Sobotnie zmagania - z pola walki

Zanim przejdę do dramatyczniejszej części postu, zacznę od literatury. Właściwie od fantastyki. W czasach dawniejszych, a nawet bardzo dawnych był to mój ulubiony gatunek literacki. W PRL-u, przez fakt, ze drukowało się w ogóle mało, o dobre książki walczyło się, w bibliotekach czatowało się na to aż ktoś daną pozycję odda (panie bibliotekarki były boginiami, które mogły ją np. dla nas przetrzymać, dziś zawód ten stracił na prestiżu), a do posiadaczy tzw. dojść, którzy mieli na własność trudno dostępne pozycje ludzie garnęli się jak nie przymierzając politycy do oligarchów w III RP (wg. narracji PiS-owskiej naturalnie).
Paradoksalnie, a paradoks ten zauważyło już wielu przede mną - powodoało to, ze wydawano często dość wartościowe pozycje (choć obowiązywały klucze ideologiczno-cenzuralne) a złaknieni czytelnicy nie wzdrygali się przed prozą trudniejszą. Objawienie lat 80 to czasopismo Fantastyka, wspaniałe, trudne do zdobycia (korumpowanie pań pracujących w kioskach było na porządku dziennym) otwierające oczy na olbrzymi ocean tej literatury gdzieś za zachodnim horyzontem.
Gdy trochę się starzałem zacząłem z większości fantastyki jednak wyrastać, choć w latach 90, kiedy okno na świat się uchyliło, fala wdarła się z wielką siłą i poznaliśmy nowych autorów, nowe podgatunki a i w końcu zyskaliśmy dostęp do książek legend, o których wcześniej mogliśmy tylko przeczytać, że są. Ostatecznie, wraz z owymi zjawiskami i kształtowaniem się moich indywidualnych gustów zostałem przy trzech w zasadzie autorach do których wracam. Oczywiście Stanisław Lem - największy z wielkich, którego jednak z czasem przestałem uważać w zasadzie za pisarza fantastyki, Philip K. Dick - wielka, neurotyczna miłość literacka już na zawsze (mimo, że przyznaję rację smakoszom literatury w ogóle, że napisał wiele szmiry, ale ja cenię sobie nawet i ową szmirę, jako że przestałem w zasadzie traktować jego książki indywidualnie uznając je za jedną wielką opowieść) i w końcu, najbardziej "rozrywkowy" z nich ale niezmiennie wciągający William Gibson. Gibson pojawił się u nas późno ale równocześnie z wieloma rozpalającymi wyobraźnię nowinkami technicznymi, w momencie, kiedy świat zachłysnął się rewolucją technologiczną jaką przyniosły komputery, a przede wszystkim rozległe sieci komputerowe, z tą jedną, najważniejszą na czele. W jakimś, popkulturowym sensie, to wieszcz owej nowej ery. Wygrzebałem właśnie na półce książkę, którą kiedyś w przypływie rozrzutności zakupiłem w Londynie - The Difference Engine, napisaną tym razem z inną gwiazdą cyberpunku Brucem Sterlingiem. Zdaje się jest też polskie tłumaczenie tej książki, ale mam szczery zamiar zmierzyć się z oryginałem. Trzymajcie kciuki - zobaczymy czy jestem w stanie czytać z przyjemnością po angielsku coś innego niż tylko prace matematyczne, podręczniki fachowe i wewnętrzne dokumenty firmy (to ostatnie właściwie bez przyjemności).

Teraz wracam do moich zmagań. Oczywiście nie mam sukcesów - o tych bowiem doniósłbym na początku. Ponieważ tak jest postanowiłem upublicznić trochę zagadnienie, licząc, że może ktoś kto lubi matematyczne puzzle wpadnie na coś konkretnego. Będę używał mieszanej TEX-owo/tekstowej notacji, więc będzie dość obrzydliwie, ale póki co nie mam nastroju do kompilowania obrazków z wzorami.

Niech f(x) bedzie ciagłą funkcją okresową o okresie 1, taką, że:

\int_0^1 f(x)dx = 0

Niech v \in (0, 1) będzie liczbą niewymierną.

Oczywiscie mamy wtedy dla każdego x

1/N * (\sum_{n=0}^N f(x+n*v)) -> 0 gdy N->\infty

Moje pytanie dotyczy sumy:

S(f,x,N) = \sum_{n=0}^N f(x+n*v)

Co o niej wiadomo?

Postuluję nastepującą hipotezę:

-----
Istnieje zbiór W \sub [0,1], gęsty w [0,1] taki, że dla wszystkich x \in W
zbiór
{S(f,x,N) | N - naturalne}
nie jest gęsty w R (R tu to liczby rzeczywiste)

-----