Przypadek

Co to właściwie jest przypadek? Fakt, że coś się w ogóle zdarzyło? Coś co byśmy w teorii prawdopodobieństwa nazwali zdarzeniem losowym? Nie, to chyba nie do końca to. Potocznie, to raczej zdarzenie nieoczekiwane i o nieobliczalnych, przynajmniej w chwili jego wystąpienia następstwach. Hmmm...
Przypadkowość tak pojęta, gdyby próbować wulgarnie przełożyć ją na terminy rachunku prawdopodobieństwa, jest powszechna w rozsądnych probabilistycznych modelach zjawisk. Standardowy "paradoks" mówi, że skreślenie 6 kolejnych liczb w totolotku jest równie rozsądne niz skreślenie np. liczb 1, 2, 12, 17, 29, 40. Kłóci się to z tzw. zdrowym rozsądkiem, nieprawdaż? Wylosowanie sześciu kolejnych liczb mogłoby wzbudzić (nieuzasadnione przecież) podejrzenia o jakiś szwindel, albo przynajmniej awarię maszyny losującej. Drugi ciąg - pewnie nie wywołałby większych podejrzeń. Od przypadku oczekujemy nieregularności. Tą intuicję formalizuje z matematycznego punktu widzenia tzw. algorytmiczna teoria informacij - fascynująca dziedzina matematyki leżąca na pograniczu logiki, teorii obliczalności, teorii informacji i teorii liczb. Jej podstawowym pojęciem, jest tzw. złożoność Kołmogorowa. Z grubsza rzecz biorąc, jest to pewna liczba rzeczywista którą można przypisać do ciągu liczb naturalnych. Liczba to to granica stosunku sumy długości minimalnej programu "komputerowego" i danych wejściowych dla niego niezbędnych aby wygenerować pierwszych n wyrazów ciągu jaki badamy, przy n zmierzającym do nieskończoności. Dokładną realizację maszyny i "język programowania" możemy przy tym, czego się skrupulatnie dowodzi po przyjęciu odpowiednio ścisłych definicji, właściwie zaniedbać, jako że emulatory jednych maszyn na innych czy interpretery jednego języka w drugim, to stały koszt, który zgubi się w przejściu granicznym. Rzeczywiście złożoność Kołmogorowa nieźle chwyta intuicję "przypadkowości ciągu". Ma też bogate konsekwencje teoretyczne prowadząc do pewnych specyficznych wersji twierdzenia Gödla i szeregu mniej lub bardziej (kwestia indywidualna - zależnie od wielkości sumy nabytych przesądów) paradoksalnych wniosków dotyczących liczb. Gregory Chaitin, jej twórca znany jest zresztą z wygłaszania (tym razem już raczej nieuzasadnionych, ale dajmy mu przyjemność bycia ocierającym się o genialność dziwakiem) stwierdzeń, np. że duże liczby naturalne nie istnieją, mają bowiem zbyt paradoksalne właściwości. W niedalekiej przyszłości, kiedy odświeżę sobie dawną bliższą znajomość z tą teorią nie omieszkam części przytoczyć. W piętrzącej się w moim domu stercie papieru (bez szans na szybki dostęp do wybranego z nich, niestety) mam też pracę poświęconą inżynierii oprogramowania, gdzie na gruncie ATI autorzy uzasadniają, że idea reużywalności kodu jest właściwie bez szans, podpierając to solidną dawką empirycznych pomiarów przeprowadzonych na oprogramowaniu "open source". Osobiście przyznam się, że w dawnych czasach głębokich lat 90, kiedy jeszcze cieszyłem się umysłem skłonnym do spekulacji, być może byłem blisko samodzielnego wymyślenia definicji złożoności Kołmogorowa, zastanawiając się nad pewnymi zagadnieniami dotyczącymi kryptografii. Ale to tylko takie gdybanie. W każdym razie gdzieś wokół podobnych zagadnień krążyłem.
Z zagadnieniem przypadku w fascynujący sposób łączą się też inne interesujące tematy warte zgłębiania. Np. tzw. prawa 0-1 z teorii grafów losowych na które po raz pierwszy natknąłem się wertując książkę poświęconą teorii modeli (sic!) - kolejnego pułkownika czekającego na lepsze czasy. Stąd pewnie niedaleko do fizyki statystycznej, przejść fazowych oraz własności wielkoskalowych sieci takich jak internet. Zresztą przypadek - co każdy wie - jest wszędobylski, cóż więc dziwnego, ze kiedy snuje się nad nim refleksję w jakiś sposób snuje się i refleksję nad samą naturą rzeczywistości.
Aha, a ciąg który podałem jako przykład "nielosowości" w totolotku, ma ta właściwość, że liczba na pozycji n jest najmniejszą liczbą, taką że 4 podniesione do niej ma n-1 jedynek w rozwinięciu dziesiętnym. Gdzie tu losowość? Sprawdzić to mozna sobie samemu, ale ja skorzystałem z jednego z moich ulubionych narzędzi internetowych: encyklopedii ciągów liczb całkowitych. Chyba dobrze, że autorzy testów na inteligencję lubujący się w zagadkach typu: odgadnij następną liczbę w ciągu, nie zaglądają tam za często...

Po tragedii

Prędkość świadomego przetwarzania informacji wizualnej przez człowieka jest dość ograniczona. Oznacza to, że efektywnie jesteśmy w stanie wykorzystać kilkaset bitów informacji docierającej do naszego mózgu kanałem wzrokowym, z tego ogromnego strumienia który dociera do naszej siatkówki.
Zapewne tak samo jest z myśleniem. Przepływa przez nas ogromna liczba myśli. I mimo, że wydają się być nasze - tak jak owe obrazy na siatkówce - w rzeczywistości poddawane są procesowi selekcji i niewiele z nich przyjmuje kaształt myśli zamkniętych w słowa, albo raczej, dających się w jasnych słowach wyrazić. Takie jest przynajmniej moje wrażenie. Szczególnie łatwo widać to zjawisko, kiedy się siada do pisania, np. pamiętnika czy bloga. Jesteśmy w stanie przekazać, zwłaszcza pisząc dość rzadko - fragment tego tylko co uwaga była w stanie wyłowić ze strumienia myśli w którym jesteśmy (podwójne to sito). Reszta: nie do końca wiadomo czy zaczątków jakiejś ciekawych, czy zupełnie bezsensownych myśli, znika - jakby nigdy ich nie było. Jak sny, których nie pamiętamy, jeśli zaraz po przebudzeniu nie opowiemy o nich komuś lub przynajmniej nie skupimy się nad tym co było ich treścią.
Dość przypadkowy wydawałoby się szum, co paradoksalne, naszego własnego autorstwa.
Wiele się wydarzyło ostatnimi czasy i pisząc tak rzadko jak ja, ciężko choćby wyrywkowo skomentować wydarzenia. To co w ostatnich dniach kwietnia przykuło mnie do fotela przed telewizorem były wypadki w kampusie Virginia Tech. Może dlatego, że byłem świeżo po lekturze Alberta Camus ? Oprócz przerażenia, współczucia i innych ludzkich odruchów i naturalnego pytania o motyw, zastanawiam się z jakim rodzajem buntu i przeciw czemu mieliśmy tu do czynienia. Bunt jest zawsze przeciw zastanej kondycji człowieka a w istocie przeciw zasadom które taką czy inną kondycję człowieka determinują. W historycznym przeglądzie buntu Camus zawsze odnajduje pierwiastek metafizyczny, który właściwie zawsze sprowadza się do wystąpienia przeciw Bogu, albo przeciw czemuś co ma cechy Boga. I nie ma się czemu dziwić, Bóg bowiem po to został stworzony, by personifikować grę niezależnych od nas sił i legitymizować ulotne konfiguracje w jakie wchodzimy w relacjach między sobą i światem. Ale mam wrażenie, że w tragedii w Virginia Tech możemy mieć do czynienia z innego rodzaju buntem - buntem przeciw nieobecności i milczeniu Boga. Buntem człowieka doskonale samotnego i w przebłysku zbrodniczej rozpaczy - doskonale amoralnego. Oto oświeceniowy, ponury i występny sen de Sade'a, który Camus podaje jako eksplikację buntu metafizycznego w jakimś sensie ziścił się. Wahadło dotarło do miejsca w którym wolność stała się piekłem a dawne budzące więzienia które runęły wydają się być nowym marzeniem, być może wartym buntu (z natury swojej niestety przeradzającego się w swoje potworne zaprzeczenie). Nie ma ucieczki od sentencji wyroku, którą Dostojewski (nie mogło go przy tej okazji zabraknąć) wkłada w usta Karamazowa: "Jeśli Boga nie ma, wszystko jest dozwolone". Pustka związana z brakiem Boga jest raną naszej cywilizacji, której obawiam się, zaleczyć się nie da, można się tylko znieczulić. Chyba, że mylił się Heraklit i można jednak wejść dwa razy do tej samej rzeki. Podnoszenie się fali fanatycznej religijności, nasilenie się konfliktów na tym tle, wieszczenie nadejścia "Nowego Średniowiecza" sugeruje, że i taki scenariusz jest możliwy. Ja raczej sądzę, że wyjścia nie ma. Nieobecność, nieistnienie, bądź obojętność Boga jest faktem i powrót do świata w którym w naturalny sposób mieszkał, byłaby aktem perwersji intelektualnej i przykładem cynicznej inżynierii społecznej. Wyrok jest prawomocny. Możemy zrozumieć źródła etyki, uzasadnić ją na wszystkie możliwe sposoby - biologicznie, społecznie, logicznie wywieść jej zasady. Ale pozostaje ona tylko konstruktem, mniej lub bardziej dobrowolną umową, w najlepszym razie emanacją wbudowanego przez dobór naturalny instynktu, który daje szansę przetrwania stadu ludzkiemu. Ale swojego głównego protektora straciła. obawiam się, że zobaczymy więcej dziwactw i okropieństw. Ale oczywiście przetrwamy. I warto przypomnieć sobie Marguerite Yourcenar z motta -wstępu do jej "Pamiętników Hadriana":
"Kiedy wszystkie skomplikowane rachunki okazują się fałszywe, kiedy nawet filozofowie nie mają nam nic do powiedzenia, można bez wyrzutów sumienia zwrócić się w stronę przypadkowego szczebiotania ptaków albo w stronę odległej przeciwwagi gwiazd."

Triskaidekafobia

To trzynasty post. Triskaidekafobia to chorobliwy lęk przed liczbą 13. Stara choroba. Zdaje się, że zapadli na nią Babilończycy - wiadomo że Kodeks Hammurabiego nie zawierał prawa 13. Czy ma to coś wspólnego z tym, że Babilończycy używali do liczenia systemu dwunastkowego i 13 była pierwszą liczbą wystającą poza podstawę systemu, sprawiającą kłopoty czy choćby tylko zaznaczającą miejsce gdzie opuszcza się przyjazną okolicę małych liczb i niewielkich skal (dom) i wkracza w krainę coraz bardziej przerażających potorów (świat) ? Taka mała psychonaliza ;).
Posługiwanie się systemem dwunastkowym też mówi nam coś o cywilizacji. Przyjęcie dwunastu za podstawę liczenia bierze się przecież z obserwacji astronomicznej - 12 to mniej więcej ilość pełnych cykli księżycowych w ciągu jednego pełnego cyklu słonecznego. Podstawa systemu odnosi się do wszechświata. Nasza arytmetyka, jakiej uczą nas w szkole, oparta jest na dziesiątce - czerpiąc natchnienie z ilości palców u rąk. Warto zestawić te dwa systemy: dziesiątkowy system pragmatycznych liczykrupów używających liczb do pilnowania swoich interesów i dwunastkowy system astronomów i mistyków. O systemie dwójkowym nie chcę nawet wspominać, bardziej prostacko się już nie da...
No dobra, żartowałem. Babilończycy też nieźle pilnowali swego a w naszej dziesiątkowej cywilizacji nie brak ani astronomów ani mistyków (czasem aż ich za dużo). System dwójkowy przyswoił dla nas bodajże Leibniz, a to ponoć za sprawą chińskiej księgi I-Cing która opisuje jak z binarnych wzorców w które losowo układają się rzucane łodygi krwawnika (albo otrzymanych w rezultacie sekwencji rzutów monetą) czerpać natchnienie do odczytywania przeznaczenia i podejmowania decyzji. Dziś dwójkowe serca tykają dookoła nas w tych wszystkich cudownych rzeczach do których zdołaliśmy się przyzwyczaić - ciągi zer i jedynek, przekształcane w inne ciągi zer i jedynek. Pusty, mechaniczny świat, któremu znaczenie nadaje puszczający to wszystko w ruch.
Oczywiście, te tykające serca, to róznego rodzaju automaty skończenie stanowe, a do opisu automatów skończenie stanowych (i nie tylko) nadają się całkiem nieźle koalgebry. Do koalgebr więc na chwilę wrócę. Otóż, mój mały program badawczy o którym wspomniałem w poprzednim poście, w pierwszej miękkiej próbie nie wypalił. Natomiast, próba owa pozwoliła mi lepiej zrozumieć o co chodzi z pojawianiem się odcinka jako końcowej koalgebry. To daje nadzieję na jakiś dojrzalszy atak w przyszłości. Zbliża się majowy "długi weekend" więc może wtedy?
Przy okazji, znalazłem polskojęzyczną stronę na której nieżle wyłożony jest (z punktu widzenia informatyki co prawda, więc w nieco innym ujęciu niż to, które mnie w tej chwili interesuje) wstęp do teorii koalgebr.
Poza tym: sporo się dzieje. Wśród moich kolegów z pracy znowu jakieś ruchy kadrowe. A ja tkwię w tym samym miejscu, a to dlatego pewnie, żem coraz starszy i bardziej nieruchawy. I zapominam, zapominam, urzędniczeję i cholera, co najgorsze, całkiem mi z tym dobrze.
W polityce też, niestety, ciekawie. Niestety, bo ciekawie oznacza ostatnio: coraz gorzej. Z tą namiętnością (internetowym politykowaniem i łapczywym rzucaniem się na wszelkie "newsy", komentarze, dywagacje), coś jednak muszę zrobić, bo zabiera mi zbyt dużo czasu i burzy mi spokój.

Po przerwach.

Parę skomplikowanych tygodni mam nadzieję za mną. Dużo jeżdżenia, świętowania - mało czasu na czytanie a jeszcze mniej na myślenie. Zacząłem się zastanawiać na założeniem innego bloga, poświęconego stricte polityce o której na tym piszę bardzo rzadko (z resztą w ogóle rzadko piszę...). Dyskusje na ten temat na rozmaitych forach zajmują niemało mojego czasu i może forma "blogowa" byłaby lepsza ze względu na pewien porządek, który w pisaninę wprowadza? Sam nie wiem. Muszę to dobrze przemyśleć.
W lekturach, jak wspomniałem nie posunąłem się zanadto, natomiast nabyłem trochę książek i w ten sposób powiększam swoje zaległości czytelnicze i co za tym idzie - frustrację. Powinienem lepiej gospodarować swoim czasem, na co od lat nie mogę się zdobyć. Zanotuję - z braku czasu rzecz jasna, bardzo szybko parę uwag o tym co czytać zacząłem i o tym co się dowiedziałem etc.
Zatem: na wylistowanym w kolumnie "parę linków" blogu , przeglądając zawartość jego archiwów, znalazłem post A Neighborhood of Infinity: An End to Coding Theory który wydał mi się ciekawy nie tylko sam w sobie, ale i wkontekście kodowania czasoprzestrzennego. Ciekawe na ile losowe systemy kodowania zbliżają się do najlepszych wynalezionych do tej pory kodów... Warto to sprawdzić, choć sprawa może być bardziej skomplikowana niż się wydaje. Z artykułów które czytałem wynika bowiem, że projektując kod bierze się pod uwagę dwa kryteria: na ile pozwala on gęsto upakować informację i na ile łatwo jest skonstruować dekoder dla niego. Mam przeczucie, że o ile kody generowane losowo mają szansę spełniać dobrze kryterium dobregu pakowania informacji, o tyle z kryterium łatwości dekodowania może być problem. Przyznaję jednak, że tego drugiego kryterium w praktyce nie do końca rozumiem. Wygląda na to, że będę się musiał z jakąś bardzo podstawową lekturą dotyczącą tych kodów się zmierzyć, żeby rozeznać się w sytuacji.
Zacząłem lekturę ni to pracy, ni to książki poświęconej koalgebrom. W wymienionym przeze mnie blogu jest trochę informacji na ich temat (w ogóle to bardzo inspirujące miejsce i często tam zaglądam). Jednak ja dotarłem do koalgebr inną drogą. To strosunkowo nowy dział na pograniczu informatyki teoretycznej i teorii kategorii. Teoria koalgebr posiada pewne cechy, które każą sądzić, że rzeczywiście może spełnić unifikującą rolę dla kilku bliskich sobie pod pewnymi względami dziedzin matematyki i informatyki. Mnie zainteresowała ze względu na to, że w jej ramach da się przeprowadzić niektóre konstrukcje znane z teorii układów dynamicznych - np. na dynamikę syboliczną można spojrzeć jako na teorię pewnego rodzaju koalgebr. Pytanie jakie się pojawia, to czy jest to tylko nowy język, albo jakaś lokalna, trochę ekstrawagancka moda, czy teoria ta ma coś istotnego poznawczo do zaoferowania. Wydaje mi się, że jednak ma. Oto mój mały program badawczy na początek:
Przy użyciu koalgebr da się zcharakteryzować np. odcinek domknięty. Dyskusja takiej konstrukcji przeprowadzona jest chociażby tu. Pytanie brzmi, na ile można przenieść do na grunt koalgebry odwzorowanie odcinka w odcinek. Jeżeli można byłoby popatrzeć na takie odwzorowanie ciągłe jako na "granicę" pewnego ciągu obiektów skonstruowanych na bazie koalgebr których koalgebrą końcową jest właśnie odcinek, to być może wtedy, pewne własności dynamiki odwzorowania odcinka w siebie dałoby się dedukować z własności odpowiednio dobranych "prostszych" czy raczej "bardziej pierwotnych" obiektów. Mam na myśli chwilowo własności w rodzaju twierdzenia Szarkowskiego , ale też i o innych, a prostota obiektów objawiałaby się w postaci jedynie struktury porządkowej w tym obiekcie i skończonej przestrzeni z jaką mielibyśmy do czynienia.
Ciężko powiedzieć, na ile są szanse na zrealizowanie takiego programu - za mało wiem o koalgebrze i zaledwie mgliście widzę, co i jak można zdefiniować tutaj. Ale jakąś małą próbę ataku na to zagadnienie na pewno przypuszczę. I coś na ten temat czywiście skrobnę.