Rzecz solidnie zakurzona choć, jakieś dwa lata temu, przypomniana. Bo pewnie warto - to matematyka dość przyjemna, elementarna, w wielu aspektach niezbyt trudna, w sam raz na kółko matematyczne w liceum.
W 1963 roku w "Bulletin of AMS" w stałym wówczas dziale "Research Problems" zawierającym nadsyłane przez czytelników krótkie notki z opisem interesujących problemów - tematów dla potencjalnych badań, pojawiła się notatka Alberta A. Mullina pod tytułem "Some related number-theoretic functions". Autor zdefiniował w niej (niezbyt precyzyjnie ale dość intuicyjnie) pojęcie mozaiki liczby naturalnej i zadał kilka pytań owego pojęcia dotyczących. W mniej więcej tym samym czasie i w latach następnych opublikował też kilka artykułów poświęconych owemu zagadnieniu, w różnych czasopismach. M.in w Notre Dame Journal of Formal Logic, w roku 1965 "Mathematico-philosophical remarks on new theorems analogous to the fundamental theorem of arithmetic" oraz w 1967 "On new theorems for elementary number theory" -wszystkie trzy wymienione dostępne w Internecie, plus kilka do których nie udało mi się dostać (zainteresowani referencjami mogą rzucić okiem na bibliografię ostatniej z wymienionych prac).
Postaram się szybko (ale również krytycznie - tzn. z własnym komentarzem) streścić co na ten temat pisał Mullin, co nowego w tej sprawie pojawio się ostatnimi czasy i wyjaśnić po co w ogóle pisze o tym w blogu, tj. dlaczego zagadnienie wydało mi się interesujące.
Jak wiadomo od starożytności, każdą liczbę naturalną >= 2 można na jeden z dokładnością do permutacji czynników sposób zapisać jako iloczyn liczb pierwszych - jest to treścią tzw. podstawowego twierdzenia arytmetyki. Można ową liczbą zatem zapisać na jeden jedyny sposób jako iloczyn potęg różnych liczb pierwszych (znowu z dokładnością do permutacji czynników) . Jeżeli zapisać korzystając używając tego przedstawienia z kolei wykładniki potęg w przedsatawieniu naszej liczby, a potem kontynuować ten proces rekurencyjnie otrzymamy pewne specjalne przedstawienie liczby naturalnej używające jedynie liczb pierwszych, operacji mnożenia i operacji potęgowania. To przedstawienie nazywać będziemy za Mullinem mozaiką liczby.
Popatrzmy na przykłady, operacja stanie się jasna:
126 = 2*(3^2)*7
455625 = (5^4)*(3^6) = (5^(2^2))*(3^(2*3))
936776054504321817706424726448362358340312545892791091968 =
= 3*(2^8)*(7^64) = 3*(2^(2^3))*(7^(2^6)) = 3*(2^(2^3))*(7^(2^(2*3)))
Dość łatwo zauważyć (łatwiej niż to super-precyzyjnie zapisać), że dla danej liczby istnieje jedna z dokładnością do pewnych oczywistych wynikających z przemienności mnożenia przekształceń mozaika. Jest to oczywisty wniosek z twierdzenia o jednozanczności rozkładu na liczby pierwsze.
Zanim przejdę do pytań dotyczących przedstawień mozaikowych powtórzę kilka klasycznych definicji a potem podam ich rozszerzoną, mozaikową wersję.
Funkcję f z liczb naturalnych do ciała liczb zespolonych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla każdych względnie pierwszych a i b mamy f(ab)=f(a)f(b).
Podobnie g jest funkcją addytywną, jeżeli dla każdych względnie pierwszych a i b mamy g(ab)=g(a)+g(b).
Względną pierwszość liczb oczywiście da się wyrazić w terminach ich rozkładu na liczby pierwsze - liczby względnie pierwsze to takie, które nie mają wspólnych dzielników pierwszych w swoich rozkładach. W naturalny sposób, za Mullinem, mozemy uogólnić te definicje i otrzymać, nazwijmy je umownie, funkcje mozaikowo multiplikatywne i mozaikowo addytywne. Oto ich definicja:
Liczby a i b nazywać będziemy mozaikowo względnie pierwszymi, jeżeli w ich przedstawieniu mozaikowym nie ma wspólnych liczb pierwszych.
Przykład:
4 = 2^2 jest mozaikowo względnie pierwsze z 27=3^3, ale nie z 9 = 3^2.
Zwróćmy uwagę, że, każde dwie liczby mozaikowo względnie pierwsze są też względnie pierwsze. Przykład względnie pierwszych 4 i 9 dowodzi, że nie jest odwrotnie - mozaikowa względna pierwszość jest istotnie silniejszą własnością.
Funkcja f z liczb naturalnych do ciała liczb zespolonych nazywamy mozaikowo multiplikatywną (odp. mozaikowo addytywną), jeżeli dla każdych dwóch mozaikowo względnie pierwszych liczb a i b, f(ab)=f(a)f(b) (dopowiednio f(ab)=f(a)+f(b)).
Tu mała uwaga terminologiczna. Mullin wprowadza termin uoglniona funkcja multiplikatywna (addytywna) - ja zmieniam nomenklaturę na taką, która bardziej wydaje mi się odpowiednia.
Obserwacja, że mozaikowa względna pierwszość jest silniejsza niż względna pierwszość szybko prowadzi do konkluzji, że wszystkie funkcje multiplikatywne (odp. addytywne) są jednocześnie mozaikowo multiplikatywne (odp. mozaikowo addytywne). Jak można się domyślić, nie jest odwrotnie, tj. mozaikowa *ywność nie gwarantuje *ywności bezprzymiotnikowej. Powtórzę tu konstrukcję Mullina.
Zdefiniujmy funkcję psi dla liczb naturalnych w następujący rekurencyjny sposób.
Dla 1 psi(1) = 1;
Dla p będącego liczbą pierwszą psi(p) = p;
Dla dowolnej innej liczby naturalnej postaci p1^a1*p2^a2*...*pn^an, gdzie p1,...,pn są różnymi liczbami pierwszymi psi(p1^a1*p2^a2*...*pn^an) = p1*psi(a1)*p2*psi(a2)*...*pn*psi(an)
Łatwym ćwiczeniem jest sprawdzenie, że:
1. Definicja jest dobrze postawiona, tj. rzeczywiście zdefiniowaliśmy funkcję.
2. Zdefiniowa funkcja jest multiplikatywna.
Okazuje się, że złożenie funkcji psi z samą sobą (czyli funkcja x->psi(psi(x)) ) jest mozaikowo multiplikatywna ale nie multiplikatywna. Dowód dość łatwy, pozostawiam chętnym żeby mieli trochę radości.
Jedno z pytań, które stawia w notce z "Bulletin" Mullin nie jest chyba tak łatwe,w każdym razie mnie się (na razie) nie udało znaleźć zamkniętej formuły a rekurencje jakie mi chodzą po głowie są dość skomplikowane i nie polegają na prostym przejściu od n do n+1. Pytanie brzmi - dla zadanego n naturalnego, jaka jest liczość przeciwobrazu zbioru {n} przez odwzorowani psi.
Co z funkcjami mozaikowo addytywnymi? Podobnie.
Dalszych przykłądów funkcji mozaikowo multiplikatywnych dostarcza odpwoiednie mozikowe uogólnienia klasycznych funkcji arytmetycznych. Np mozaikowa funkcja Mobiusa mi zdefiniowana jako:
mi_star(n) = 0 jeżeli w mozaice liczby n jakakolwiek liczba pierwsza wystąpi więcej niż jeden raz.
mi_star(n) = (-1)^k gdzie k liczba liczb pierwszych występująca w mozaice n w przeciwnym wypadku.
Niestety, zdaje się, że żaden ciekawy odpowiednik twierdzenia o inwersji Möbiusa tu nie zachodzi, przez co teoria funkcji mozaikowo arytmetycznych nie jest taka interesująca.
Mullin ma niestety trochę irytującą manierę strzelania z armaty do wróbli. Na przykład: Mullin podaje, że addytywna (klasycznie!) funkcja psi_star zdefiniowana w następujący sposób:
psi_star(1) = 0,
psi_star_star(x) suma wszystkich liczb w mozaice x dla x > 1
jest suriekcją na zbiór N\{0,1}. Jako argument przywołuje twierdzenie Schnirellmana, podczas, gdy z łatwością można znależć elementarny dowód.
OK. Czy zapomniane ? Nie moge odgrzebać tej pracy, ale jakiś czas temu - ku mojejmu zaskoczeniu - na Arxiv pojawił się artykuł napisany przez grupę studentów poświęcony rozwinięciu, ciągle elementarnemu, niektórych idei Mullina.
Co moim skromnym zdaniem jest w tym interesującego ? No, nie spodziewm się po tym zabawnym, przyznajcie, pomyśle jakiś wielkich fajerwerków, ale daje on pewne nowe spojrzeni na liczby naturalne i prowokuje szereg pytań.
Popatrzmy na to w ten sposób: mamy pewien zbiór X i rozłączny z nim , jednolelementowy zbiór I={i}.
Niech FINFUN(A,B) to wszytkie funkcje o skończonej dziedzinie zawartej w A i przeciwdziedzinie B.
Zdefiniujmy teraz indukcynie:
F(0,X,I) = FINFUN(X,I)∪I
F(n+1, X,I) = FINFUN(X,F(N))
F(X,I) = F(0,X,I)∪F(1,X,I)∪...∪...
W sumie łatwo zauważyć, że nasze F(X,I) odpowiada (jest izomorficzne) z drzewami o skończonej głębokości i skończonej ilości następników dla każdego węzła i węzłach o etykietach ze zbioru X.
Na zbiorze F(X,I) można zdefiniować naturalny porządek częściowy (indukcyjnie):
i
Można też zdefiniować częściową operację
jeżeli dom(x)∩dom(y)=∅ to x*y = x∪y
Gdyby rzoszerzyć F(X,I) do {0,1}XF(X,I) i rozszerzyć operację *, tak aby {0,1}XF(X,I) z tą operacją była tzw. grupoidem.
Są pewne naturalne pytania: Np. na ile sposobów i jak operacja * da sie rozszerzyć do abelowej operacji na wszystkie pary tak by dom(x*y) = dom(x)∪dom(y) i * zachowywała porządek.
Warto zwrócić uwagę że jeżeli taka operacja spełnia warunek:
∀x,y,z,t dom(x)=dom(y)={s} i dom(z)=dom(t)={w} i x(s)=z(w) i y(s) = t(w) => (x*y)(s)=(z*t)(w)
to w naturalny sposób definiuje ona nową operację + w następujący sposób:
x+y = ({(s,x)}*{(s,y)})(s) gdzie s jest pewnym s∈X.
Czy ta operacja musi być zgodna z porządkiem ?
Jest tu wiele podobnych pytań.
Jaki związek z mozaikami?
Jeżeli za X przyjmiemy zbiór liczb pierwszych a za I={1} można szybko skonstrułować izomorfizm między mozaikami liczb naturalnych F(X,I).
Tu jeszcze na X mamy liniowy porządek, który umożliwia jeszcze wzbogacenie dyskutowanych struktur. I prowadzi do nowych pytań.
Moze rzeczywiście z takich pytań może się urodzić jakieś ciekawe nowe spojrzenie na strukturę półgrupy liczb naturalnych?
OK. Na razie tyle na temat mozaikowy, bo trochę mnie ten post zmęczył. Może jeszcze wrócę do kiedyś do tego zagadnienia.
Posty
