilościowo zjawiska mechaniczne. Królewska Akademia Nauk w Paryżu ogłasza konkurs na teorię ruchów Księżyca,w szranki stają gwiazdy pierwszej wielkości, których nazwiska do dziś jak pomniki zdobią twierdzenia i terminy tak matematyczne jak i fizyczne: Clairaut, d'Alambert, Euler. Wygrał Euler (dziwne zwycięstwo, był naonczas zwolennikiem teorii wirów, umarłej już i zapomnianej), ale interesujące jest dalsze miejsce. Oto Clairaut, newtonista jeśli chodzi o działające siły (jedynie grawitacja się tu liczy), w swojej pracy wyjaśniającej anomalie ruchu, do prawa Newtona dotyczącego siły z jaką oddziaływują na siebie masy dodał człon sześcienny. Tu wtrąca się Georges-Luis Leclerc de Buffon (ten od igły) i skrytykował rozwiązanie Clairaut'a za to, że psuje piękno i prostotę prawa Newtona.
Co za dziwny argument. Estetyczna wersja brzytwy Ockhama. Już nie tylko niepotrzebne byty eliminująca (Clairaut pozostawał konsekwentnie na stanowisku newtonizmu), ale opierająca się na elegancji i prostocie. Argument prowadzący do cholernie słusznego wniosku przy okazji, jak pokazało życie i kolejne korekty prac naszych zawodników.
Pewnie erudyta przytoczyłby więcej takich właśnie opowiastek z historii nauki, pewnie i najnowszej, gdzie na sposób Clairaut próbuje się wyjaśnić np. takie zjawiska jak ciemna materia zakładając zmienność stałej grawitacji i tym podobne zabawy.
Interesujący tu dla mnie jest sam argument nie do końca mieszczący się, tak jak i brzytwa Ockhama w sferze pełnej racjonalności. Jest w tym trochę wiary, albo raczej doświadczeniem popartej intuicji, że świat tak właśnie jest urządzony, że najgłębsze wyjaśnienia cechują się pewną surową prostotą (ale nie są bynajmniej prymitywne), którą odbieramy też w kategoriach estetycznych. Kusi by za tą sprawiającą, choćby tylko kontemplującemu ją człowiekowi, wizją jaką roztacza przed nami współczesna fizyka, za namacalną matematycznością przyrody doszukiwać się umysłu, który ów porządek wprowadził. Umysłu Boga. To jednak tylko odsyła wyjaśnienie (a ono zdaje się nie jest możliwe) takiego stanu rzeczy piętro wyżej i to w beznadziejny z punktu widzenia moliwości zgłębienia rozumem świat teologicznych spekulacji i czysto subiektywny świat doznań mistycznych, którym daleko do piękna i satysfakcji płynącej ze zrozumienia (częściowego ale jednak zrozumienia) jakie daje nauka.
Z perspektywy tzw. ewolucyjnej teorii poznania, nie ma w tym może w ogóle nic dziwnego. Ludzka zdolnośc poznawania jest przystosowaniem ewolucyjnym i jako taka jest właśnie światem ukształtowana w najgłębszych swoich korzeniach. Słowem: nie matematyczność przyrody jest niezwykła, ale przyrodniczość matematyki jest zwykła.
Nawiasem mówiąc, brzytwę Ockhama da się zmienić z pewnego ogólnikowego zdania i dobrej rady w całkiem przyzwoitą teorię na pograniczu folozofii i matematyki. Potrzeba do tego następujących składników: twierdzenia Bayesa i pojęcia złożoności Kołmogorowa (o którym już pisałem, ale napiszę raz jeszcze teraz z nieco większą precyzją). Danie po raz pierwszy przyrządził Ray Solomonoff.

Sobotnie zmagania - z pola walki

Zanim przejdę do dramatyczniejszej części postu, zacznę od literatury. Właściwie od fantastyki. W czasach dawniejszych, a nawet bardzo dawnych był to mój ulubiony gatunek literacki. W PRL-u, przez fakt, ze drukowało się w ogóle mało, o dobre książki walczyło się, w bibliotekach czatowało się na to aż ktoś daną pozycję odda (panie bibliotekarki były boginiami, które mogły ją np. dla nas przetrzymać, dziś zawód ten stracił na prestiżu), a do posiadaczy tzw. dojść, którzy mieli na własność trudno dostępne pozycje ludzie garnęli się jak nie przymierzając politycy do oligarchów w III RP (wg. narracji PiS-owskiej naturalnie).
Paradoksalnie, a paradoks ten zauważyło już wielu przede mną - powodoało to, ze wydawano często dość wartościowe pozycje (choć obowiązywały klucze ideologiczno-cenzuralne) a złaknieni czytelnicy nie wzdrygali się przed prozą trudniejszą. Objawienie lat 80 to czasopismo Fantastyka, wspaniałe, trudne do zdobycia (korumpowanie pań pracujących w kioskach było na porządku dziennym) otwierające oczy na olbrzymi ocean tej literatury gdzieś za zachodnim horyzontem.
Gdy trochę się starzałem zacząłem z większości fantastyki jednak wyrastać, choć w latach 90, kiedy okno na świat się uchyliło, fala wdarła się z wielką siłą i poznaliśmy nowych autorów, nowe podgatunki a i w końcu zyskaliśmy dostęp do książek legend, o których wcześniej mogliśmy tylko przeczytać, że są. Ostatecznie, wraz z owymi zjawiskami i kształtowaniem się moich indywidualnych gustów zostałem przy trzech w zasadzie autorach do których wracam. Oczywiście Stanisław Lem - największy z wielkich, którego jednak z czasem przestałem uważać w zasadzie za pisarza fantastyki, Philip K. Dick - wielka, neurotyczna miłość literacka już na zawsze (mimo, że przyznaję rację smakoszom literatury w ogóle, że napisał wiele szmiry, ale ja cenię sobie nawet i ową szmirę, jako że przestałem w zasadzie traktować jego książki indywidualnie uznając je za jedną wielką opowieść) i w końcu, najbardziej "rozrywkowy" z nich ale niezmiennie wciągający William Gibson. Gibson pojawił się u nas późno ale równocześnie z wieloma rozpalającymi wyobraźnię nowinkami technicznymi, w momencie, kiedy świat zachłysnął się rewolucją technologiczną jaką przyniosły komputery, a przede wszystkim rozległe sieci komputerowe, z tą jedną, najważniejszą na czele. W jakimś, popkulturowym sensie, to wieszcz owej nowej ery. Wygrzebałem właśnie na półce książkę, którą kiedyś w przypływie rozrzutności zakupiłem w Londynie - The Difference Engine, napisaną tym razem z inną gwiazdą cyberpunku Brucem Sterlingiem. Zdaje się jest też polskie tłumaczenie tej książki, ale mam szczery zamiar zmierzyć się z oryginałem. Trzymajcie kciuki - zobaczymy czy jestem w stanie czytać z przyjemnością po angielsku coś innego niż tylko prace matematyczne, podręczniki fachowe i wewnętrzne dokumenty firmy (to ostatnie właściwie bez przyjemności).

Teraz wracam do moich zmagań. Oczywiście nie mam sukcesów - o tych bowiem doniósłbym na początku. Ponieważ tak jest postanowiłem upublicznić trochę zagadnienie, licząc, że może ktoś kto lubi matematyczne puzzle wpadnie na coś konkretnego. Będę używał mieszanej TEX-owo/tekstowej notacji, więc będzie dość obrzydliwie, ale póki co nie mam nastroju do kompilowania obrazków z wzorami.

Niech f(x) bedzie ciagłą funkcją okresową o okresie 1, taką, że:

\int_0^1 f(x)dx = 0

Niech v \in (0, 1) będzie liczbą niewymierną.

Oczywiscie mamy wtedy dla każdego x

1/N * (\sum_{n=0}^N f(x+n*v)) -> 0 gdy N->\infty

Moje pytanie dotyczy sumy:

S(f,x,N) = \sum_{n=0}^N f(x+n*v)

Co o niej wiadomo?

Postuluję nastepującą hipotezę:

-----
Istnieje zbiór W \sub [0,1], gęsty w [0,1] taki, że dla wszystkich x \in W
zbiór
{S(f,x,N) | N - naturalne}
nie jest gęsty w R (R tu to liczby rzeczywiste)

-----

Smoke on the water

Uprzyjemniając sobie ostatnie minuty przed udaniem się do mojego biurokratycznego raju spożywam wodę mineralną i okadzam się papierosem. Nastrój mam kiepski, choć nie aż tak kiepski jak wczoraj wieczorem (a właściwie w nocy). Dlaczego ? Przez matematykę oczywiście. Mam zwyczaj kartkować przed snem a czasem gdy mam więcej siły, nawet uważnie czytać pościągane z internetu prace i wczoraj niestety oddałem się temu zajęciu na swoją zgubę i za cenę niewyspania. Natrafiłem na pracę, z której wionie horrorem i moją osobistą klęską. Mój spokój i pewność siebie zostały zburzone. Sytuacja jest dramatyczna - żeby je odzyskać, bądź stracić na dobre czeka mnie niestety sporo pracy. Tym razem na kartkowaniu się nie skończy - muszę tę pracę przeczytać i zrozumieć do bólu. Czynię pewne notatki, więc o rezultatach zmagań doniosę na blogu po ich zakończeniu.
No nic. Trzeba się zebrać i stawić czoła innym jeszcze wyzwaniom (jak z drugiej strony cholera mam pracować, z tym garbem, przecież nie mogę o niczym innym myśleć). Ale trudno. Nie samą matematyką człowiek żyje. Trzeba iść i zarobić też na bułkę z szynką.

Rekomendacje

Przetrząsając pourlopowo strony w moich "bookmarks" natrafiłem na nowe ciekawe artykuły, których kilka niniejszym polecam uwadze nielicznych czytelników "Homo sapie ...".
Mianowicie najnowszy numer "Bulletin of the AMS", czasopisma które uprzejme Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne udostępnia za darmo w całości niemal poświęcony jest Leonardowi Eulerowi. W tym roku przypada bowiem trzechsetna rocznica jego urodzin. Wszystkie artykuły zapowiadają się smakowicie. Pierwszy z nich V. S. Varadarajana "Euler and his work on infinite series" udało mi się niemal skończyć w ramach podróży komunikacją miejską. Bardzo, bardzo interesujący.
Zabawny artykuł w innym czasopiśmie Towarzystwa, również w najnowszym numerze Notices of the AMS napisał znany również u nas ze swoich książek poświęconych kryptografii Neal Koblitz. Artykuł nosi wiele mówiący tytuł "The Uneasy Relationship Between Mathematics and Cryptography" i gdybym miał go opatrzyć tagami których używam na moim blogu, koniecznie użyłbym tagu "marudzenie". Warto się z nim zapoznać bo daje trochę wglądu w socjologiczną stronę nauki. Dawno się tak nie uśmiałem.