O zwartości burzowym latem

gdy umysł i ciało wołają urlopu...
Dziś trochę matematyki, jaką ostatnio się podbawiałem.



1. Twierdzenie z topologii o uniwersalności kostki Cantora dla przestrzeni zwartych


W topologii ogólnej dowodzi się następującego twierdzenia:



Twierdzenie 1:

Każdej przestrzeń zwarta X o ciężarze m jest ciągłym obrazem kostki Cantora C_m =  {0,1}^m (gdzie na C_m mamy topologię Tichonowa).

Gwoli wyjaśnienia, ciężarem przestrzeni topologicznej nazywamy minimalną liczność bazy tej przestrzeni.



2. Specjalny przypadek zwartych przestrzeni metyrycznych: dowód

Nas interesować będzie szczególna wersja tego twierdzenia, mianowicie
taka, gdy X jest przestrzenią zwartą metryczną. Ponieważ zwarta
przestrzeń metryczna ma ciężar nie przekraczający ω, twierdzenie,
którym przez moment się zajmiemy będzie miało postać:

Twierdzenie 2:

Każdej przestrzeń metryczna zwarta X jest ciągłym obrazem kostki
Cantora C_ω  =  {0,1}^N. 

(gdzie na C_ω mamy metrykę
zadaną wzorem: d_C(x,y)=0, dla x=y i d(x,y) = (1/2)^-n, gdzie n = min {i| x(i)≠y(i)} w przeciwnym wypadku).

Oczywiście pracujemy tu w ogóle w kategorii porzestrzeni metrycznych z odwzorowaniami ciągłymi jako morfizmami, bowiem {0,1}^N jest metryzowalna (i co więcej da się tak zmetryzować, że będzie izometryczna ze zbiorem Cantora mieszkającym jak wiadomo na odcinku). Dla potrzeb poniższych rozważań, żeby nie gryźć się w język co chwilę, pojęcia kostki Cantora używał będeż zawsze w rozumieniu kostki Cantora o ciężarze ω. Podobnie - z uwagi na to co powiedziałem powyżej, mogę też użyć terminu "zbiór Cantora" jako synonimu dla "kostki Cantora".

Przedstawię dowód twierdzenia 2 jaki sobie na własny użytek przeprowadziłem:


Zacznijmy od definicji. ε-sieć  to zbiór S punktów w przestrzeni metrycznej (X,d), t.że X = ∪ {K(x, ε) | x ∊ S}.

Dla przestrzeni metrycznych zwartych, dla kazdego epsilon istnieje (na ogół nie jedna) skończona ε-sieć.




W celu konstrukcji naszego odwzorowania, weźmy ciąg ε_n = (1/2)ⁿ . Dla n, niech S_n oznacza pewną wybraną ε_n-sieć.


Niech φ(0) = #S₀


φ(n) = max {#S_n ⋂ K(x, ε_n-1)| x ∊ S_n-1}


Niech Φ(n) := [log₂(φ(n))]+1


niech

ψ(0): {0,1}^Φ(0) -> S₀


ψ(n): {0,1}^Φ(n) × S_n-1 -> S_n taka, że:


ψ(0) jest surjekcją


ψ(n)(_,x): {0,1}^Φ(n) -> K(x,ε_n-1)) ⋂ S_n jest surjekcją


Φ(n) jak można zauważyć jest wystarczająco duże, tak że ψ(n)(_,x) da się dobrze określić dla każedego x ∊ S_n-1. Zbiory postaci {0,1}^Φ(n) × {x} dla x ∊ S_n-1 są rozłączne i łącznie pokrywają całą dziedzinę funkcji ψ(n), zatem ψ(n) da się określić dla każdego n.


Teraz zdefiniujemy dwie funkcje:


Rtp : {0,1}^N -> {0,1}^Φ(0) × {0,1}^Φ(1) × ...

i

Sq: {0,1}^Φ(0) × {0,1}^Φ(1) × ... -> X^N


Rtp jest zdefiniowana naturalnie:


(c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1, c_Φ(0) ..., c_{Φ(0)+Φ(1)-1}, c_Φ(0)+Φ(1), ...) -> ((c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1), (c_Φ(0) ..., c_{Φ(0)+Φ(1)-1}), (c_Φ(0)+Φ(1), ...),...)


Przyporządkowanie Sq zaś, określone jest następująco:

((c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1), (c_Φ(0) ..., c_{Φ(0)+Φ(1)-1}), (c_Φ(0)+Φ(1), ...),...) -> (x₀, x₁, ...)

gdzie:

x₀ = ψ(0)(c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1)

x_n = ψ(n)((c_{Φ(0)+...+Φ(n-1)}, c_{Φ(0)+...+Φ(n-1)+1}, ..., c_{Φ(0)+...+Φ(n)-1}), x_n-1)


Zauważmy, że dowolny ciąg należący do obrazu funkcji Sq jest zbieżny.
Wynika to z określenia ciągu (x_n) i doboru funkcji ψ(n).
Mamy bowiem:
d(x_n, x_n-1) <= ε_n-1
więc
d(x_l, x_k) < Σ_i=min(l,k)^∞ (1/2)ⁱ  = (1/2)^min(l,k)-1


Zatem(x_n) jest ciągiem Cauchy'ego - a więc zbieżnym w przestrzeni zwartej.

Możemy teraz zdefiniować funkcję:

Cant : {0,1}^N -> X

Cant(s) = lim_n->∞(Sq(Rpt(s)))(n)

Do zakończenia dowodu należy jeszcze pokazać, że:

1. Cant, jest funkcją ciągłą
2. Cant jest suriekcją

Punktu 1 dowodzi się podobnie jak istnienia granicy:

Zauważmy, że d(Sq(Rpt(s))(j), Cant(s)) < (1/2)^(j-1) (*)

Teraz, jeżeli Cant(s) = x i weźmiemy dowolne ε > 0, możemy wybrać δ > 0, tak małe, że:

z d_C(s,t) < δ wynika, że s(i) = t(i) dla i = 0,...,N, gdzie N > Φ(0)+....+Φ(k) i gdzie (1/2)^k < ε/2

Wtedy Sq(Rpt(s))(i) = Sq(Rpt(t))(i) dla i = 0,...,k

i

d(Cant(s), Cant(t))<d(Sq(Rpt(s))(k), Cant(s))+d(Sq(Rpt(s))(k), Cant(t)) = d(Sq(Rpt(s))(k), Cant(s))+d(Sq(Rpt(t))(k), Cant(t)) < ε

co dowodzi ciągłości.

Zatem Cant(C_ω) jest domknięty (zwarty) w X. Pokażę teraz, że jest również gęsty w X, co da nam suriektywność i skończy tym samym dowód. Wybierzmy pewne dowolne ε i punkt x ∊ X. Pokażę, że w otoczeniu K(x, ε) punktu x istnieje punkt z obrazu funkcji Cant. Zauważmy, że dla każdego j Sq(Rpt(_))(j) : C_ω -> S_j jest surjekcją (**). Wybierzmy więc j tak duże, że S_j jest ε/2-siecią i (1/2)^(j-1) < ε/2. Z nierówności (*) i faktu (**) wynika, że istnieje s takie, że d(Cant(s), x)<ε .



3. Ale po co

Samo twierdzenie wydawało mi się zawsze ciekawe. Jakoś ostatnio nachodziło mnie (i wtedy też je sobie udowodniłem) w kontekście nieco filozoficznych rozważań o naturze obiektów matematycznych. Jest bowiem tak, że w twierdzeniu jest ukryty pewien sposób konstruowania przestrzeni zwartych w kombinatoryczny (może finitystyczny) sposób. Funkcje pomocnicze, które były wykorzystywane na potrzeby konstrukcji funkcji Cant zależą od dość dowolnych wyborów stosownych ε-sieci i odpowiednich suriekcji (słowem: Cant powinna mieć przeliczalną liczbę indeksów opisujących jakąż parametry od których zależy) . Ciekawe może być pytanie o warunki jakie należy narzucić na ciąg zbiorów skończonych (Z_n) i funkcji F_n: Z_n->P(Z_n+1) (P(X) to zbiór poszbiorów zbioru X) i malejący ciąg liczb (ε_n) aby istniała przestrzeń metryczna dla której Z_n będą ε_n-sieciami? Jak odpowiedź zależy od tego, że założymy że będę to ε_n-sieci minimalne (tzn. żaden właściwy podzbiór Z_n nie będzie już en siecią)?  Przy założeniach minimalności są chyba jakieś ciekawe związki między ciągiem #Z_n z wymiarem Hausdorffa przestrzeni X? Dołożyć do systemu wymaganie obliczalności systemu funkcji F_n - co dostaniemy? Czy jakąś obliczalną teorię przestrzeni zwartych, w której da się ściśle i dokładnie powiedzieć co to znaczy np. że okrąg lub odcinek jest "prostym" zbiorem natomiast taki płatek Kocha bardziej złożonym (a może wręcz przeciwnie prostszym)? Może ma to jakieś praktyczne znaczenie - np dla kompresji "kształtów" a więc i np. obrazów?

Czy jest jakiś związek (właśnie się uczę tej teorii zaintrygowany ninejszym pytaniem) między twierdzeniem tu dowodzonym a możliwością przedstawiania przestrzeni zwartych jako algebr definiowalnych równościowo?

Bedę wracał do tych tematów mam nadzieję, bo żywo mnie ostatnio zajmują.