Trójki i równania - medytacje

W walce o dobra trójkę ABC naturalna heurystyka nakazuje szukać wśród rozwiązań równań diofantycznych ogólnej postaci:
<suma dwóch iloczynów z potęgami>=<iloczyn z potęgami>
takich rzecz jasna by kontrolować jeszcze "względną pierwszość" pary składników sumy i składników i wyniku.
Ten sposób myślenia jest niejako dualny do powodu z jakiego w ogólę hipotezę ABC postawiono, o czym jeszcze kiedyś napiszę (będę wówczas filozofował i wyrażał się w terminach skrajnie ogólnikowych). Dziś tylko raportuję o zaprzątających mnie medytacjach nad równaniami.
Wobec heurezy wspomnianej na początku, jako naturalny punkt wyjścia do poszukiwań dobrych trójek, przyjąłem poszukiwanie rozwiązań równania Pella:

x^2-D*y^2 = 1

To bardzo dobrze znane (od starożytności) i nieźle zbadane równanie, z grubsza spełniające sformułowany na początku postulat. Daje też niejakie nadzieje na znalezienie dobrych trójek, gdyż wśród 215 dobrych trójek na górze rankingu, dwie pochodzą od rozwiązań tego równania, mianowicie

Rozwiązanie równania: x^2 - (3*547)*y^2 = 1 daje 66 w rankingu trójkę (A=1, B= 2^4*3^7*547 C=5^8*7^2) z alfa=1.439063 znalezioną przez Benne M.M. de Weger
Rozwiązanie równania: x^2 - (2*3)*y^2 = 1 daje 34 w rankingu przepiękną trójkę (A=1, B= 2^5*3*5^2 C=7^4) z alfa=1.455673 również znalezioną przez Benne M.M. de Weger

Zaletą równania Pella jako źródła materiału do przeczesywania jest własnie to, że jest tak dobrze zbadane, ma rozwiązania przy niewielkich założeniach o D (ważne, żeby nie było kwadratem), które to rozwiązania zachowują się bardzo regularnie.

Nawiasem mówiąc znacznie większa ilość trójek w rankingu pochodzi z wyników algorytmicznego poszukiwania i badania rozwiązań innego równania:

K*x^n-L*y^n=M*z.

Atrakcyjność tego ostatniego dla poszukiwań trójek płynie z faktu, że można przyjmować względnie wysokie wykładniki n i dobrze dobierać współczynniki K,L i M licząć, że po wstawieniu za x, y i z rozwiązań równania przy owych parametrach, dostaniemy trójkę z dużym alfa. Eksploatował je z wielkim powodzeniem w tym kontekście Abderrahmane Nitaj.
Ja jednak chwilowo (i w ogóle nie sportowo podchodząc do zagadnienia dobrych trójek, nie rzucając się jak wilk na algorytmy Nitaja by zapisać swoje nazwisko w "hall of fame") zatrzymałem się przy równianiu Pella, którego wszędobylskość w elementarnej (i tej nie całkiem już elementarnej) teorii liczb z wypiekami na twarzy odkrywam. Spotyka się tu fascynująca tematyka ciągów Lucasa , aproksymacji diofantycznych (szczególnie zaś ułamków łańcuchowych), zagadnień obliczeniowych w teorii liczb (np. rzućcie okiem tu), ciał kwadratowych i wielu, wielu innych.
Przy okazji zabaw z równaniem Pella, albo ogólniej, na wycieczce w świat równań diofantycznych, natrafiłem na ciekawe równanie Brocarda-Ramanujana postaci:

n!+1 = m^2

którego znamy trzy rozwiązania, (4,5), (5,11), (7,71). Zbadano, numerycznie, że dla n < 10^9 nie ma innych rozwiązań. Nie ma jednak na razie dowodu, że rozwiązań jest skończenie wiele - chyba, że przy założeniu prawdziwości hipotezy ABC. Wtedy mamy nawet silniejszy rezultat (np. tu ). Ale przy prawdziwości hipotezy ABC, to można dowieść hu hu... Tak dużo, że nie zanosi się na razie na dowód samej hipotezy (a wielu wątpi w jej prawdziwość w ogóle).
Z różnych powodów wydaje mi się jednak, że tezy o skończonej ilości rozwiązań równania Brocarda-Ramanujana można jednak dowieść bez hipotezy ABC, co nie jest jednak na pewno łatwe, przez co dziś jestem trochę niewyspany i rozkojarzony ;).