Homo sapie ...

Post szczytowo-pompowy z rekomendacją

2010-10-13T21:58:00.004+01:00

Dowiedziałem się, że elektrownie szczytowo-pompowe (takie jak na górze Żar) służą (nie jest to oczywiście ich podstawowa funkcja) w przypadku wielkich awarii w sieci energetycznej, kiedy wyłączają się całe elektrownie do ponownego rozruchu systemu. By bowiem uruchomić bloki energetyczne często potrzebna jest już spora energia. Wtedy zmagazynowana w takiej elektrowni woda służy do wygenerowania energii elektrycznej, która inicjuje resztę systemu. Jeśli więc przejść, prawem przenośni, od sytemu energetycznego do bloga, Homo Sapie... przeżywał kilkumiesięczną przerwę w działaniu i jakiś odpowiednik - coś małego na początek by system wprawić w ruch - elektrowni szczytowo pompowej mu się należy. Niech będzie to niniejszy krótki post (wybaczcie pewną sztywność i nieporadność stylistyczną - wyszedłem nieco z wprawy).

Tym razem rekomendacja: w dzisiejszym skrócie z arXiv zauważyłem bardzo interesującą króciutką pracę przeglądową Adama Grygiela dotycząca osiągnięć w Teorii Liczb na przestrzeni dekady 1999-2009. Omówienie podzielono zgodnie z dość powszechnie przyjętą klasyfikacją Mathematical Review. Praca jest naprawdę zwięzła i najlepiej przeczytać ją całą samemu - ja napisze tylko o moich osobistych refleksjach.

Co do części pierwszej poświęconej elementarnej teorii liczb kompletnie umknęło mojej uwadze rozwiązanie hipotezy Sierpińskiego dotyczącej rozwiązań równania z funkcją Eulera w roli głównej. Dziwne, choć rok publikacji 1999 - to środek okresu kilku lat absolutnego chaosu w moim życiu prywatnym i zawodowym, więc poniekąd czuję się usprawiedliwony.

Wzmiankowane w rozdziale “Sequences and Set of Integers” prace Gowersa, Greena i Tao są być może najbardziej spopularyzowanymi spośród omawianych wyników. W tych okolicach plasowały się w ostatnich latach Medale Fieldsa. Poza tym wspomniani matematycy prowadzą intensywną działalność popularyzatorsko-publicystyczną i Internecie, co przyczynia się również do popularności wiedzy o tych rezultatach. Niemniej jednak w metodach które kryją się za tymi wynikami czai się w moim odczuciu potężna siła. Z pierwocinami niektórych z nich (na ile cokolwiek rozumiem z tych metod) zetknąłem się w czasach studenckich intensywnie przeglądając książkę Furstenberga “Recurrence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory”. Temat , choć jak wielu innych nie przetrawiłem go wówczas dogłębnie, wydał mi się fascynujący. Szczególnie w owym czasie przypadł mi do gustu dowód Furstenberga twierdzenia Van der Waerdena o postępach arytmetycznych. Po wielu latach poznałem z uroczej książeczki Chińczyna orygianlny dowód Van der Waerdena - sprytny, ale nie dał mi takiej satysfakcji jak Furstenberga. Twórcze rozwinięcie tych metod - to teraźniejszość i chyba przyszłość. Tego się warto nauczyć...

W dziale “Diophantine equations” - wielki sukces ostatnich lat czyli udowodnienie przez Mihailescu hipotezy Catalana. Zadziwiające, że poszło to metodami algebraicznymi (z którymi u mnie kiepsko). Kiedyś może spróbuję się zmierzyć z tym dowodem. Niemniej jednak zapoczątkowane przez Gelfonda potem rozwinięte przez Bakera a potem drążone przez Tijdemana metody analityczne, które zdawały się podchodzić tuż, tuż mimo, ze zawiodły wciąż mają moim zdaniem swój potencjał. Lubię je, bo sam ich kiedyś użyłem w małej co prawda sprawie, ale zawsze ;).

O dziale “Analytic numbers theory” za wiele nie umiem powiedzieć, poza tym, że o hipotezie Schinzla oczywiście słyszałem (i ona bardziej chyba niż słynny problem Colatza zasługuje na słowa Erdosa, ze jest poza zasiegiem współczesnej matematyki). Podobnie słyszałem wcześniej o wynikach Goldstona, Pintza i Yıldırıma o małych odstępach między liczbami pierwszymi, ale chyba nie doceniłem wagi wyniku.

Ostani dział, czyli obliczeniowa teoria liczb - trudno dziś o tym nic nie wiedzieć. To być może najbardziej praktyczny aspekt teorii liczb dzisiaj. Testy pierwszości o których mowa są bardzo wyrafinowane. To wyzwanie dla matematyków i informatyków. Przez nagminność stosowania teorioliczbowych metod w kryptografii dotykają te zagadnienia samych podstaw funkcjonowania masowej telekomunikacji w obecnym kształcie we współczesnym świecie. Ale mnie, szczerze mówiąc, jakoś ten temat dziś nie bardzo pociąga. Inaczej było wiele lat temu, gdy rozpoczynałem pracę - wtedy podniecał mnie dużo bardziej.

Na koniec refleksja natury ogólniejszej - artykuł został złożony do American Mathematical Monthly (więc pisma popularnego) ale wcześniej ukazał się w Wiadomościach Matematycznych po polsku. Szkoda, że nie propaguje się i nie promuje piśmiennictwa matematycznego w Polsce i po polsku należycie. Do Wiadomosci Matematycznych trudno się dostać a upubliczniają artykuły z dużym opóźnieniem. IMHO to kompletnie bez sensu. Jest to chyba jedyne polskie pismo które drukuje na poziomie popularnym ale dla matematyków i bardziej wyrobionych amatorów. Sporo wyżej niż nieoceniona Delta, ale jednak nie jest to periodyk stricte badawczy. Odczuwam dotkliwy deficyt “w tym segmencie rynku” w naszym kraju. Poza tym: czy ktoś słyszał o jakimś blogującym na bieżące tematy matematyku w tym kraju ? Po polsku - znalazł by się jeden (patrz rekomendacje blogów na marginesie). Ale newsy z pola walki ? - skazani jesteśmy na anglojęzyczne publikacje, blogi itp. Szkoda. Ale rozumiem...

Jeszcze jedna uwaga. Takie sympatyczne prace z krótkim omówieniem jak ta o której piszę szybko zostają zauważone - bo pozwalają ludziom zerknąć na trochę bardziej panoramiczny, choć mocno okrojony co do szczegółów obrazek. W moich twittowych subskrybcjach już ktoś o niej napomknął. Dla amatorów takich jak ja - zawsze wielka radość móc się z takim materiałem zapoznać. Co i moim porzuconym na miesiące czytelnikom polecam. Praca tu: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1010/1010.2484v1.pdf

Mundialowe dylematy

2010-07-09T19:17:00.003+01:00

Z Mundialem mam zawiły kibicowsko-rodzinno-moralny problem. Otóż, nie znam się w ogóle na piłce, a właściwie na żadnym sporcie. A moi teściowie są namiętnymi widzami wszelkich widowisk sportowych. Można sobie wyobrazić - mówmy wprost - pewien rodzaj politowania, jaki okazują osoby, które czują się ekspertami dla dajmy na to towarzysza przy stole który nie jest w stanie sklecić zdania na dany temat bez popadania w rażący błąd lub absolutną śmieszność.
Będąc z wizytą u nich w okolicach początku mistrzostw, żeby nie wyjść na kompletnego idiotę, który nie ma żadnego zdania, palnąłem w rozmowie, że wygra Holandia. Oczywiście pokiwano głową nad moim matołectwem i wszyscy zapomnieliśmy o sprawie. Tu zaczyna się dramat. Los chciał, że nieszczęsna Holandia doszła do finału. Wyobraźcie sobie jaka nadzieja we mnie wstąpiła, jak ostrzyłem sobie kły na ciętą ripostę. I co się dowiaduję od małżonki która rozmawiała z rodzicami telefonicznie..., że obecnie utrzymują, że od początku mówili, że wygra Holandia.
Teraz nie wiem, czy kibicować Holandii i w razie jej wygranej mieć satysfakcję z fuksem, bo fuksem, ale trafnie wytypowanego wyniku, czy Hiszpanii i w razie jej wygranej mieć satysfakcję, że jednak im się nie udało wytypować (choć ten typ to oczywiste fałszerstwo).
Z drugiej strony - ktokolwiek nie wygra, będę miał jakiś powód do zadowolenia...

Natręctwo

2010-06-29T13:31:00.015+01:00

Dręczy mnie mały problem matematyczny - nie wiem czy trudny (jak bym znał rozwiązanie to bym wiedział, ale wtedy bym nie pytał). Zgaduje, że jest znany w folklorze matematycznym. Prześladuje na tyle natrętnie, że przeszkadza mi trochę w pracy, więc postanowiłem się chociaż cześciowo uwolnić dzieląc się nim.
Zatem:
Na płaszczyźnie euklidesowej, dla zbioru ograniczonego S przez szerokość S w kierunku X gdzie X jest dowolną prosta, rozumiem kres dolny odległości prostych prostopadłych do X takich, że S mieści się w pasie między nimi. Oznaczmy go W(S,X).
Ograniczę się do zbiorów S będących homeomorficznymi obrazami okręgu - krzywych zamkniętych bez samoprzecięć. Dla S1 , S2 równość funkcji W(S1 , _) ≡ W(S2, _) na ogół nie oznacza, że S1 jest przystające do S2 . Najprostsze kontrprzykłady to krzywe niewypukłe, np brzeg kwadratu z małym wcięciem “do środka” na jednym z boków. Ale wypukłość też nie daje gwarancji - przykładem okrąg i trójkąt Roleaux (ten od silnika Wankla) o szerokości równej średnicy okręgu.
Pytanie jakie mnie nurtuje: A co jeżeli założmy, że krzywa jest wypukła (ogranicza obszar wypukły) i gładka (tzn. jest gładkim włożeniem okręgu) ? Czy wtedy W(S1 , _) ≡ W(S2, _) gwarantuje przystawanie S1 i S2 ?

Świeżo po lekturze

2010-06-10T21:37:00.002+01:00

Po świetnym doświadczeniu jakim była lektura książki Fefermanów "Tarski", postanowiłem kontynuować w tym duchu, tj. wziąć na warsztat kolejną biografię. Kandydatka miętosiła się na półce od kilku ładnych lat (bodaj od 2003 roku) i niepokoiła trochę moje sumienie, dostałem ją bowiem w prezencie od żony i zamiast od razu przeczytać zakisiłem.
Rzecz nosi tytuł "Pan Bóg jest wyrafinowany. Nauka i życie Alberta Einsteina" i jest autorstwa Abrahama Pais i jest jak sam tytuł wskazuje biografią Einsteina.
Bez przeciągania powiem: rzecz jest świetna, trudna i wymagająca. Słowo biografia właściwie nie do końca do niej pasuje. Gdyby wypreparować treść jakiej się zwykle spodziewamy po biografiach - zostało by nam ok 30 procent objętości książki. Od razu powiem, że nie wynika to z braku drobiazgowości autora (choć zestawiając z biografią Tarskiego, Pais bardzo zadbał o prywatność Einsteina) - widać wyraźnie, że starał się nie pominąć żadnego z ważnych w życiu Einsteina wydarzeń ani żadnej z ważnych osób, poświecając każdej z nich i jej relacjom z Einsteinem stosownej miary miejsce w książce. Niewątpliwie jednak to na czym skupił się najbardziej to dzieło naukowe Einsteina: jego miejsce i rola w nauce. Odbija się to wyraźnie w organizacji książki. Podstawowym planem jest podział na wielkie zagadnienia jakim się uczony zajmował i ponieważ taki podział częściowo kłóci się z chronologią samego życiorysu, poświęcona została ona właśnie - stąd pewne przeploty i powtórzenia. Dołączono jednak na końcu kalendarium ktore znakomicie pozwala po przeczytaniu uporządkować sobie wszystko
Najciekawsze jest owe 70 procent stanowiące detaliczny opis fizyki jaką uprawiał Einstein. Welkie tamaty ujęte są z w następującej kolejności: mechanika statystyczna i ugruntowanie atomowej teorii budowy materii, szczególna teoria względności, ogólna teoria względności, jednolita teoria pola i teoria kwantów.
W każdym z "działów" podano stan wiedzy aktualny w czasach bezpośrednio poprzedzających Einsteina, wkład jego samego, omówienie specyfiki jego akurat pracy, konsekwencje i rozwój danej dziedziny po Einsteinie często do czasów mniej więcej pierwszego wydania książki (tj. do lat 80 -tych). Pisząc o stanie wiedzy nie mówię o popularnym omówieniu. Tu tkwi trudność ale i piękno książki: omawia się konkretne eksperymenty i równania wraz z krótkimi wyprowadzeniami. Podobnie prezentuje się dokonania samego Einsteina. Omawia się szczegółowo współzależność prac - co pozwala lepiej zoorientować się w kwestiach dość kontrowersyjnych. Należą do nich np. kwestionowanie pierszeństwa Einsteina w odkryciu szczególnej teorii względności na rzecz Lorentza lub Poincare (o czym czasem słychać), czy rewolucyjna rola uczonego w tzw. pierwszej teorii kwantów. Omawiając prace Einsteina autor nie stroni od opisywania błędnych ścieżek kiedy Einstein czasem się zapędza, czasem wycofuje, zwyczajnie błądzi a czasem błyska zupełnie zaskakującą intuicją.
Naukowe życie Einsteina pełne jest dramatycznch zupełnie napięć. Po słynnym anno mirabilis (1905) kiedy z dziecinną niemal łatwością produkuje Einstein kilka rewolucyjnych zupełnie prac w tym tą o szczególnej teorii względności następuje kilka lat wytężonej pracy by skleić zasadę względności z dynamiką. Einstein - obdarzony zupełnie niesamowitą intuicją fizyczną odnajduje matematykę, a konkretniej geometrię Riemanna (właściwie w jego kontekście Minkowskiego-Riemanna) w którą nareszcie jest w stanie ubrać swoje intuicje tworząc ogólną teorię względności.
Podobnie dramatycznie wygląda sprawa teorii kwantów, której podwaliny tworzy zajmując się oddziaływaniem promieniowania i materii a potem wyjaśniając np. niewytłumaczalne na bazie klasycznej fizyki anomalie związane z ciepłem właściwym ciał stałych czy w końcu postulując kwantową naturę światła i wyjaśniając efekt fotoelektryczny. Otóż w ciągu dekady rodzi się zupełnie nowa fizyka - druga teoria kwantów czyli mechanika kwantowa w dzisiejszym rozumieniu - na którą z powodów filozoficznych nigdy nie godzi się jako na teorię fundamentalną, ze względu na wyróżnioną i podstawową w niej rolę przypadku i prawdopodobieństwa. Mamy więc Einsteina który przeorał fizykę stanowiąc cezurę między XIX i XX wiekiem, zostawiając fizyków starej daty osłupiałych i nie mogących się pogodzić z nowym obrazem świata i Einsteina który w tej jednej dziedzinie stoi w ich roli kiedy obraz świata po raz wtóry zostaje obrócony na nice. Fascynujące.
Również trzydziestoletnia bez mała walka o jednolitą teorię pola - wyrosłą albo przynajmniej podsycana przez ową niezgodę - którą prowadził samotnie oddalając się od mainstreamu do samej śmierci. Wielkie i heroiczne - szczególnie w świetle tego co osiągnął wcześniej.

Ksiązka, jako się rzekło, jest bardzo trudna dla kogoś kto nie zna się na fizyce albo zna się tak powierzchownie jak ja. Nie wszystkie argumenty zrozumiałem, większości wyprowadzeń w ogóle albo bardzo prymitywnie, od strony formalnej jeno, nie łapiąc do końca treści fizycznej. W sumie nic dziwnego. To nie podręcznik przecież. Trud brnięcia przez tą treść bardzo się jednak opłaca, bo na kilka spraw oczy mi się otworzyły i jednak z tego mozołu może jakiś pożytek będzie. W każdym razie walczyłem twardo. Polska redakcja zawiera błędy we wzorach. Wyłapałem kilka - tam gdzie coś rozumiałem, albo gdzie bił po oczach.

Bezcenną rzeczą - że będę zmierzał do końca - jest podglądniecie tej wielkiej postaci przy pracy. Zobaczenie pewnych chwytów które stosuje, rozumowań. Dla mnie było to szczególnie ciekawe, bo nigdy nie miałem jakoś szczególnie rozwiniętej intuicji fizycznej a mogłem zobaczyć ją w działaniu. Np. piękne fragmenty dotyczące pierwszych przyczynków do ogólnej teorii względności, małe modele myślowe które buduje a w które nie są jeszcze tak nieprawdziwe by odbiegały znacząco od rzeczywistości opisywanej znaną już teorią a w których mogłyby się już ujawnić nowe szukane jej aspekty. Zresztą wiele innych temu podobnych miejsc.

Jeszcze jedno - czuję trochę niedosyt jeśli chodzi o omówienie patentów i technicznych innowacji uzyskanych przez Einsteina i współpracowników. Jest trochę, ale chciałoby się o niektórych tych zabawkach wiedzieć więcej.

Słowem: z czystym sumieniem polecam książkę. Ale niekoniecznie na wakacjach...

P.S. Parę lat temu w jakimś supermarkecie widziałem egzemplarz tej książki za jedną dziesiątą ceny jaką zapłaciła moja żona. Był to chyba jedyny raz kiedy książka w której pojawiają się równania Einsteina pojawiła się w takim miejscu...

Newton, Pascal i hermeneutyka - witajcie w świecie 4G

2010-06-02T11:41:00.009+01:00

Mimo, że skończyłem szkołę w odległych i coraz szybciej, niestety, oddalających się czasach, pojęcie lektury obowiązkowej nie stało mi się obce. Tak więc, poza rzeczami które czytam z ciekawości, z chęci wzbogacenia poglądów, dla nauki, dla przyjemności, ze snobizmu etc. etc. zdarza mi się czytać rzeczy po prostu z obowiązku. Ostatnia lektura, która poczatkowo wydawała mi się koszmarnie nudna ale ciekawość moja rosła i wciąż rośnie oraz pojawiają się pewne oznaki satysfakcji z niej, to pewne fragmenty dokumentu o wiele mówiącym oznaczeniu 3GPP TS 36.213 V8.8.0 (2009-09) .

Tu dygresja: studiowanie dokumentów opisujących standardy telekomunikacyjne ma w sobie coś z sztuki walki, coś z rozwiązywania rebusa i coś ze studiowania świętej księgi. Zatem: Środki retoryczne jakimi posługują się autorzy owych dzieł ograniczają się zwykle do nadużywania trybu rozkazującego ("X shall Y..." - "Zaprawdę powiadam Ci, X będzie Y..." ). Powtarzalność schematów zdań ukrywa nagłe zwroty akcji. Jakakolwiek motywacja działań bohaterów jest szczelnie zakryta przed czytelnikiem. Zrozumienie wymaga długotrwałych medytacji i skomplikowanych egzegez. Wrogiem jest montonia, nuda, nieuwaga. Piszący owe standardy, w końcu, często nadzwyczaj jednostronnie biorą sobie do serca uwagę Gaussa o "zwiezłości, cesze którą należy brać pod rozwagę tak bardzo jak to możliwe".
Szczególnym gatunkiem owej literatury, do których przynależy i przywołany przeze mnie dokument, są opisy standardów komunikacji bezprzewodowej. Kapryśna i ograniczona natura medium i nieustający głód szybkości, pojemności i niezawodności prowadzi do tworzenia skomplikowanych piętrowych konstrukcji, nad którymi władzę absolutną sprawują Oszczędność, Zapobiegliwość i Kompromis.

Wracając do mojej lektury, okazuje się, że aby zadość uczynić surowym prawom owych trzech władców nadzwyczaj często należy uciec się do fortelu a pomocnikiem jest matematyka. O jednym fortelu , na który się natknąłem opowiem, bo to proste, ciekawe i - przynajmniej dla mnie - zaskakujące. Istotę tego fortelu należy jednak dopiero wyłuskać z opisu. Rzecz podana została bowiem do wierzenia.

Pomedytujmy, nad następującymi wersetami (przy okazji będącymi typową próbką stylu):

Co się za tym kryje. Otóż, chodzi o metodę pozwalającą w możliwie najzwięźlejszy sposób przekazać informację o wybranym M-elementowym podzbiorze w uporządkowanym zbiorze N - elementowym. Zakładamy przy tym, że obie strony znają N i M.

Uwaga - w dalszym ciągu na oznaczenie symbolu Newtona przyjmę (^N_M) - oznacza "N po M". Stosuję też konwencję jak w artykule (tj. dla N <>N_M) = 0).

Jak możnaby to zrobić? Pierwszy pomysł to wziąć N bitów i zapalić odpwiednie M z nich (stworzyć mapę bitową), następnie przesłać taką liczbę binarną. Ale, N może być duże i przesłać musielibyśmy wiele liczb. Ba, ten sposób pomija zupełnie informację, że M jest ustalone i potrzebuje więc zwykle [log₂N]+1 (czasem tylko log2N) bitów ale wykorzystuje tylko (^N_M)/2^N część owej przestrzeni możliwych map bitowych. Z punktu widzenia królowej Oszczędności sytuacja niedopuszczalna.

Możnaby z drugiej strony - korzystając z faktu, że jest (^N _M) kombinacji N elementów z M elementów - wymyślić jakąkolwiek funkcję przypisującą liczbom od 0 do (^N _M) -1 stosowny zbiór, umówić obie strony zeby ją znały i używały. Musielibyśmy wówczas jednak wymyślić bardzo wiele takich funkcji dla różnych par N i M - Zapobiegliwość nie byłaby z nas zadowolona.

Kompromisu w takich sytuacjach nakazuje s: znajdźmy uniwersalny sposób kodowania. Fortel - i mamy metodę opisaną w standardzie. Poniżej zajmę się jej objaśnieniem:

Po pierwsze, przypomnijmy sobie wzór dotyczący symbolu Newtona - nb. kluczowy dla konstrukcji trójkąta Pascala:

(ⁿ _k) + (ⁿ _k-1) = (ⁿ⁺¹ _k) (*)

Po drugie zauważmy, że jezeli n > m to
(ⁿ _k) >= (^m _k) (**)

To łatwo udowodnić indukcją (zadanie licealne) albo zobaczyć od razu (stosując indukcję niejako niejawnie) z (*). Po prostu

(ⁿ _k) = (^n-1 _k) + (^n-1_k-1) = (^n-2_k) + (^n-2 _k-1) + (^n-1 _k-1) = [powtarzamy rozwinięcie pierwszego składnika] = (^m _k) + C

które to C jest >=0 (> 0 jeśli n > k).

Po trzecie zauważmy, że:

(^N-1 _M) + (^N-2 _M-1) +... + (^N-M ₁) = (^N_M) -1 (***)

Tym razem: szybka ale trochę fikuśna indukcja:

Oznaczmy F(n,m) = (^n-1 _m) + ... + (^n-m ₁)

Wtedy:
F(n,1) = (^n-1 ₁) = n = (ⁿ ₁) -1

Załóżmy, że dla ustalonego n i m F(n-1,m-1) = (^n-1 _m-1) -1

Wtedy F(n,m) = (^n-1 _m) + F(n-1, m-1) = (^n-1 _m) + (^n-1 _m-1) - 1 = (ⁿ _m) -1

(ponownie z (*) )

Teraz prosto do tajemnicy naszego indeksu.

Weżmy jakiekolwiek r ∈ {0,..., (^N _M)-1}.

Weźmy największe K = K(r, N, M) t. że (K(r,N,M)_M) <= r. Takie K(r, N, M) oczywiście istnieje i jest jedyne - z (**) Zauważmy, że r - (^{K(r, N, M)} _M) ≤ (^{K(r, N, M)} _M-1) - 1

to jasne bo w przeciwnym razie

r >= (^{K(r, N, M)} _M) + _{(^{K(r, N, M)}} _M-1) = (^{K(r, N, M)+1} _M)

co jest sprzecznością bo K(r, N, M) było największe

Zatem, dla r' = (r - (^{K(r, N, M)} _M)) ∈ {0,...,(^K _M-1)-1} czynność możemy powtórzyć wyliczając K':

K > K' = K((r - (^K _M)), K, M-1)

itd. dla M-2, M-3 itd i kolejnych r otrzymując ciąg M różnych wartości.

W ten sposób podaliśmy, algorytm który danego r w jednoznaczny sposób przypisuje ciąg {K_i} spełniający warunek K_i > K_i+1

Proponuję - jako ćwiczenie, żeby nie było nudno - sprawdzić, że opisany algorytm wykonuje operację dokładnie odwrotną do tej opisanej w naszym cytacie. Dodam, że zdaje się, że by to stwierdzić nie trzeba już nic liczyć...

Równe

2010-05-20T16:10:00.004+01:00

Wspomniałem w jednym z postów o ksiażce "A=B". W części ogólnej - bo potem zajmuje się tożsamościami z symbolem Newtona w roli głównej - zwraca ona uwagę na pewien stały motyw: jeżeli potrafimy policzyć coś na dwa sposoby, to dostajemy ciekawe prawo (matematyczne, fizyczne itp). Dla mnie tego typu dowody są bardzo atrakcyjne i estetyczne. Twórcze rozwinięcie tego motywu można znaleźć w uroczej książeczce "Proofs that really count: the art of combinatorial proof"

Jedno z moich pierwszych doświadczeń matematycznych, gdzieś głęboko w czasach szkoły podstawowej polegało właśnie na małym odkryciu w tym duchu. Otóż nudząc się jak mops na jakiejś lekcji (nie wykluczam, że matematyki) rysowałem sobie na kartce punkciki łącząc każdy z każdym.

Powtarzając tą mechaniczną czynność zauważyłem, że pierwszy łączę z n-1 pozostałymi, drugi już z n-2 (bo z pierwszym już połączony) itd. Lewa strona była więc gotowa, miałem połączeń: 1+2+3+...+(n-1)

Potem spostrzegłem, że każdy jest połaczony z (n-1) pozostałymi i każde połaczenie licząc w ten sposób jest powtórzone dwa razy: Wyłania się prawa strona : n(n-1)/2 . I w końcu dumny znak "=":

1+2+3+...+(n-1) = n(n-1)/2

Przeżyłem to - jakkolwiek nie zabrzmi to perwersyjnie - jako głęboką przyjemność. Być może tamta chwila zdecydowała w ogóle o moim wyborze wykształcenia.

Most Dębnicki

2010-05-18T13:37:00.002+01:00

Bridge, originally uploaded by minthem.

w lepszych czasach. Czy przetrwa ?

Grzebiąc na półce

2010-05-14T07:47:00.001+01:00

Od jakichś trzech lat stałem się fanem Nabokova - nie jakimś nadzwyczaj gorliwym, ale dwie, trzy powieści rocznie czytuję. W serii którą kupuję, po każdej powieści są posłowia autorstwa Leszka Engelkinga. Zawsze mnie zawstydzają, bo uświadamiają o ile więcej można zobaczyć niż to co mnie się udało: chodzi i o interpretację i o konstrukcję fabuły, o wątki, motywy, detale. No, ale pozycja jest trochę nierówna - w posłowiach tych zsyntetyzowany jest zbiorowy wysiłek pokoleń "nabokologów".
Co mnie nieodmiennie zachwyca to pierwsze zdania w powieściach Nabokova. Jest prawie niemożliwym, żeby przestać czytać kiedy po otwarciu książki natknie się na:

"Zgodnie z prawem wyrok śmierci obwieszczono Cyncynatowi C. szeptem."

albo:

"Ogromna czarna wskazówka zegara jest jeszcze nieruchoma, zastygła przed czynionym co minutę gestem; jej sprężyste drgnienie wprawi w ruch cały świat."

Z świata celebrytów

2010-04-08T21:43:00.003+01:00

Spacerując nie tak dawno sobotnim wieczorem w okolicach Małego Rynku wpadłem po raz pierwszy od dobrych 7-8 lat do mieszczącej się tam księgarni ezoterycznej CUD (Ciało Umysł Duch). Przez nią wchodzi się zresztą do knajpy na piętrze i w dawnych czasach kiedy pracowałem w "krążowniku" u zbiegu Wielopola i Starowiślnej wpadałem do owej knajpy czasem z koleżeństwem - stąd mam niejaki sentyment do tego miejsca. Wracając do księgarni CUD, to oczywiście jak podobne jej miejsca wypełniona jest mieszaniną rzeczy jakoś tam wartościowych z kompletnymi bzdurami od teorii spiskowych począwszy przez chiromancję, geomancję, astrologię, różne filozofie wschodu po programowanie neurolingwistyczne, że skrócę wyliczankę do kilku ledwie.

Jest tam też oczywiście dedykowana półka albo i dwie nawet specjalnie na książki z zakresu numerologii. Ja oczywiście nie wierzę w teorie numerologiczne, ale wierzę w istnienie numerologii i w to, że owo istnienie może nam coś ciekawego powiedzieć np. o ludziach. Pierwsze wrażenie jest takie, że jest tych książek - nie w sensie ilości egzemplarzy ale w sensie ilości tytułów sporo. Zazdrość bierze, bo chyba więcej niż książek poświęconych teorii liczb dostępnych w sprzedaży. Wziąłem się za kartkowanie z ciekawości, z pewną nadzieją, że o ile są to bzdury to przynajmniej natknę się gdzieś na bzdury na swój sposób wyrafinowane. Pokrewne numerologii np. rozważania miłośników Kabały bywają bowiem czasem całkiem intrygujące i o ile mi wiadomo kilku mistycznie nastawionych niezłych matematyków oddawało się i oddaje owemu szaleństwu. Niestety: wszystko wydaje się tam być zupełnie płaskie i sprowadzone do najzupełniej prymitywnego katalogowania liczb i wiązania ich z jakimiś wpływami, cechami charakteru ludzi itp. Najbardziej wyrafinowana operacja matematyczna na jaką można się tam natknąć to dodawanie a i to w zakresie dostępnym dla drugo, jeśli nie pierwszoklasity.

Ale generalnie liczby ludzi fascynują i chętnie czegoś w nich szukają. Mam kolegę, który bawi się w giełdę i tam - w ślad za jakąś nie do końca zdaje się uzasadnioną heurystyką zwaną teorią fal Elliota, niektórzy stosują jakąś formę przewidywania czy wróżenia z ciągu Fibonacciego. Od czasu do czasu zatem zadawał całkiem sensowne pytania teorio-liczbowe, na które starałem się jak umiałem odpowiedzieć. Cóż, nie sądzę żebym mu pomógł w zdobyciu fortuny (jeśli ją ma to skrzętnie ukrywa). A nawet jeśli - będę wspaniałomyślny i nie zażądam "działy". "Stalking" (dziś nauczyłem się tego słowa i dowiedziałem się co oznacza) stanowczo nie jest w moim stylu.

Niewykluczone, że w świecie pozamatematycznym liczby Fibonacciego zrobiły wśród ciągów liczbowych karierę największą. Raz, że rzeczywiście rekurencja której są może i najprostszym spośród spektakularnych przykładów rzeczywiście robi jakieś wrażenie nawet na ludziach nie znających matematyki, dwa, że powiązane są z kilkoma ciekawymi anegdotami historycznymi, trzy bo to temat przylegający do zagadnień praktycznych i pobudzajacych wyobraźnię - jak złoty podział i jego wszędobylskość np. Cóż - jest to jak widać twór przynależny już nie li tylko do matematyki ale do szeroko rozumianej kultury masowej (przypomnijmy sobie choćby Dona Browna).

Do rozmyślań o liczbach i kulturze bezpośrednio natchnął mnie fakt, że jeden z newsletterów jakie pronumeruje przyniósł mi dziś linka do strony jakiejś firmy powiązanej z FOREX-em, czyli instytucją (albo jak się to modnie mówi - platformą) organizującą światowy rynek walutowy. Ponieważ rynek ten jest chyba zupełnie skomputeryzowany, w czasach internetu obrósł firmami które pośredniczą w spekulacji na nim umożliwiając ją również maluczkim wyposażonym w konto bankowe i przeglądarkę WWW i stając się dla owych maluczkich jak sądzę skrzyżowaniem instytucji finansowej z szeroko rozumianą rozrywką hazardową. Co zauważyłem dziś - co odwraca niejako sytuację mojego kolegi gracza - w materiale promocyjnym owej firmy pisano przede wszystkim o ciągu Fibonacciego podając nawet całkiem ciekawe informacje historyczne delikatnie jedynie wspominając, że można go użyć do wspomnianego przeze mnie "przewidywania" w trakcie gry. Tak wiec firma promowała uczestnictwo w FOREX (a więc i nadzieję na bogactwo dla gracza i pewność prowizji dla siebie) używając ciągu Fibonacciego. Czyż to w dzisiejszych czasach nie nobilitacja wystąpić w reklamie ?

I ja na tym pewnie skorzystam bo mój dzisiejszy wpis dzięki Googlom przysporzy mi zapewne atrakcyjnymi słowami kluczowymi nowych, zawiedzionych, jednorazowych gości...

Zupełnie inna historia

2010-03-31T15:36:00.006+01:00

Skusiło mnie, mimo, że to zupełnie inna historia jak wzmiankowałem tu (warto być może przed czytaniem tego postu zajrzeć do linkowanego), ażeby opowiedzieć coś o twierdzeniu Dilwortha. Spróbuję zmierzyć się z innym jego dowodem (w porównaniu ze znanym choćby z wikipedii) który pozwala zerknąć trochę na strukturę zbioru antyłańcuchów o maksymalnej liczności w skończonym zbiorze uporządkowanym. Nie wiem czy jest to jakiś nowy dowód – twierdzenie Dilwortha nie jest bardzo trudne więc spodziewam się, że wiele osób dla przyjmności, przypadkiem czy w ramach ćwiczenia udowodniło go sobie na wiele różnych sposobów.

Twierdzenie Dilwortha, mówi: W skończonym zbiorze F uporządkowanym przez relację R maksymalna długość antyłańcucha jest równa minimalnej ilości rozłącznych łańcuchów pokrywającej zbiór F.

Uwaga: będę używał dla R zapisu infiksowego, tj. fakt, że (a,b) ∈ R będę oznaczał przez a R b.

Definicja: Kratą nazywamy zbiór częściowo uporządkowany w którym każde dwa elementy mają unikalne supremum (a więc minimalne ograniczenie górne) i unikalne infimum (a więc największe ograniczenie dolne).

Lemat:

Niech dana będzie krata skończona X gdzie relacją porządku jest ≤. Niech W ma wasność: ∀ x, y ∈ X sup(x, y) ∈ W i inf(x, y) ∈ W => x ∈ W i y ∈ W. Wtedy, jeżeli pewien maksymalny łańcuch w X zawiera się w W, to W = X.

Uwaga: ≤ używam tu w zapisie infiksowym, tzn (a,b) ∈ ≤ zapisuję jako a ≤ b . a < b oznacza zaś a ≤ b i a ≠ b

Dowód: Załóżmy nie wprost, że W ma sugerowaną własność, pewien maksymalny łańcuch M ⊆ W, ale W' = X \ W ≠ 0. Weźmy a - element maksymalny w W'. W M są elementy nieporównywalne z a, bo w przeciwnym wypadku M ∪{a} byłoby łańcuchem większym niż M a o M założyliśmy, że jest maksymalny. Weźmy o - najmniejszy z elementów łańcucha M nieporównywalny z a. Z maksymalności a w W' wiemy, że sup (a,o) ∈ W. (bo sup(a,o) > a ) Ponieważ a nie należy do W, wiemy też, że inf(a,o) ∉ W, (bo w przeciwnym razie z własności zbioru W mielibyśmy a ∈ W) Wiemy również, że o nie jest elementem minimalnym łańcucha, bowiem wtedy inf(a,o) < o musiał by być równy o a o jest nieporównywalne z a. Istnieje więc element b bezpośrednio poprzedzający o w W. Weźmy teraz element inf(a,o). Ponieważ b < a (jest porównywalne a nie może być mniejsze bo wtedy a < b < o a a nie jest porównywalny z o). Skoro tak, to b ≤ inf(a,o) (bo b < o i b < a wiec b ≤ inf(a,o) z definicji infimum). Gdyby b = inf(a,o) mielibyśmy znowu sup(a,o), inf(a,o) ∈ M ⊆ W i a ∈ W. Jeżeli zaś b < inf(a,o) < o to M ∪ {inf(a,o)} jest łańcuchem większym od M. Sprzeczność.

Zanim wykorzystam lemat, mała uwaga. Nie znałem wcześniej tego lematu i ciekaw jestem czy ma jakąś wartość (w sensie przydatności) poza dowodem, który tu przeprowadzam. Chętnie bym zobaczył szersze jego zastosowanie.

Druga uwaga - przypomina mi się żart, który opowiadał jeden z wykładowców w IM UJ (ale nie pamiętam który niestety) o dowodach nie wprost. Mianowicie: dowód nie wprost polega na tym, że ktoś pisze bzdurę a potem zaczyna wnioskując z niej wypisywać coraz większe i większe bzdury, aż w końcu wypisze coś tak niesłychanie bzdurnego, że wszyscy zgadzają się, że dalej już nie można kontynuować.

Wracając do tw. Dilwortha. Niech FM oznacza zbiór antyłańcuchów o maksymalnej długości w F uporządkowanym przez relację R. W FM wprowadźmy relację RM następująco: a RM b z definicji wtedy i tylko wtedy gdy ∀ x ∈ a ∃ y ∈ b t. że x R y

Pokażę, że jest to relacja porządku. A więc :

1) a RM a - oczywiste

2) Niech a RM b i b RM c . Mamy x ∈ a więc ∃ y ∈ b t. że x R y . Zatem ∃ z ∈ c t. że y R z. Z Przechodniości R mamy x R z. Więc a RM c

3) Niech a RM b i b RM a . Weźmy x∈a . Zatem ∃ y ∈ b t. że x R y. Więc ∃ z ∈ a t. że y R z. Ale wtedy x R z i oba należą do antyłańcucha, więc x = z. Mamy więc x R y i y R x, czyli y = x. Rozumując tak ∀ x ∈ a i korzystając z tego, że oba antyłańcuchy mają maksymalną liczbę elementów więc są równoliczne dostajemy a = b

Pokażę więcej, mianowicie FM z porządkiem RM jest kratą. Wystarczy pokazać, że:

∀ a b ∈ FM ∃ sup(a, b) i inf(a,b).

Ponieważ konstrukcje i dowody obu są identyczne z dokładnością do kierunków nierówności, szczegółowo przedstawię przypadek supremum, zostawiając - jak to mają w zwyczaju leniwcy infimum czytelnikowi. A więc, niech a i b ∈ RM .

Mamy a = a₁∪(a ∩ b)∪a₂ gdzie

a₁ = {x : x∈ a\b , ∃ s ∈ b t. że x R s }

a₂ = {x: x∈ a\b , ∃ s ∈ b t. że s R x }

Podobnie b = b₁∪(b ∩ a)∪b₂ gdzie

b₁ = {x : x∈ b\a , ∃ s ∈ a t. że s R x }

b₂ = {x : x∈ b\a , ∃ s ∈ a t. że x R s }

Zauważmy, że a₁ ∩ a₂ = b₁ ∩ b₂ = 0

Gdyby bowiem x ∈ a₁ ∩ a₂ to ∃ y₁, y₂ ∈ b t.że y₁ R x i x R y₂

ale wówczas, (skoro b jest antyłańcuchem) y₁ = y₂ więc y₁ = y₂ = x. Ale a₁ (jak i a₂) z definicji nie ma elementów wspólnych z b. Przy okazji wynika z tego że

#a = #a₁ + #a∩b + #a₂

i podobnie

#b = #b₁ + #a∩b + #b₂

gdzie przez # oznaczam liczność zbioru.

Pokażę teraz, że:

inf(a, b) = a₁∪(a ∩b)∪b₂ i

sup(a, b) = b₁∪(a ∩ b)∪a₂

Zajmijmy się supremum. b₁∪(a ∩ b)∪a₂ jest antyłańcuchem. Mianowicie żadne dwa elementy zbioru b₁∪(a ∩ b) nie są porównywalne między sobą, podobnie (a ∩ b)∪a₂ , Zatem pozostaje pokazać, że elementy b₁ i a₂ nie są porównywalne.

Załóżmy że ∃x ∈ b₁ y ∈ a₂ t.że x i y są porównywalne.

Gdyby y R x mielibyśmy z definicji zbiorów b₁ i a₂ że

∃s z ∈ b t.że s R x i x R y i y R z więc s R z czyli s = z = x = y co jest sprzeczne.

Gdyby zaś x R y wtedy ∃s z ∈ a t.że s R x i x R y i y R z i rozumujemy jak linijkę wyżej.

Podobnie pokazać można, że a₁∪(a ∩ b)∪b₂ jest antyłańcuchem.

Pozostaje pokazać, że oba łańcuchy są maksymalnej długości. Ale wiemy:

#a = #b więc #a₁ + #(a ∩ b) + #a₂ = #b₁ + #(a ∩ b) + #b₂

czyli

#a₁ - #b₁ = #b₂ - #a₂ ale:

# b₁∪(a ∩ b)∪a₂ = #b₁ + #(a ∩ b) + #a₂ =

#b - #(a ∩ b) - #b₂ + #(a ∩ b) + #a₂ = #b + (#a₂ - #b₂)

Podobnie

a₁∪(a ∩ b)∪b₂ = #a₁ + #(a ∩ b) + #b₂ =

#a - #(a ∩ b) - #a₂ + #(a ∩ b) + #b₂ = #b + (#b₂ - #a₂)

Gdyby więc #a₂ - #b₂ ≠ 0 jeden z tych dwóch antyłańcuchów miałby długość większą niż długość antyłańcucha o maksymalnej długości – co jest jawną sprzecznością.

Teraz pozostaje pokazać jeszcze, że supremum jest naprawdę supremum, tzn.

jeżeli a RM x i b RM x to sup( a , b ) RM x

Jeżeli a RM x to oczywiście każdy s ∈ a jest porównywalny z jakimś elementem antyłańcucha x (bo inaczej po dołączeniu do x tworzyłby większy antyłańcuch). Gdyby któryś z nich był silnie większy od pewnego elementu x to (patrząc na definicję porządku RM w FM) byłby również silnie większy a więc w szczególności porównywalny z jakimś innym elementem a co daje sprzeczność.

Podobnie można rozumować i dla b. Zatem (b₁∪(a ∩ b)∪a₂ ) RM x.

Niemal identyczne rozumowanie pokazuje, że zdefiniowane przez nas inf jest rzeczywiście infimum zbiorów w RM.

FM jest zatem kratą.

Weźmy teraz A maksymalny łańcuch w FM. Pokażę, że istnieje łańcuch C w F mający wspólny element z każdym elementem A. To proste: niech c₁ będzie maksymalnym elementem w A a x₁ elementem c₁. Teraz indukcyjnie dopóki nie wyczerpiemy elementów A, mając x₁...x_k elementów tworzących łańcuch w F takich, że x_i ∈ c_i i c_i poprzedza c_i-1 w A, definiujemy c_i+1 jako element bezpośrednio poprzedzający c_i w A a x_i+1 element c_i+1 t. że x_i+1 R x_i (element taki istnieje z definicji porządku RM w FM. Zauważmy, że nie musi być różny od x₁ !). Żądanym łańcuchem zbiór będzie {x₁,...,x_n} (tworząc z ciągu zbiór wyeliminowaliśmy powtórzenia).

Niech teraz, przy znaczeniu A i C jak wyżej, S będzie podzbiorem FM takim, że a ∈ S wtedy i tylko wtedy gdy a ∩ C ≠ 0. Łatwo zobaczyć z charakteryzacji inf i sup, że S ma własność z naszego Lematu, tzn że jezeli inf(a,b) i sup(a,b) są w S to i a i b są w S.

Jest tak rzeczywiscie: jeżeli x i y należą do C, x R y i x ∈ inf( a, b) i y ∈ sup (a, b) to albo:

- x ∈ a ∩ b - wtedy oczywiście a ∩ C ≠ 0 i a ∈ S i b ∩ C ≠ 0 i b ∈ S

- x ∈ a₁wtedy z konieczności y ∈ b₁ i znowu j.w. a ∈ S i b ∈ S

- x ∈ b₂ wtedy z konieczności y ∈ a₁ i j.w.

Co więcej A jest łańcuchem maksymalnym w FM i jest (co wynika ze sposobu konstrukcji) zawarty w S. Na mocy Lematu zatem S = FM. Innymi słowy każdy antyłańcuch o maksymalnej liczbie elementów przecina się z łańcuchem A.

Teraz samo Twierdzenie Dilwortha.

Indukcyjnie. Twierdzenie jest porawdziwe gdy maksymalna długośc antyłańcucha jest 1. Załóżmy, że jest prawdziwe dla zbiorów uporządkowancyh z antyłańcuchem o maksymalnej długości k gdzie k < n. Weźmy teraz zbiór F, z antyłańcuchem o maksymalnej długości n. Z tego co udowodniliśmy powyżej wynika istnieje łańcuch C mający część wspólną z każdym anyłańcuchem maksymalnej długości w F. Wtedy F \ C jest zbiorem z antyłańcuchem o maksymalnej długości równej n-1 i z założenia indukcyjnego minimalna łańcuchów pokrywających go wynosi n-1. Zatem F da się pokryć przez n łańcuchów (łańcuchy pokrywające F\C i C). Jest to rzeczywiście liczba minimalna, bo gdyby dało się pokryć przez mniej (np. n-1) dwa elementy antyłańcucha o długości n musiałyby wpadać do tego samego łańcucha z pokrycia - co jest niemożliwe.

Uff

Zagadnienie literackie

2010-03-14T20:00:00.003+01:00

Ktoś czytał "Rękopis znaleziony w Saragossie" Potockiego? Zakładam, że film Hassa na motywach tejże powieści oglądał każdy (jest ponoć kultowy również poza Polską, pieniądze na restaurację i koloryzację filmu wyłożył M. Scorsese). OK, to nie odpytywanie z lektury, chodzi mi tylko o to by przypomnieć specyficzną konstrukcję owej powieści, (widzowie filmu mieli okazję poczuć jak to jest zrobione, ale w stopniu komplikacji film nie zbliża się nawet do książkowego oryginału). Jest owa konstrukcja mianowicie taka - pomysł zbieżny z wschodnimi "Baśniami tysiąca i jednej nocy" - mamy opowieść główną i głównego narratora, który przeżywając swoje przygody napotyka inne postaci, które opowiadają mu własne przygody (co narrator przytacza dosłownie więc narracja zawsze pozostaje narracją w pierwszej osobie), w tych opowieściach rekurencyjnie zaczynają się i kończą inne opowieści i tak dalej, przy czym "głębokość stosu" o ile mnie pamięć nie zawodzi sięga w najgłębszym miejscu czterech. To nie koniec, zdarza się, że poszczególne opowieści odwołują się do tych samych postaci i wydarzeń, mają wspólnych bohaterów i/lub są dobrze zlokalizowane w czasie względem wydarzeń historycznych.
Nie sporządziłem czytając, choć kusiło mnie niezmiernie i może kiedyś to zrobię, diagramu wszystkich tych opowieści. Gdyby miał powstać należałoby zrobić coś takiego:

-Wypisać wszystkie wydarzenia (zakładając upraszczająco ich punktowość w czasie) jakie miały miejsce do których odwołują się poszczególne opowieści.

-Wprowadzić relację późniejsze/wcześniejsze pomiędzy wydarzeniami w oparciu o:
a) następstwo chronologiczne wydarzeń wewnątrz opowieści.
b) fakt, że opowiadane są wydarzenia przeszłe w więc miały miejsce przed zdarzeniem polegającym na rozpoczęciu opowiadania
c) następstwo czasu względem wydarzeń historycznych wspomnianych w opowieściach
d) informacje o wieku bohaterów w opowieści w poszczególnych opowieściach
e) inne, które nie przyszły mi teraz do głowy

Teraz załóżmy że zaznaczymy sobie zdarzenia kropkami a fakt następowania zdarzeń po sobie oznaczymy strzałką skierowaną od zdarzenia wcześniejszego do późniejszego.
To co powinniśmy dostać - o ile Potocki sprytnie nie oszukał nas gdzieś (chcący), bądź nie popełnił złośliwego i niezauważanego przez jego samego i czytelników błędu (niechcący w tym wypadku) - to tzw. DAG (czyli Directed Acyclic Graph - skierowany graf bez cykli).
Właściwie, wysycając do końca informacje z punków a-e, powinniśmy uzyskać coś więcej, mianowicie graf reprezentujący silny porządek częściowy. To wysycenie sprowadza się do prostej uwagi, że następstwo w czasie jest relacją przechodnią (bardziej uczenie i z obca: tranzytywną), czyli jeżeli zdarzenie B następuje po zdarzeniu A a zdarzenie C po zdarzeniu B to zdarzenie C następuje po zdarzeniu A.
Sekunda na definicje:

DAG jest to para składająca się ze zbioru wierzchołków V i relacji R ⊆ VxV t.że dla każdego ∀a1...∀an t. że (ai,ai+1) ∈ R dla i = 1,...,n mamy a1 ≠ an

Porządek częściowy w zbiorze A jest to relacja R ⊆ AxA, która jest

1. zwrotna tzn. ∀ a (a,a) ∈ R
2. antysymetryczna tzn. (a,b) ∈ R i (b,a) ∈ R ⇒ a = b
3. przechodnia tzn. ∀ a b c (a,b) ∈ R i (b, c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R

Nasz porządek wydarzeń w "Rękopisie" nazwałem "silnym porządkiem częściowym" co sprowadza się do tego, że modyfikujemy powyższą definicję i punkty 1 i 2 zastępujemy punktem:
1' antysymetryczna tzn ∀ a (a,a) ∉ R'

Mimo, że żaden porządek częściowy nie śmie być silnym porządkiem częściowym i vice versa (co przy okazji ilustruje nieco paradoksalne zjawisko semantyczne, że znaczenie rzeczownika z przymiotnikiem może nie mieścić się w zakresie znaczenia samego rzeczownika), to chwila zastanowienia pozwala stwierdzić, że są te relacje dobrymi krewnymi. Mianowicie (proste ćwiczenie) uzupełniając silny porządek R' o relację identyczności I = {(a,a), a \in A} dostajemy porządek częściowy, tzn R = R' ∪ I jest porządkiem częściowym. Podobnież, odejmując I od porządku R dostaniemy silny porządek częściowy (R'=R\I jest silnym porządkiem częściowym).

Dla pełnej konsystencji, wysycenie o którym wspomniałem w języku porządków sprowadza się do, nazwijmy to szumnie, twierdzenia:
Niech dany będzie DAG (A,R). Zdefiniujmy R'' = R ∪ RR ∪ RRR ∪ ... gdzie napisanie relacji jedna po drugiej oznacza operację ich złożenia. Wówczas (A, R'') jest silnym porządkiem częściowym. W fachowej nomenklaturze R'' nazywa się domknięciem tranzytywnym R. Częściej niż ja to zrobiłem tutaj, i dając lepsze konotacje nazwie "domknięcie tranzytywne" definiuje się ją tak: ∏ {S | s relacja tranzytywna na A} a potem dowodzi, że R'' jest postaci takiej jaką podałem za definicję. Ale operować w myślach, dla zbiorów skończonych przynajmniej, łatwiej znacznie konstruktywnym opisem.

Wracając do naszego modelu. Dla ułatwienia, ponieważ porządki częściowe to to z czym w matematyce pracujemy częściej, w dalszym ciągu wywodu nasz silny porządek częściowy, opisanym wyżej sposobem, zmienimy na porządek częściowy. W naszym kontekście literackim oznacza to, że przyjmujemy założenie z którym łatwo się pogodzić, że każde zdarzenie jest jednoczesne z samym sobą.

OK, zadajmy więc arcyliterackie Pytanie: ile maksymalnie zdarzeń opisanych w powieści mogło rozgrywać się jednocześnie ?
I natychmiast strawestujmy je w języku relacji porządkujących w następujący sposób: mając porządek częściowy w zbiorze skończonym, znaleźć maksymalną możliwą liczbę elementów wśród których żadne dwa nie będą porównywalne. Nazwiemy to szerokością zbioru uporządkowanego.

Można zrobić to na wiele sposobów, z których najprostszy i najbardziej pracochłonny to dla każdego podzbioru zbioru A sprawdzić czy jego elementy są parami nieporównywalne, jeżeli tak zapisać liczność tego zbioru i z zapisanych liczb po przejrzeniu całości wybrać liczbę największą.

Proponuję sposób następujący. Najpierw znowu pooznaczam:

A - zbiór skończony, R - relacja częściowego porządku w A, dla a ∈ A R+(a) = {x| aRx} \ {a} , R-(a) = {x | xRa}\{a}

Zdefiniuję teraz:
łańcuchem w (A,R) nazywamy podzbiór A który jest liniowo uporządkowany względem relacji R zawężonej do niego

antyłańcuchem w (A,R) nazywamy podzbiór w A w którym żadne dwa różne lementy nie są porównywalne. Szerokość zbioru oznaczę przez SZ.

Twierdzę teraz, że:

∀ a SZ(A) = max(SZ(A \ (R+(a) ∪ {a})), SZ(A \ (R+(a) ∪ {a})), 1+SZ(A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a})))

Jest tak gdyż:
Dla dowolnego elementu a, jeżeli
Przypadek 1) a należy do pewnego antyłańcucha o maksymalnej liczności. Wtedy antyłańcuch ten zawiera się w A\(R+(a) ∪ R-(a)) - bo ma a jako swój element i nie zawiera żadnego elementu porównywalnego z a. Wystarczy więc znaleźć jakiś antyłańcuch maksymalnej liczności w A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a}) i dołączyć do niego a (bo do każdego "dobrego" podzbioru elementów tego zbioru możemy dołączyć a dostajac ciągle dobry zbiór). Jego moc wynosi więc 1+SZ(A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a})).
Jeżeli zaś
Przypadek 2) a nie należy do antyłańcucha o maksymalnej liczności. Wtedy to pewien taki antyłańcuch zawiera się w A \ (R+(a) ∪ {a}) lub A \ (R-(a) ∪ {a}) (bo nie zawiera a, i nie może jednocześnie zawierać elementu z R+(a) i R-(a))
Ostatecznie szukając maksymalnej liczności antyłańcucha można sprowadzić do poszukiwania w podzbiorach jak w tezie (+1 dla wyniku w zbiorze A\(R+(a) ∪ R-(a) ∪ {a})) ) i wyboru maksymalnej z tych liczb.

Twierdzenie to sprowadza nam poszukiwanie SZ(A) do wyboru dowolnego elementu a i powtórzenia procedury dla trzech istotnie mniejszych zbiorów a następnie scalenia wyników przy pomocy prostej arytmetyki sprowadzającej się do inkrementacji jednego z wyników i funkcji maximum. To gotowy algorytm rekurencyjny.
Arbitralność wyboru elementu a otwiera pewne perspektywy w ew. optymalizacji algorytmu, ale mniejsza o to.

Ćwiczone na zajęciach z algorytmiki, wykładach z matematyki dyskretnej lub kombinatoryki, względnie ogólnie zainteresowane oko zauważy pokrewieństwo serwowanego problemu z twierdzeniem znanym pod nazwą twierdzenie Dilwortha. Mówi ono mianowicie, że w zbiorze częściowo uporządkowanym liczność maksymalnego (w sensie inkluzji) antyłańcucha w jest równa minimalnej ilości rozłącznych łańcuchów, których suma daje cały zbiór. To jednak jak to mówią, zupełnie inna historia.

Ciekawe, czy na zajęciach dajmy na to z teorii literatury na polonistyce nietaktem byłoby zadać nasze Pytanie ?

Przy okazji, do rozważań nad owym problemem i algorytmem sprowokowało mnie nie literatura wcale, ale pewne zagadnienie dotyczące alokacji zasobów w sieci telekomunikacyjnej. Ale to naprawdę inna historia.

...o kole o ko...

2010-02-17T08:14:00.001+01:00

Według wstępniaka w zamykającym całą zabawę numerze Journal of Memetics z 2005 roku, memetyka jako płodna metoda badawcza, czy wręcz nauka per se poniosła klęskę. Natomiast jako inspirująca metafora, co autor owego artykułu również przyznaje, broni się, w tym sensie, że z informacją, pomysłami, generalnie: myślowymi wytworami kultury, które dają się komunikować dzieje się coś co przypomina ewolucję. Można zatem również myśleć o elementarnych cegiełkach dziedziczenia replikujących się i przekształcających podobnie jak kod genetyczny. Nie należy lekceważyć metafory. Wpływowe systemy filozoficzne bywały wzniesione na jednej metaforze (lub zredukowały się do niej). Ustroje państw miały przypominać ciało ludzkie, rzeczywistość płynęła jak woda lub płonęła jak ogień, społeczeństwa miały być maszynami, zegarami, porządek wśród ludzi miał odzwierciedlać ten jaki panuje między gatunkami, w wieku pary rządziła termodynamika, w adwencie wieku komputerów wszystko zdawało się przypominać komputer, dziś jako paradygmat (który w jakimś stopniu daje się sprowadzić do wielkiej metafory) króluje sieć. Metafora DNA dla świata myśli i idei ludzkich nie jest więc niczym specjalnie dziwnym czy niezwykłym.
Podążając, nie do końca przecież świadomie jej ścieżkami bawić się można wyjaśnianiem, uprawianiem filogenetycznej taksonomii myśli - nie jak prawdziwy naukowiec czy filozof przecież, ale tak zabawowo, pozostając do owych prawdziwych w stosunku takim samym jak miłośnik astronomii do astronoma. Mnie osobiście ostatnio pociągają peryferie pomiędzy filozoficzną spekulacją (którą często cenię za jej pomysłowość, czasem za moc i wielkość wizji, bywa że za dziwność, rzadko jednak uznaję jej roszczenie do prawdy innej niż ta na którą samo jej istnienie jest dowodem) a matematyką (w której podobnież cenię pomysłowość, wielkość wizji, czasem dziwność, ale której jestem skłonny przyznać znacznie więcej w kwestii prawdy).
Idąc tym tropem, kolejna karkołomna zabawa w skojarzenia.
O ile zdaje się TEN (w rozumieniu taki) Pitagoras któremu tak wiele przypisywali starożytni nie istniał, prazałożyciel szkoły Pitagoras dał głównie imię idolowi wielu stuleci, firmując nim postać o cechach herosa. Istnieli natomiast niewątpliwie pitagorejczycy. I oczywiście - z oddalenia przecież obraz rozmywa się i zlewa - ta nazwa obejmuje wiele różnych i często różniących się ruchów. Ci, którzy mnie chwilowo interesują, to pitagorejczycy można rzewc oryginalni, z okresu archaicznego, przedsokratejskiego. Widzimy ich dzisiaj, choć raczej jako tło dla innych przedsokratyków, znanych z nazwiska i przeniesionych w strzępach informacji (eleatów, filozofów jońskich). Pitagorejczycy wierzyli w harmonię i liczbę budując jak się zdaje coś w formie religii czy mistyki geometryczno-matematycznej. Wiązało się to z kilkoma odkryciami np. z powiązaniem proporcji w długościach struny a harmonijnym brzmieniem dźwięków z niej wydobywanych, z geometrią liczb wiążącą własności abstrakcji jaką jest liczba z konkretem jakim jest geometryczna konfiguracja, rozmieszczenie, przedmiotów ze zbioru o określonej liczności. Podobno głęboko skrywaną przez nich przez długi czas tajemnicą - być może wywracającą ich świat na nice, porównywalną jezeli chodzi o moc intelektualnego wstrząsu jaki powodowało jej poznanie z twierdzeniami Godla we nowożytnej nauce - był dowód istnienia liczb niewymiernych (a konkretnie, w ich nomenklaturze, dowód niewspółmierności przekątnej i boku kwadratu).
Poza mistyką liczby, wielki wpływ na pitagorejczyków miały jak się zdaje misteria o charakterze religijnym. Mianowicie kult orficki, orfizm. Archaiczna religia dokoptowana do achajskiej przez mit Orfeusza zstępującego do Hadesu i opuszczającego go. (ćwiczenie: z jakim memem mamy tu do czynienia ?). Jedną z głównych idei orfizmu - powielaną w różnych mutacjach w różnych religiach i filozofiach była idea reinkarnacji, metempsychozy. W orfiźmie dusza miała przejść pewną ustaloną i zdaje się nie wynikającą z jej dotychczasowego życia ilość inkarnacji. W innych systemach bywa inaczej: reinkarnacja w hinduiźmie np. nie ogranicza się przechodzenia przez postacie ludzkie, ale dusza odradza się w istotach żywych, zajmując miejsce w ich hierarchii (od nailichszego robactwa do człowieka) a jeśli już wcieleniem jest człowiek: w hierarchii społecznej (systemie kastowym) w zależności od dotychczasowego życia. Karma czyli przeznaczenie jest więc wynikiem postępowania i wyboru. Poza reinkarnacją liniową - tak rozumiałbym orficko-pitagorejską, i reinkarnacją nieliniową jak hinduistyczna umieściłbym coś co do końca nie jest może reinkarnacją ale bardzo ją przypomina - by abuse of the language nazwijmy ją reinkarnacją kołową. Do takiej zaliczałbym fantastyczną wyznawaną np. przez stoików ideę absolutnej kolistości czasu i historii a więc cyklicznej, idealnej, powtarzalności losu nie tylko człowieka ale wszechświata jako całości. Wszechświat stoików w niesamowity sposób przypomina jedną z idei współczesnej kosmologii - podyktowaną analizą możliwych rozwiązań równań Einsteina - wszechświata pulsujacego pomiędzy jedną a drugą osobliwością, na przemian eksplodującego z punktu (o którym równania owe i sama teoria niewiele lub nic nie może powiedzieć) i ostatecznie ginącego w takim samym punkcie z którego wszystko być może (równania tracą sens w osobliwości i nie można wnioskować na pewno co będzie "potem") zaczyna się na nowo.
Ideę powtarzalności zdarzeń w ciekawy literacko sposób wykorzystał (i dostarczył mi w ten sposób w odległych licealnych czasach kilku czytelniczych przyjemności) znany kolekcjoner perwersji umysłowych Jorge Luis Borghes. Prócz powtarzania tego motywu w wielu opowiadanich popełnił jeszcze z Adolfo Bioy Cesaresem powieść "Wynalazek Morela" w której uczynili z niego oś rozgrywającej się akcji. Polecam.
Cykliczność to jeden z podstawowych motywów matematycznych, toposów (w sensie teorioliterackim nie teoriokategoryjnym - o tych drugich mam chętkę napisać osobno) możnaby powiedzieć, gdyby do matematyki podejść jak do literatury. Od wczesnych i nieuświadomionych co do swojej ogólności form analizy harmonicznej (np. takiej jak w astronomii ptolemeuszowskiej rozkładającej ruchy ciał niebieskich na złożenie stosownych cykli), przez jej formy dojrzałe, przez badanie cykliczności w równaniach różniczkowych po formy wyrafinowane kiedy ścisła kolistość i cykliczność zostaje porzucona na rzecz niedokładnej, przybliżonej - jak w twierdzeniach o powrocie Poincare'go, teorii ergodycznej i w końcu teorii chaosu temat cykliczności powraca cyklicznie. Oczywiscie w wypadku matematyki nie jest to kwestia żadnej mody ale wynika wprost z natury badanych obiektów matematycznych. Ale czy nie jest i tak z toposami literackimi ? Czy owe motywy wracające od jednej opowieści do drugiej nie wyrastają po prostu z naszej natury, z podobieństwa i powtarzalności sytuacji w jakich znajduje się człowiek, ze wspólnego doświadczenia stada ludzkiego, starszego o tysiąclecia od czegokolwiek co dziś za literaturę moglibyśmy uważać?
Koniec. I tak za dużo i zbyt chaotycznie jak na tak długa przerwę.

Remanenty (2009)

2010-01-03T11:43:00.003+01:00

Jak co roku. Tym razem króciutko.
Postów: 24
Wizyt: 7550
Odsłon stron: 9818
Średni czas spędzony na stronie: 00:00:56

Lista lektur za rok 2009:

Swetoniusz "Żywoty Cezarów. T I"
Daniel C. Dennett "Słodkie sny"
Jan Potocki "Rękopis znaleziony w Saragossie"
Marek Kordos "Wykłady z historii matematyki"
Blaise Pascal "Prowincjałki"
Raviel Netz, William Noel "Kodeks Archimedesa. Tajemnice najsłynniejszego palimpsestu świata"
Jaroslav Hašek "Przygody dobrego wojaka Szwejka podczas wojny światowej"
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 4: Systemy epoki Cesarstwa"
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 3: Systemy epoki hellenistycznej."
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 2: Platon i Arystoteles."
Flawiusz Arrian "Wyprawa Aleksandra Wielkiego"
Robert Nye "Falstaff"
Giovanni Reale "Historia filozofii starożytnej t. 1: Od początków do Sokratesa."
Bartek Chaciński "Wypasiony słownik najmłodszej polszczyzny"
Paweł Jasienica "Rzeczpospolita Obojga Narodów. Dzieje agonii."
Paul J. Cohen "Set Theory and The Continuum Hypothesis"
Karol Darwin "Podróż na okręcie 'Beagle'"
Paweł Jasienica "Rzeczpospolita Obojga Narodów. Calamitatis regnum."
Paweł Jasienica "Rzeczpospolita Obojga Narodów. Srebrny Wiek"
Ernest Nagel, James R. Newman "Gödel's proof"
Paweł Jasienica "Polska Jagiellonów"
Tadeusz Wittlin "Ostatnia cyganeria"
Paweł Jasienica "Polska Piastów"
Marek Aureliusz "Rozmyślania"

Noworoczne pozdrowienia dla wszystkich!

(Meta)fizyka kombinatoryczna

2009-12-13T22:45:00.004+01:00

Potraktujmy poniższe jako niezobowiązującą zabawę w skojarzenia.

Nie wiem czy i do jakiego stopnia Epikura należałoby nazwać filozofem. Stworzył on coś w rodzaju świeckiej religii, której celem było wyzwolenie człowieka od starchu, egzystencjalnego przerażenia. Drogą ku owej wolności , oprócz stosownych reguł życia był - chciałoby się powiedzieć: wyznawany - materializm, który miał usunąć "lęk metafizyczny" i strach przed śmiercią. Jest chyba podobieństwo pomiędzy epikureizmem a psychoterapią (niekoniecznie freudowską, np. jakąś Gestalt czy coś w tym guście - nie znam się zbytnio na psychoterapii), którą w czasach współczesnych ludzie stosują w dokładnie tym samym celu. Ale ja nie o tym właściwie chciałem.

Epikur nie pozostawił pisanej spuścizny opierając się na nauczaniu ustnym i kształceniu uczniów - praktyków jego filozofii i podejścia do życia - krzewiących jego idee dalej. Ten model okazał się zaskakująco skuteczny skoro "wyznanie" epikurejczyków, przetrwało jakieś 500 lat w świecie starożytnym. Elementy filozofii epikurejskiej pokazujące metafizyczne koncepcje stojące za nią dotarły w dużej mierze dzięki twórczości "szeregowych" epikurejczyków utrwalających naukę w swojej twórczości. Najbardziej znany z nich to Lukrecjusz, którego poemat "O naturze wszechrzeczy" to chyba najważniejsze a na pewno najbardziej znane pismo epikurejskie dotrwałe do naszych czasów. Mimo braku programowych ksiąg kodyfikujących doktrynę metafizyczną epikureizmu, trochę o niej wiemy. Przede wszystkim koncepcje bytu i natury świata nie były tu spekulacją prowadzącą do wniosków o charakterze praktycznym, ale wręcz przeciwnie - mądrość życiowa, odrzucenie strachu, droga do szczęścia i wolności człowieka, słowem filozofia życia Epikura wyprzedzał metafizykę, która miała dać dla niej jedynie teoretyczne podstawy, zakorzenić ją w wizji samej natury świata. Jak wspomniałem epikureizm opierał się na materializmie - materia, to co dotykalne, jest jedynym bytem a rządzą materią ustalone racjonalne prawa. Fizyka tego świata to atomizm. Atomy to niepodzielne i podstawowe elementy materii, różnych co prawda ale w ustalonym wyborze rozmiarów i kształtów. Oczywiście epikurejczycy nie mieli pojęcia o grawitacji w rozumieniu dzisiejszym, mieli natomiast naiwne pojęcie o ciążeniu, jako o sile działającej wzdłuż kierunku (a właściwie konstytuującej kierunek) góra-dół. Naturalnym ruchem atomów był więc spadek, poruszanie się w dół. Jednak aby nie stały się jedynie lawiną równolegle spadających cząstek należało wprowadzić coś co tchnie w nią "życie". Zatem do naturalnego ruchu w dół atomom epikurejskim arbitralnie dodano losowy ruch na boki nazwany climena - odchylenie. To remedium na nudny, nieskończenie trywialny determinizm. To climena powoduje, że pojawiają się interakcje atomów, ich zderzenia, łączenie się. Za jego sprawą pojawiają się, jako losowy produkt owych interakcji światy. Dokładnie tak: światy a nie jeden świat. Wśród losowych konfiguracji atomów epikurejczycy za pewne przyjmują pojawienie się kiedyś każdej możliwej ich kombinacji a zatem i każdego możliwego świata. Są to światy chwilowe, nietrwałe, wynikłe z tymczasowej konfiguracji atomów. Ich pojawienie się jest jednak w jakichś sposób konieczne.

Ten aspekt metafizyki, czy też fizyki epikurejskiej jakoś mnie uwiódł. Postaram się wytłumaczyć dlaczego. W oczywisty sposób widzę w nim pewne wczesne ale i daleko idące intuicje probabilistyczne. Np. taką, że nawet niesłychanie mało prawdopodobne zdarzenia w odpowiednio długiej serii losowań (a każda zmiana oparta o climena jest niejako nowym aktem losowania, czy raczej krokiem losowego błądzenia) w końcu z wielką dozą pewności w niej się pojawią.
Ale to pierwsza myśl. Drugie skojarzenie dotyczące intuicji epikurejskich - tym razem na pograniczu probabilistyki i logiki - to teoria tzw. praw zero-jedynkowych. To niesłychanie ciekawe twierdzenia, których protoplastą było prawo zero-jedynkowe udowodnione w latach 60 przez matematyków radzieckich (a przepraszam: sowieckich). Brzmi ono tak:
Niech phi będzie dowolnym zdaniem w języku pierwszego rzędu o skończonej sygnaturze relacyjnej (tzn. języku zawierającym jedynie symbole relacyjne i to w skończonej ilości) wtedy, lim_n->∞ μ_n(φ) = 0 albo 1, gdzie przez μ_n(φ) rozumie się ilość nieizomorficznych modeli rozmiaru n zdania φ.

Co mówi prawo zero-jedynkowe w bardziej ludzkim języku? Ano mówi, że względnie proste zdania o prostym, losowym świecie (w odległy sposób przypominającym co do zasady epikurejską rzeczywisość atomów), są albo trywialnie prawdziwe albo trywialnie fałszywe. Tzn, jeżeli dopuścić naprawdę wielki losowy świat, albo lepiej, coraz większe losowe światy, to prawdopodobieństwo prawdziwości bądź fałszywości owych zdań w tych światach staje się coraz większe. Innymi jeszcze słowy, w coraz większym procencie - rosnącym wraz z rozmiarami - owych światów opisywane przez te zdania struktury istnieją, bądź nie istnieją. Pożytecznym zastosowaniem praw zero-jedynkowych jest możliwość dowodzenia twierdzeń o niewyrażalności pewnych własności w językach pierwszego rzędu. Taką własnością - co wynika z zacytowanego prawa prawa zero-jedynkowego niemal natychmiast - jest parzystość liczby elementów w strukturze relacyjnej. Nie jest to intuicyjne - przynajmniej dla mnie. Prawa zero-jedynkowe są więc ciekawe.
Mnie zawsze kusi, choć to oczywiście zabawa i żart i nie należy traktować tego poważnie, żeby ekstrapolować treść praw zero-jedynkowych na tzw. real w następujący sposób: wszystko co powiemy jasnym i prostym językiem jest albo trywialnie prawdziwe albo trywialnie nieprawdziwe. (Dla potrzeb żartu odrzucam tu wszystkie, ale to absolutnie wszystkie możliwe zastrzeżenia i upraszczam sprawę maksymalnie. Zastrzegam się tak, żeby nie gorszyć ew. czytających te słowa - jednych pozostawiając z fałszywymi przekonaniami co do praw zero-jedynkowych, drugich co do mojej osoby). Gdyby zbudować model formalny epikurejskiej fizyki i udowodnić o nim coś na kształt prawa zero jedynkowego, oznaczałoby to, że pewne konfiguracje, czy światy są w nim niemal konieczne, muszą się pojawić i pojawiają się często, inne zaś, mimo że logicznie możliwe pojawiają się rzadko, przygodnie - w praktycznym rozumieniu tego słowa: nigdy.

Prawa zero-jedynkowe funkcjonują w świecie absolutnie sprawiedliwie losowym. Co jednak ze światami które oszukują, w któych istnienie bądź nieistnienie relacji nie zależy od rzutu uczciwą monetą ale oszukaną. Tu ciekawe rzeczy mówi nam np. teoria grafów (i ogólnie hipergrafów) losowych. Tam pojawiają się interesujące zjawiska w postaci wartości krytycznych prawdopodobieństw zachodzenia relacji przy których dane zdanie stanie się niemal pewnym itp. To w ogóle droga do ciekawej i modnej ostatnio dziedziny badań na styku rachunku prawdopodobieństwa, kombinatoryki, teorii liczb. Wiele się tam ekscytujących rzeczy ostatnio dzieje.

100

2009-11-26T15:41:00.007+01:00

Tak wygląda setny wpis. Okrągła liczba więc powinienem coś podsumować. Szybko i bez nadmiernego zadęcia.
Nie mam zbyt wielu czytelników. Ogromna większość zagląda tu z powodu tytułu jednego z postów by znaleźć ściągę do wypracowania z polskiego. Staram się, żeby każdy post, jeśli już znajdę siłę by go pisać (coraz trudniej mi to robić) był jakimś oryginalnym wkładem w to co można znaleźć w Internecie. Czasem podsyłam rzeczy, które znalazłem gdzie indziej a które uważam za warte zerknięcia - uważam, że rekomendowanie rzeczy niezbyt popularnych a ciekawych jest w jakimś sensie również twórcze.
Będę pisał dalej, choć kiedy zakładałem tego bloga w nieco inny sposób wyobrażałem sobie jego przyszłość.
Największym zawodem jestem zdecydowanie ja sam. Chciałem przede wszystkim notować myśli, które uważam za oryginalne. Niestety, o ile wciąż wiele myśli, które (na własne ryzyko) uważam za warte zanotowania kłębi mi się w głowie, to wysiłek opisania ich wystarczająco precyzyjnie to zawsze jest męka na którą z rzadka się decyduję. Jestem po prostu leniuchem. Szczególnie, że od kiedy w pracy rozpocząłem zabawę z nowym projektem (co stało się niemal rok temu) czuję jak wyciąga ze mnie istotną część soków życiowych.

Nowości: Czasem - bo to znacznie mniej absorbujące i dające się robić przy okazji innych zajęć, trochę nieuczesanych myśli wrzucam na serwis mikroblogowy "Twitter" (hit ostatnich miesięcy). W dolnej części prawego marginesu jest gadżet wyświetlający ostatnich kilka tych wpisów.

Błędy: Czytając niektóre z moich wpisów, głównie matematyczne, widzę błędy i rzeczy do poprawy, ale uczciwie przyznam, że nie mam wielkiej motywacji by czyścić to teraz.

Przyszłość: Chciałbym pociągnąć kilka zaczętych już tematów - bo sam się pisząc o nich uczę się, albo jakoś krystalizuję swoje własne pojęcie o nich.

Zatem - jedyne co mogę obiecać, że mimo znacznego spadku gęstości, następne wpisy będą.

Z życia Majów

2009-10-29T22:20:00.001+01:00

Słońce stanęło w zenicie wpadając niemal pionowym promieniem przez otwór w suficie do wypełnionego dymem odurzających ziół pomieszczenia i oświetlając ołtarz na którym złożono tak wiele ofiar. Słychać było rytmiczny głos klaskania i przeciągłe mruczenie kapłanów. Quiptzlaxa słaniał się na nogach: trans trwał od samego poranka. Wizje przychodziły i odchodziły a każda kolejna ich fala oznaczała kolejną coraz silniejszą konwulsję.Czyżby bogowie chcieli aby przerwał już dzieło któremu za ich sprawą poświęcił całe życie? Czy któraś z mruczących, umazanych na twarzy niebieską farbą postaci otaczających go kołem poniesie ciężar kiedy on umrze przyjmując na siebie kolejne widzenie?

Była to krótka myśl, bowiem zmęczony umysł kapłana znowu wyczuł zbliżanie się obrazów. Opar otaczający go w pomieszczeniu na szczycie Najświętszej Piramidy wydał mu się najpierw gęstszy, wszystkich i wszystko co go otaczało okryła mgła, potem zniknęły dźwięki i zapachy. Dopiero po chwili z mlecznej otoczki zaczęła wyłaniać się wizja.

Dostrzegł, najpierw słabo, potem coraz wyraźniej jeden ze znanych mu już krajobrazów. Quiptzlax słuchał głosu bogów i oglądał to co chcieli przekazać jego ludowi od bardzo wielu faz świętej planety. Obrazy przyszłości rzadko już teraz zaskakiwały go czymś nowym. Nie musiał ich rozumieć, bogowie oczekiwali od niego jedynie wiernej relacji, opowieści która zostanie zapisana w kodeksach i wykuta w kamieniach stanowiąc Wielki Kalendarz - dzieło dla którego przyszedł na świat. Ten obraz jednak był dla niego zrozumiały. Widział wielki plac, kapłanów i uniesionych religijnym szałem uczestników. Odbywała się święta gra. Obrzęd w przyszłości był inny, piłki dotykano nogą a nie ręką i nie kończył się ofiarą dla Xolotlu, ale był zarazem podobny do tego jaki odprawiał i jego lud. Zdziwiony spostrzegł, że nie pierwszy już raz objawiają mu się ci sami wojownicy z emblematem przypominającym świętego jaguara lub raczej pumę i białym ptakiem na czerwonym polu, w strojach o kolorze mleka i krwi.

Mimo stanu w jakim się znajdował na twarz Quiptzlaxa wypełzł uśmiech na wspomnienie poprzednich wizji gry wojowników białego ptaka i pumy. Z trudem powstrzymał umysł przed napływem wesołości, która mogłaby zakłócić trans. Gdy powróciła ostrość widzenia przed oczyma kapłana zaczęło dziać się coś dziwnego i sercem Quiptzlaxa wstrząsnęła trwoga. Jeden z owych biało-czerwonych uczestników gry popchnął nogą piłkę która niczym wypuszczona strzała wpadła w siatkę okalającą brzeg placu którego bronili wojownicy przeciwnej drużyny. W tym momencie czarno odziany arcykapłan wydał z siebie przeciągły gwizd i wielki tłum wpadł w ekstazę.

Quiptzlax osłupiał z niedowierzaniem. Czuł, że wie dlaczego bogowie zsyłają na niego tą scenę: to kres jego pracy. To kres kalendarza. Więcej nie będzie już nic: żadnej następnej fazy księżyca, kolejnego wschodu ani zachodu słońca ani następnej fazy świętej planety, którą potomność nazywać będzie aż do tej objawionej mu chwili "Wenus".

Przerażenie zaczęło ustępować zmęczeniu, ponownie pojawiła się mgła ustępując powoli miejsca dymom kadzideł, wróciło mruczenie i zapach ziół. Stary kapłan stał skamieniały, ostatnie wspomnienie wizji końca świata to dziwne znaki niby ogniem rozjarzające się nad placem świętej gry:

"POLSKA MISTRZEM EUROPY W PIŁCE NOŻNEJ 2012".

Geometria, sztuka, gołębie i gryzonie

2009-09-08T19:48:00.005+01:00

Obrazek z niedzielnego spaceru ulicą Grodzką w Krakowie. Plac Marii Magdaleny - instalacja Ottmara Hörla "Dama z gronostajem" - oczywiście w nawiązaniu do naszego krakowskiego Leonarda.

Witaj szkoło! (1?)

2009-09-02T16:43:00.024+01:00

Moi bardzo młodzi acz niezbyt wierni czytelnicy zaglądający tu często w poszukiwaniu gotowców wypracowania (jak wynika z danych z google analytics) zaczynają właśnie szkołę. Mnie, bo zawsze mi to uświadamia jaki się stary powoli robię i ponieważ wbrew ogólnym tendencjom szkołę wspominam raczej dobrze, od razu łezka się w oku kręci. Szczęśliwe lata... Nie ma co!

Z dedykacją dla nich, dziś wpis przynależący do cyklu rekreacji matematyczno-informatycznych. Skoro szkoła, zatem i matematyka, skoro matematyka to algebra, skoro algebra to wielomiany, wzory skróconego mnożenia i inne tego typu przyjemności. Spróbujmy więc zobaczyć jak sobie poradzi z takimi zabawkami maszyna. Napiszemy ni mniej ni więcej tylko miniaturowy i prościutki system do obliczeń symbolicznych w języku Haskell.

Małe zastrzeżenia: nie będę używał tu całego potencjału języka, jak np. klas żeby jeszcze bardziej nie komplikować pojęciowo programu. Tematy jakie poruszę: algebra elementarna, wielomiany, typy danych, rekurencja, mapowanie list, składanie list, list comprehension (proponuję termin: ujawnianie postaci listy - nie wiem jak to przetłumaczyć dosłownie), odrobinę programowania generycznego.

Zaczynamy:

Ukłon w kierunku standardowej biblioteki, z której skorzystamy wkrótce:


import Char

Na poczatek, skoro algebra i wielomiany, to i zmienne, które będą dowolnymi łańcuchami znaków. Oczywiście to niebezpieczne założenie, bo może prowadzić do mylących nazw zmiennych, jak np taka: ", " ale nasz system będzie prościutki więc zaryzykujemy spychając konieczność pilnowania się na użytkownika. Zatem:


type Var = String

Zmienne w wielomianie występują w potęgach, a zapis potęgi danej zmiennej składa się z nazwy tej zmiennej i liczby całkowitej - potęgi w której występuje. W naszym systemie zareprezentujemy to jako parę (zmienna, liczba całkowita):


type Power = (Var, Integer)

Teraz jednomian (ale bez współczynnika jeszcze) czyli lista potęg zmiennych


type Monomial = [Power]

Jednomian ze współczynnikiem całkowitym (nazwany przeze mnie dla wygory PTerm-em) reprezentujemy przez parę:


type PTerm = (Integer, Monomial)

I w końcu wielomian, który jest listą PTermów:

type Polynomial = [PTerm]

Poćwiczmy rozumienie tych reprezentacji.

Przykład 1:

Wielomian x reprezentujemy jako jednoelementowa listę PTerm-ów, której jedynym elementem jest jednomian x^1 ze współczynnikiem 1. Zatem reprezentacja będzie wyglądać: [(1,[("x",1)])]

Przykład 2:

Wielomian x*y reprezentujemy jako jednoelementowa listę PTerm-ów, której
jedynyjm elementem jest jednomian x^1*y^1 ze współczynnikiem 1. Zatem
reprezentacja będzie wyglądać: [(1,[("x",1),("y",1)])]

Przykład 3:

Wielomian x^3*y+4*y^2*z+1 reprezentujemy jako trójelementową listę:

[ (reprezentacja PTermu x^3*y), (reprezentacja PTermu 4*y^2*z), (reprezentacja PTermu 1)] =

[(1, reprezentacja jednomianu x^3*y), (4,reprezentacja jednomianu y^2*z),
(1, reprezentacja jednomianu pustego)] =

[(1,[reprezentacja potęgi x^3, reprezentacja potęgi y^1]), (4, [reprezentacja ptęgi y^2, reprezentacja ptęgi z^1]), (1,[])] =

[(1,[("x",3),("y",1)]), (4,[("y",2),("z",1)]), (1,[])]

OK. Uznaję, że zrozumieliśmy jak reprezentujemy wielomian i przy okazji przy tych rachunkach na palcach trochę polizaliśmy metody "schodzenia w głąb struktury" którą będziemy konsekwetnie stosować.

Na moment porzućmy wielomian i przejdźmy do użytecznej funkcji, której użyję wkrótce. Do sortowania. Oto prosty kod generycznej implementacji algorytmu quicksort, którego użyjemy:

Deklaracja:


sort :: (x -> x -> Bool) -> [x] -> [x]

i implementacja:


sort _ [] = []
sort f (a:rs) = (sort f [x|x<-rs, f x a]) ++ [a] ++ (sort f [x|x<-rs, f a x])

Deklaracja mówi nam, że jako argumenty funkcja sort przyjmie:

- funkcję przyjmującą dwa argumenty pewnego nieokreślonego typu i zwracającą dla nich jedną z wartości typu Bool (True lub False)

- listę elementów owego typu

Jako wynik działania otrzymamy znowu listę elementów tego typu.

Po cichu zakładamy, że argumenty są dobre, tzn. owa funkcja będąca pierwszym argumentem dla sort jest operacją mniejszości (z wszystkimi konsekwencjami takimi jak antysymetria i przechodniość wyznaczonej przez nią relacji).
Implementacja sort intensywnie korzysta z rekurencyjnej natury quicksorta. Zasadą algorytmu quicksort, która pozwala zrozumieć go bez trudu, a którą ujawnia wprost niniejszy kod jest taka: Weźmy pierwszy element z listy, którą chcemy posortować, potem wrzućmy do pewnej listy wszystkie elementy mniejsze od niego i posortujmy (znowu quicksortem), do drugiej listy wrzućmy wszystkie elementy większe od niego i też posortujmy. Wyliczmy następnie listę wynikową przez sklejenie rezultatów sortowania listy pierwszej, elementu wziętego na początku i rezultatów sortowania listy drugiej. W ramach ćwiczenia można spróbować indukcyjnie udowodnić sobie poprawność tego algorytmu (tzn. że rzeczywiście sortuje).

Zapis (a:rs) jest wzorcem do którego intepreter dopasuje listę z argumentu. Po dopasowaniu w zmiennej a znajdzie sie element stanowiący jej głowę, w zmiennej rs lista (być może pusta) bedąca jej ogonem.

Operacja ++ jest operacją konkatenacji czyli złączenia list, natomiast konstrukcja [ x|x<-rs, f a x ] jest operacją "list comprehension", co ja nazywam operacją "ujawnienia postaci listy" ¹.

Oznacza ona, w tym wariancie, stworzenie listy tych elementów x listy rs, które spełniają f a x, gdzie f jest stosowną funkcją a a jest ustalone w danym kroku rekurencji.

Wykonajmy:

Test 1:

Wgrywamy plik w dotychczasowej postaci

Hugs> :load "C:\\Users\\Artur\\Documents\\tar.hs"

i wywołujemy:


Main> sort (<) [1,2,4,3,2,6,9,0] [0,1,2,3,4,6,9]

Nasza funkcja sort rzeczywiście czasami działa. Oczywiście warto pobawić się i przekonać że działa rzeczywiście często :) i w różnych przypadkach.

Kolejną funkcją usługową, z której w różnych kontekstach skorzystamy, będzie funkcja simplify (uprość). Próbuję w niej zawrzeć pewien szczególny sposób upraszczania wyrażeń.
Deklaracja funkcji:


simplify :: (x -> x -> Bool) -> (x -> x -> x) -> [x] -> [x]

i implementacja:


simplify _ _ [] = []
simplify eq gr (h:t) = simplify_step h $ simplify eq gr t where
                       simplify_step f lst =
                           (foldl gr f [x | x <- lst, eq f x]) : 
                                      [x | x <- lst, not $ eq f x ]

Funkcja simplify bierze jako argument dwie funkcje dwuargumentowe działające na nieznanym apriori typie danych oraz listę elementów tego typu, zwraca zaś listę elementów tego typu.

Pierwsza z funkcji wziętych w argumencie przyjmuje dwa argumenty i zwraca wartość typu Bool (tzn. True lub False). Będzie pełniła rolę operatora porównania. Druga, dla dwu argumentów danego typu produkuje element tego typu i będzie pełniła rolę funkcji kumulacji.

simplify, działa tak, że przebiega listę wyszukuje wszystkie elementy listy równe ze względu na funkcję eq (pierwszy argument) i zastępuje je wszystkie elementem będacym ich kumulacją. Jak to działa w konkretnych przypadkach i dlaczego ma, jak wspomniałem, uchwycić pewną formę upraszczania zobaczymy za chwilę.

Z punktu widzenia języka, implementacja funkcji wprowadza sporo nowych konstrukcji poza znanym już dopasowaniem wzorca. Mamy więc operator $ oznaczajacy, że Haskell wyliczy wartość tego co po prawej stronie i użyje wyliczonej wartości w miejscu $.

Druga konstrukcja to wywołanie rekurencyjne nie zadeklarowanej ani nie zdefiniowanej wcześniej funkcji simplify_step. Funkcja ta jest zdefiniowana lokalnie po słowie where które oznacza własnie, że zdefiniowane zostaną lokalne funkcje. Typ funkcji simlify_step Haskell wydedukuje samodzielnie natomiast jej działanie jest następujące: funkcja bierze jako argument element typu takiego jaki użyty jest w argumentach wołającej ją funkcji simplify i listę elementów tego typu. Następnie wybiera te elementy listy lst którym argument f jest równy względem funkcji eq. Potem składa a właściwie kumuluje używając funkcji foldl wartości tej listy używając funkcji gr i wartości początkowej f. Ostatecznie dostaje pewien element typu takiego jak f. Następnie element ten użyty będzie jako głowa listy której ogonem bedzie lista tych elementów listy lst które nie będą równe f według relacji zadanej przez eq. Złożenie tej listy z głowy i ogona dokonuje się za pośrednictwem konstruktora listy : .

Nieco tajemnicza operacja foldl (której dokładną implementację warto podglądnąć w standardowym module Haskella Prelude) działa w taki sposób, że przyjmuje jako argumenty dwuargomentową funkcję typu (x ->x->x), czyli funkcję biorącą dwa argumenty pewnego typu x i zwracającą element typu x, wartość początkową typu x zgodnego z typem użytym w funkcji i listę elementów typu x . Następnie, jeżeli lista jest niepusta, oblicza wartość funkcji podanej jako argument na dwóch argumentach: zadanej wartości początkowej i głowie listy. Rezultat traktuje jako wartość początkową w rekurencyjnym wywołaniu samej siebie z tą samą funkcją jako argumentemi ogonem listy jako listą. Efektywnie, powoduje to zwijanie listy od lewej strony i kumulowanie wyniku.

Popatrzmy na przykład:

Przykład 4:
Jako funkcji w argumencie foldl użyjemy operatora + działąjącego na argumentach typu Int, jako wartości początkowej 1 a jako listy dwuelementowej listy zawierającej 2 i 3. Kto chce się sprawdzić niech spróbuje bazując na tym co napisane powyżej przewidzieć wynik. A oto rezultat Haskella


Hugs> foldl (+) 1 [2, 3]

Wracamy do wielomianów. Wysiłek jaki włożyliśmy w ogólność funkcji simplify zwróci się teraz przy upraszczaniu jednomianów. Ponieważ jednomian jest listą potęg i na liście tej potęgi tej samej zmiennej moga znaleźć się więcej niż raz, wprowadźmy funkcję upraszczającą eliminującą ową patologię. Oto jej deklaracja i definicja będąca specjalizacją zdefiniowanej powyżej funkcji simplify w której jako funkcja porównująca użyte będzie porównanie pierwszych elementów pary (a więc zmiennych), a jako funkcja kumulująca dodawanie wykładników (co odpowiada mnożeniu potęg):


simplify_mon :: Monomial -> Monomial

simplify_mon = simplify (\x y->fst x == fst y)
                    (\x y -> (fst x, snd x + snd y))

Mamy tu dwie nowe i ciekawe konstrukcje. Po pierwsze funkcje porównującą i kumulującą zdefiniowaliśmy jako funkcje anonimowe używając tzw lambda-abstrakcji. Przy takiej definicji po lewej stronie operatora -> deklarujemy argumenty funkcji poprzedzając je backslashem (będącym w tym kontekście daleko idącą stylizacją greckiej litery lambda), po prawej umieszczamy zaś stronie definicję działanie funkcji na argumentach.

Drugi interesujący element: nie wyspecyfikowaliśmy argumentu dla simplify_mon. Nie jest to jednak konieczne. Funkcja simplify jest trójargumentowa a w definicji simplify_mon ustalone zostały pierwsze dwa argumenty trzeci z nich pozostaje zmienny. Zatem ustalenie argumentów uczyniło z funkcji simplify funkcję jednoargumentową simplify_mon, przyjmującą jako argument argument ospowiadający trzeciemu argument funkcji simplify.

Kolejnym nowym elementem są dwie standardowe funkcje z modułu Prelude, mianowice fst i snd. Służą one do wybrania pierwszego (fst) i drugiego (snd) elementu pary.

Sprawdźmy teraz działanie simplify_mon. Musimy nasz jednomian zadać wprost

Test 4:


Hugs> :load "C:\\Users\\Artur\\Documents\\tar.hs"

Main> simplify_mon [("x",1), ("x",1)]
[("x",2)]

Uff. Coś działa.

Teraz jednomian sprowadzimy do postaci kanonicznej, co będzie oznaczało, że oprócz uproszczenia posortujemy jeszcze listę go reprezentującą względem porządku alfabetycznego zmiennych. Oto funkcja:


canonize_mon :: Monomial -> Monomial

canonize_mon mon = sort (<) $ simplify_mon mon

Inteligentny Haskell, dzięki modułowi Prelude wie jak porzenieść porządki zdefiniowane dla elementów pary leksykograficznie na porządek par. Funkcję sort już znamy. Zobaczmy canonize_mon w działaniu:

Test 5:


Main> canonize_mon [("x",1), ("x",1), ("a",5)]
[("a",5),("x",2)]

Zgodnie z oczekiwaniami.

Teraz sprowadźmy do postaci kanonicznej cały wielomian. Załatwimy sprawę jedną funkcją używając definicji lokalnych:


canonize_poly :: Polynomial -> Polynomial

canonize_poly p = sort (>) $
                simplify (\x y -> snd x == snd y)
                         (\x y -> (fst x + fst y, snd x)) $
                            map (\x -> (fst x, canonize_mon $ snd x) ) p

Nowym elementem tu jest interesująca funkcja map zdefiniowana w standardowym module Haskella Prelude, która przenosi działanie fukcji którą dostaje w argumencie na działanie na listach. Innymi słowy podając fukcję pewnego typu (x->y) jako argument do fukcji map otrzymujemy fukcję typu [x]->[y], która działa na liście w ten sposób, że tworzy nową listę każdy element której jest obrazem elementu fukcji wejściowej przez fukcję podaną jako argument do map.

Przykład 5:


Prelude> map (4*) [1,2,3]
[4,8,12]
Prelude> map (\x -> [x]) ["a", "b", "c"]
[["a"],["b"]["c"]]

Sprawdźmy w działaniu funkcję canonize_poly (póki co wielomian zadawać będziemy explicite - jeszcze tylko króciótko się tak pomęczymy)

Test 6:


Main> canonize_poly [(3,[("x",1),("x",1)]), (2,[("x",2)]), (5,[("x",2),("a",4)])]

[(5,[("x",2)]),(5,[("a",4),("x",2)])]

Teraz zajmiemy się przedstawieniem naszych wielomianów w czytelnej dla nas formie, jako łancuchów znakowych. Zapisywać wielomiany będę oczywiście w sposób internetowy używając ASCII jedynie. Pedantycznie przepisywać bedę '*' w miejsce mnożenia i '^' przy potęgowaniu, jako ustępstwo na rzecz ładnego stylu dbając jedynie o unikanie gdzie nie potrzeba potęg pierwszych i mnożenia explicite przez 1. Przedstawię cały kod a potem omówię nowe elementy:

tostring_mon :: Monomial -> String

tostring_mon [] = ""
tostring_mon [(x,y)] | y == 1 = x
                 | otherwise = x++"^"++ (show y)
tostring_mon (a:rest) = (tostring_mon [a] ) ++ "*" ++ (tostring_mon rest)

tostring_pterm (c, []) = show c
tostring_pterm (1, m) = tostring_mon m
tostring_pterm (c, m) = (show c) ++ "*" ++ tostring_mon m

tostring_poly :: Polynomial -> String

tostring_poly [] = ""
tostring_poly [f] = tostring_pterm f
tostring_poly (f:tl) = foldl (++) (tostring_pterm f) $
                                  map (("+"++).tostring_pterm) tl

W funkcji tostring_mon użyłem wariantowej definicji funkcji, przypominającej mocno zapis matematyczny w postaci tak zwanej klamry, z drugiej zaś trony konstrukcję if...elsif.....else albo bardziej zaawansowany (bo nie oparty o typ numeryczny switch() .. case znany z C, C++ i Javy. Po znaku '|' mamy kolejne warunki spełnieni których przez argumenty oznacza, że wartością funkcji będzie to co po znaku równości.

Kolejna nowość tam to funkcja show stosująca się do pewnych typów przynależnych do klasy Show. Zamienia ona elementy tych typów (w naszym przypadku Integer jest takim typem) na łańcuchy znaków (typ String).
Przy okazji wyszło szydło z worka - String jest po prostu listą znaków (typ Char) i można wobec niego stosować te same operacje co wobec innych list.

Teraz pierwsza radość - zamienimy na napisy pierwsze wielomiany. Zacznijmy od wielomianów z testu 6:

Test 7:


Main> tostring_poly [(3,[("x",1),("x",1)]), (2,[("x",2)]), (5,[("x",2),("a",4)])]

"3*x*x+2*x^2+5*x^2*a^4"

Main> tostring_poly $ canonize_poly [(3,[("x",1),("x",1)]), 
(2,[("x",2)]), (5,[("x",2),("a",4)])]
"5*x^2+5*a^4*x^2"

Teraz mam nadzieję, że lepiej widać na czym polega kanonizacja.

Po mału doszliśmy do miejsca w którym możemy zdefiniować operacje na wielomianach. Zacznijmy od dodawania, które będziemy oznaczać fantazyjnym operatorem ~+, a które zdefiniujemy w zaskakująco prosty sposób.


infix 1 ~+

(~+) :: Polynomial -> Polynomial -> Polynomial
x ~+ y = canonize_poly $ x ++ y

Dodawanie jest więc jak widać konkatenacją list reprezentujących wielomiany. My, dla porządku jeszcze dodakowo od razu wynik konkatenacji skanonizujemy.

Ciekawy element to operator, który deklarujemy jako infix, czyli że argumenty dostawał będzie nie jak funkcja po swojej prawej stronie, ale jak porządny operator po obu swoich stronach. Dla potrzeb deklaracji jednak, musimy zaminieć go na chwilę na normalną funkcję (zdjąć z niego niejako "infiksowość") przez obłożenie go nawiasami.

Podobnie prosto zdefiniujemy mnożenie:


infix 2 ~*

(~*) :: Polynomial -> Polynomial -> Polynomial

p1 ~* p2 = canonize_poly [(c1*c2, m1++m2) | (c1, m1) <- p1 , (c2, m2) <- p2]

Tym razem korzystamy z faktu, że mnożenie wielomianów (będących sumą jednomianów) jest sumą wszystkich możliwych iloczynów par jednomianów, z których jeden pochodzi od pierwszego a drugi od drugiego wielomianu. Plus oczywiście kanonizacja dla porządku. Załatwiamy to jedną operacją ujawnienia postaci listy.

Czas na:

Test 8:

Spróbujemy pomnożyć x*(x+y+z*x^2):


Main> tostring_poly $ x ~* (x ~+ (y ~+ z ~* (x ~* x))) where (x,y,z) = 
([(1,[("x",1)])],[(1,[("y",1)])],[(1,[("z",1)])])
"x^3*z+x^2+x*y"

Cały wielomian zrealizowany został jako wynik operacji na trywialnych wielomianach x, y, i z które zdefiniowane są po słówku where, wszystkie na raz w jedej krotce.

Wynik znowu zgodnie z oczekiwaniami.

Mając już takie narzędzia, zajmijmy się na chwilę klasyką, tj. tadam... dwumian Newtona. Policzmy go dla potęgi 5 dajmy na to:

Test 9:


Main> tostring_poly $ ((((a ~* a) ~* a) ~* a) ~*a) where a = [(1,[("x", 1)]),(1,[("y", 1)])]
"10*x^3*y^2+10*x^2*y^3+5*x^4*y+5*x*y^4+y^5+x^5"

Cóż, w nieco nieortodoksyjnym porządku, ale to czego należało się spodziewać.

Jak czytelnik pewnie zauważył zadawanie wielomianów w naszej surowej postaci nie jest wygodne, z tego względu pokusimy się o bardzo prosty parser, zamieniający reprezentację wielomianu jako zrozumiałego dla człowieka łańcucha znaków na reprezentację wewnętrzną. Ogólnie pisanie parsera wymaga sporo delikatności i uwagi, ale my napiszemy coś naprawdę bardzo prostego cedując na użytkownika staranność w zadawaniu wejścia dla parsera.

By zrealizować nasz parser, potrzebować będę tokenizera, tj funkcji zaminiającej łańcuch znaków na listę łańcuchów znaków będących rezultatem podzielenia listy oryginalnej na fragmenty rozdzielone z góry zadanym znakiem. Np napis "Ala ma kota" po "tokenizacji" względem znaku ' ' (spacja) stanie się listą ["Ala","ma","kota"]

Oto nasza funkcja tokenize, bioraca jako argument znak i łańcuch znaków a zwracającą stosowną listę łańcuchów:


tokenize :: Char -> String -> [String]

tokenize v "" = []
tokenize v x = tokenize_raw v x [] [] where
   tokenize_raw v [] [] rv = rv
   tokenize_raw v [] cs rv = (rv++[cs])
   tokenize_raw v (f:r) cs rv | f == v = tokenize_raw v r [] (rv++[cs])
                              | otherwise = tokenize_raw v r (cs ++ [f]) rv

Sprawdźmy działanie naszego tokenizera:

Test 10:


Main> tokenize ' ' "Ala ma kota"
["Ala","ma","kota"]

Dokładnie jak się spodziewaliśmy.

Wykorzystamy teraz funkcję tokenize do parsowania wielomianów. Strategia jest następująca. Najpierw łańcuch podzielimy funkcją tokenize względem znaku '+', następnie każdy z tak otrzymanych kawałków podzielimy wgledem znaku '*' a potem każdy z nich względem znaku '^'. Stosownie do tego co otrzymamy w ostatniej fazie podziału spróbujemy odbudować wielomian odpowiednie interpretując otrzmane kawałki jako wielomiany i kombinując je w wielomian funkcją foldl, kumulując je już to funkcją ~* już to funkcją ~+ stosownie do tego reprezentację jakich fragmentów scalamy.


parse_poly :: String -> Polynomial

parse_poly = foldl (~+) [] $ map parse_coeff $ tokenize '+' s where
parse_coeff r = foldl (~*) [(1,[])] $ map parse_mono $ tokenize '*' r where
 parse_mono x = parse_raw $ tokenize '^' x where
   isNumber l = and $ map isDigit l
   convertToInt l = toInteger $ foldl (\x y -> 10*x + y) 0 $ map digitToInt l
   parse_raw [] = []
   parse_raw [a,b] = [(1,[(a, convertToInt b)])]
   parse_raw [a] | isNumber a = [(convertToInt a,[])]
                 | otherwise = [(1,[(a,1)])]

Z nowych elementów wystąpiły tu fukcje z załadowanego na początku modułu Char, tj. isDigit (mówiąca czy znak odpowiada cyfrze) i digitToInt (zamieniająca znak odpwiadający cyfrze na odpowiadającą tej cyfrze liczbę).

Przetestujmy:

Test 11:


Main> parse_poly "x+y"
[(1,[("y",1)]),(1,[("x",1)])]
Main> parse_poly "x+2*y*z^2+123"
[(123,[]),(2,[("y",1),("z",2)]),(1,[("x",1)])]
Main> tostring_poly $ parse_poly "x+2*y*z^2+123"
"123+2*y*z^2+x"

Jako ostatnią póki co zaimplementujmy jeszcze jedną operację - operację podstawiania. Pozwoli nam ona w prosty sposób zadawać nawet dość trudne wielomiany. Operacja podstawiania polega na tym, że za pewną zmienną w zadanym wielomianie podstawiamy inny wielomian, dokonujemy na tak otrzymanym wyrażeniu operacji algebraicznych by w efekcie otrzymać wielomian. Poniżej fukcja przyjmująca w argumencie zmienną za którą podstawiamy, wielomian do którego podstawiamy i wielomian podstawiany. Dotychczasowa wiedza powinna wystarczyć do samodzielnej jej analizy.


subst :: Var -> Polynomial -> Polynomial -> Polynomial

subst v bs with = foldl (~+) [] $
map (\(c, p)-> tms c $ subst_mono v p with) bs where
tms c = map (\(x,y)->(c*x, y))
subst_mono lv m w = foldl (~*) [(1,[])] $
  map (\(x,n)-> if x==lv then foldl (~*) [(1,[])] $ [w|i<-[1..n]]
                         else [(1,[(x,n)])]) m

Sprawdżmy w działaniu.

Test 12:

Znowu dwumian Newtona - ale tym razem poszalejmy:


Main> tostring_poly $ subst "a" (parse_poly "a^15") (parse_poly "x+y")
"6435*x^8*y^7+6435*x^7*y^8+5005*x^9*y^6+5005*x^6*y^9+3003*x^10*y^5+3003*x^5*y^10+1365*x^11*y^4+1365*x^4*y^11+455*x^12*y^3+455*x^3*y^12+105*x^13*y^2+10
5*x^2*y^13+15*x^14*y+15*x*y^14+y^15+x^15"

Hmmm... Ręcznie sprawdzić będzie ciężko.

Jak widać Haskell mógłby sobie jakoś poradzić z prostą szkolną algebrą

Na dziś kończymy zabawę. Wkrótce postaram się ulepszyć i rozbudować (nieco) tę zabawkę i poigrać trochę z takimi tematami jak wielomiany symetryczne, wyróżnik, a może i dalej : eliminacja kwantyfikatorów i twierdzenie Tarskiego.

Na razie: wszystkim uczniom i nauczycielom (szczególnie matematyki) życzę powodzenia i cierpliwości w zaczynającym się roku szkolnym.

1
Operacja ujawnienia postaci listy jest z natury podobna do matematycznego zapisu zbiory (bądź klasy) w postaci { : }, gdzie po lewej stronie znaku ':' pojawia się funkcja (być może identyczność) dla argumentów spełniajacych warunek po stronie prawej logiczny warunek opisujący wybrane elementy. Pamiętajmy jednak - listy to nie zbiory!

Film!

2009-08-25T16:51:00.003+01:00

Google video uraczyło mnie dziś głośnym swego czasu i nagradzanym filmem animowanym, "Outside in". Film sygnowany jest m.in. przez jedną z największych gwiazd powojennej matematyki, laureata Medalu Fieldsa (którego wręczono mu nb. na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Warszawie), Williama Thurstona. Pierwszy raz chyba zobaczyłem to dzieło w całości (wcześniej widziałme jedynie urywki) i uważam, że jest rewelacyjne. Kto ma dziś migrenę, kaca, dolegliwości żołądkowe czy innye podobne przypadłości lepiej niech odłoży oglądanie na inny dzień, w każdym razie ja nie biorę odpowiedzialności za ew. sensacje.
Zatem, usiądźcie wygodnie na stabilnym siedzisku, wyostrzcie zmysły, oczyśćcie umysł i wysilcie wyobraźnię (przede wszystkim przestrzenną) - film tylko pomaga zobaczyć!

Tałtologia/Tajtologia 2009

2009-08-12T18:48:00.003+01:00

Tym razem nadaję z krainy kleszczy, komarów, wody, chmur, lasów, polnych kwiatów, krzyżackich zamków i hitlerowskich bunkrów - słowem z Prus Wschodnich. Urlopujemy się. Trochę panikując a propos kryzysu, przestraszeni kursami walut postanowiliśmy w tym roku nadrobić nasze lokalne zaległości krajoznawcze. Warto. Jest cicho, przyzwoicie cenowo, czysto. I jest do tego niezła pogoda. Nie smażymy i nie pławimy się w jeziorach jedynie. Penetrujemy lokalne zabytki, spacerujemy. Małe odkrycia: warte polecenia kajakowanie na Krutyni. Kto kiedykolwiek zazdrościł np Chorwatom Plitvic powinien koniecznie przepłynąć się odcinkiem z Ukty do Nowego Mostu, wyruszając koniecznie rano kiedy na szlaku nie ma jeszcze zbyt wielu turystów. Cisza, przezroczysta woda i podwodne łąki.
Mazury, to świat od niedawna dopiero "nasz". Pełen jest śladów wielowiecznych tu gospodarzy: Niemców. Zabytkiem ich kultury materialnej są m.in. niezwykłe hydrobudowle - kanały i śluzy, ruchome mosty, które można podziwiać z lądu, ale lepiej z wody. Miasta i wioski mają młodziutkie nazwy i tylko dwujęzyczne mapy zdradzają ich do niedawna jescze odwieczne miano. Stąd pewnie i sporo niemieckich turystów. Dziwne wrażenie. Nasza i nienasza ziemia. Żywy jeszcze ślad czasów gdy z hukiem przeobrażała się europejska siatka granic. Memento: jak wielka cenę, prócz krwi i nieszczęść, płaci się za głupotę i fanatyzm.
Inne rozrywki: zmęczyłem w końcu III tom Reale i niezbyt jeszcze głęboko zabrnąłem w tom IV. Plażując kontynuuję też (leniwie i nie bardzo widząc dokąd mnie zaprowadzą) rozważania matematyczne z poprzedniego postu. Podzielę się, kiedy już na dobre powrócę. Pracuję też niespiesznie nad zabawnym dowodem całkiem poważnego i znanego twierdzenia z nazwiskiem. Jak coś mi z tego wyjdzie - też nie omieszkam napisać.
Kilka zdjęć z wakacji:

O zwartości burzowym latem

2009-07-28T16:57:00.010+01:00

gdy umysł i ciało wołają urlopu...
Dziś trochę matematyki, jaką ostatnio się podbawiałem.

1. Twierdzenie z topologii o uniwersalności kostki Cantora dla przestrzeni zwartych

W topologii ogólnej dowodzi się następującego twierdzenia:

Twierdzenie 1:

Każdej przestrzeń zwarta X o ciężarze m jest ciągłym obrazem kostki Cantora C_m = {0,1}^m (gdzie na C_m mamy topologię Tichonowa).

Gwoli wyjaśnienia, ciężarem przestrzeni topologicznej nazywamy minimalną liczność bazy tej przestrzeni.

2. Specjalny przypadek zwartych przestrzeni metyrycznych: dowód

Nas interesować będzie szczególna wersja tego twierdzenia, mianowicie
taka, gdy X jest przestrzenią zwartą metryczną. Ponieważ zwarta
przestrzeń metryczna ma ciężar nie przekraczający ω, twierdzenie,
którym przez moment się zajmiemy będzie miało postać:

Twierdzenie 2:

Każdej przestrzeń metryczna zwarta X jest ciągłym obrazem kostki
Cantora C_ω = {0,1}^N.

(gdzie na C_ω mamy metrykę
zadaną wzorem: d_C(x,y)=0, dla x=y i d(x,y) = (1/2)^-n, gdzie n = min {i| x(i)≠y(i)} w przeciwnym wypadku).

Oczywiście pracujemy tu w ogóle w kategorii porzestrzeni metrycznych z odwzorowaniami ciągłymi jako morfizmami, bowiem {0,1}^N jest metryzowalna (i co więcej da się tak zmetryzować, że będzie izometryczna ze zbiorem Cantora mieszkającym jak wiadomo na odcinku). Dla potrzeb poniższych rozważań, żeby nie gryźć się w język co chwilę, pojęcia kostki Cantora używał będeż zawsze w rozumieniu kostki Cantora o ciężarze ω. Podobnie - z uwagi na to co powiedziałem powyżej, mogę też użyć terminu "zbiór Cantora" jako synonimu dla "kostki Cantora".

Przedstawię dowód twierdzenia 2 jaki sobie na własny użytek przeprowadziłem:

Zacznijmy od definicji. ε-sieć to zbiór S punktów w przestrzeni metrycznej (X,d), t.że X = ∪ {K(x, ε) | x ∊ S}.

Dla przestrzeni metrycznych zwartych, dla kazdego epsilon istnieje (na ogół nie jedna) skończona ε-sieć.

W celu konstrukcji naszego odwzorowania, weźmy ciąg ε_n = (1/2)ⁿ . Dla n, niech S_n oznacza pewną wybraną ε_n-sieć.

Niech φ(0) = #S₀

φ(n) = max {#S_n ⋂ K(x, ε_n-1)| x ∊ S_n-1}

Niech Φ(n) := [log₂(φ(n))]+1

niech

ψ(0): {0,1}^Φ(0) -> S₀

ψ(n): {0,1}^Φ(n) × S_n-1 -> S_n taka, że:

ψ(0) jest surjekcją

ψ(n)(_,x): {0,1}^Φ(n) -> K(x,ε_n-1)) ⋂ S_n jest surjekcją

Φ(n) jak można zauważyć jest wystarczająco duże, tak że ψ(n)(_,x) da się dobrze określić dla każedego x ∊ S_n-1. Zbiory postaci {0,1}^Φ(n) × {x} dla x ∊ S_n-1 są rozłączne i łącznie pokrywają całą dziedzinę funkcji ψ(n), zatem ψ(n) da się określić dla każdego n.

Teraz zdefiniujemy dwie funkcje:

Rtp : {0,1}^N -> {0,1}^Φ(0) × {0,1}^Φ(1) × ...

i

Sq: {0,1}^Φ(0) × {0,1}^Φ(1) × ... -> X^N

Rtp jest zdefiniowana naturalnie:

(c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1, c_Φ(0) ..., c_{Φ(0)+Φ(1)-1}, c_Φ(0)+Φ(1), ...) -> ((c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1), (c_Φ(0) ..., c_{Φ(0)+Φ(1)-1}), (c_Φ(0)+Φ(1), ...),...)

Przyporządkowanie Sq zaś, określone jest następująco:

((c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1), (c_Φ(0) ..., c_{Φ(0)+Φ(1)-1}), (c_Φ(0)+Φ(1), ...),...) -> (x₀, x₁, ...)

gdzie:

x₀ = ψ(0)(c₀, c₁, ..., c_Φ(0)-1)

x_n = ψ(n)((c_{Φ(0)+...+Φ(n-1)}, c_{Φ(0)+...+Φ(n-1)+1}, ..., c_{Φ(0)+...+Φ(n)-1}), x_n-1)

Zauważmy, że dowolny ciąg należący do obrazu funkcji Sq jest zbieżny.
Wynika to z określenia ciągu (x_n) i doboru funkcji ψ(n).
Mamy bowiem:
d(x_n, x_n-1) <= ε_n-1
więc
d(x_l, x_k) < Σ_i=min(l,k)^∞ (1/2)ⁱ = (1/2)^min(l,k)-1

Zatem(x_n) jest ciągiem Cauchy'ego - a więc zbieżnym w przestrzeni zwartej.

Możemy teraz zdefiniować funkcję:

Cant : {0,1}^N -> X

Cant(s) = lim_n->∞(Sq(Rpt(s)))(n)

Do zakończenia dowodu należy jeszcze pokazać, że:

1. Cant, jest funkcją ciągłą
2. Cant jest suriekcją

Punktu 1 dowodzi się podobnie jak istnienia granicy:

Zauważmy, że d(Sq(Rpt(s))(j), Cant(s)) < (1/2)^(j-1) (*)

Teraz, jeżeli Cant(s) = x i weźmiemy dowolne ε > 0, możemy wybrać δ > 0, tak małe, że:

z d_C(s,t) < δ wynika, że s(i) = t(i) dla i = 0,...,N, gdzie N > Φ(0)+....+Φ(k) i gdzie (1/2)^k < ε/2

Wtedy Sq(Rpt(s))(i) = Sq(Rpt(t))(i) dla i = 0,...,k

i

d(Cant(s), Cant(t))<d(Sq(Rpt(s))(k), Cant(s))+d(Sq(Rpt(s))(k), Cant(t)) = d(Sq(Rpt(s))(k), Cant(s))+d(Sq(Rpt(t))(k), Cant(t)) < ε

co dowodzi ciągłości.

Zatem Cant(C_ω) jest domknięty (zwarty) w X. Pokażę teraz, że jest również gęsty w X, co da nam suriektywność i skończy tym samym dowód. Wybierzmy pewne dowolne ε i punkt x ∊ X. Pokażę, że w otoczeniu K(x, ε) punktu x istnieje punkt z obrazu funkcji Cant. Zauważmy, że dla każdego j Sq(Rpt(_))(j) : C_ω -> S_j jest surjekcją (**). Wybierzmy więc j tak duże, że S_j jest ε/2-siecią i (1/2)^(j-1) < ε/2. Z nierówności (*) i faktu (**) wynika, że istnieje s takie, że d(Cant(s), x)<ε .

3. Ale po co

Samo twierdzenie wydawało mi się zawsze ciekawe. Jakoś ostatnio nachodziło mnie (i wtedy też je sobie udowodniłem) w kontekście nieco filozoficznych rozważań o naturze obiektów matematycznych. Jest bowiem tak, że w twierdzeniu jest ukryty pewien sposób konstruowania przestrzeni zwartych w kombinatoryczny (może finitystyczny) sposób. Funkcje pomocnicze, które były wykorzystywane na potrzeby konstrukcji funkcji Cant zależą od dość dowolnych wyborów stosownych ε-sieci i odpowiednich suriekcji (słowem: Cant powinna mieć przeliczalną liczbę indeksów opisujących jakąż parametry od których zależy) . Ciekawe może być pytanie o warunki jakie należy narzucić na ciąg zbiorów skończonych (Z_n) i funkcji F_n: Z_n->P(Z_n+1) (P(X) to zbiór poszbiorów zbioru X) i malejący ciąg liczb (ε_n) aby istniała przestrzeń metryczna dla której Z_n będą ε_n-sieciami? Jak odpowiedź zależy od tego, że założymy że będę to ε_n-sieci minimalne (tzn. żaden właściwy podzbiór Z_n nie będzie już en siecią)? Przy założeniach minimalności są chyba jakieś ciekawe związki między ciągiem #Z_n z wymiarem Hausdorffa przestrzeni X? Dołożyć do systemu wymaganie obliczalności systemu funkcji F_n - co dostaniemy? Czy jakąś obliczalną teorię przestrzeni zwartych, w której da się ściśle i dokładnie powiedzieć co to znaczy np. że okrąg lub odcinek jest "prostym" zbiorem natomiast taki płatek Kocha bardziej złożonym (a może wręcz przeciwnie prostszym)? Może ma to jakieś praktyczne znaczenie - np dla kompresji "kształtów" a więc i np. obrazów?

Czy jest jakiś związek (właśnie się uczę tej teorii zaintrygowany ninejszym pytaniem) między twierdzeniem tu dowodzonym a możliwością przedstawiania przestrzeni zwartych jako algebr definiowalnych równościowo?

Bedę wracał do tych tematów mam nadzieję, bo żywo mnie ostatnio zajmują.

Interludium w milczeniu

2009-07-08T22:12:00.002+01:00

Znowu długa i nie planowana przerwa w blogowaniu. Dużo pracy, po prostu. Nie bardzo mam siłę zabierać się za pisanie. Dookoła dziwne lato. Chaos w pogodzie i chaos w umysłach ludzi. Bardzo podziwiam moich znajomych, którzy wychodzą z pracy i oddają się jeszcze jakiemuś absorbującemu hobby. Ja ostatnio nawet lektury pcham do przodu z największym trudem. Fakt, że nie poszedłem z nimi na łatwiznę - zbliżam się właśnie do końca drugiego tomu "Historii filozofii starożytnej" Giovanniego Reale. Świetna rzecz - polecam gorąco. W tle i przed zaśnięciem doprowadziłem też za Flawiuszem Arrianem Aleksandra Wielkiego do Indii i pożegnałem go w Babilonie.
Sam nie wiem jak się to stało, że od jakiegoś czasu strasznie mnie wciąga starożytność. Może to kolejna po matematyce forma bezpiecznego dla zdrowia eskapizmu (uprawiam również formy niezdrowe...)? Może fakt, że po kilku przejażdżkach w śródziemnomorskie okolice, zobaczeniu kilku miejsc przestała być dla mnie ta historia bezduszna - nabrała barw, smaków, kolorów. Ma swoją scenografię. Z drugiej strony, nie jest to jednak oderwanie się zupełne od współczesności. W zmienionych dekoracjach widzę tam przecież ten sam spektakl, charaktery i postawy które spotykam na ulicach, w pracy czy włączając telewizor. Czytając książkę Reale znajduję początek, w wielu przejawach imponujący jakby miał być apogeum, sporów i przygód myśli ludzkiej które trwają do dzisiaj. Pytań na które, stawiając je być może w innym języku - wciąż nie znaleziono odpowiedzi mimo ataków i prób.
Z drugiej strony jestem nieodrodnym dzieckiem swoich czasów. Doceniając pragnienie odpowiedzi na wielkie pytania, metafizyczne starożytności, podziwiając śmiałość w ich stawianiu, rodzącą się głębię i precyzję myśli w czasach kiedy po raz pierwszy próbowano na nie udzielać odpowiedzi, więzi mnie sceptycyzm co do możliwości udzielenia tejże w ogóle. Zgniłe podejrzenia, że są to w rzeczywistości problemy sztuczne, pułapki języka. Wątpliwości co do sensu ich stawiania. Węszę ślady złudnych odpowiedzi i "nibyrozwiązań" w myślach i słowach tych, którzy czują się powołani narzucać -arbitralnie, z pyszną pewnością swoich racji - swoją wolę innym. Historia myśli jest historią złudzeń. Teraźniejszość myśli jest teraźniejszością złudzeń.

Kolaż

2009-05-23T21:13:00.002+01:00

collage, originally uploaded by minthem.

Impresje, ulotność chwili. Kolory, zapachy dźwięki - wrażenia. Filozofowie od czasów najdawniejszych próbują jakoś pogodzić, że realny świat dociera do nas przez strumień wrażeń jedynie. Od kwestionowania prawdziwości tego co i jak nam się jawi w relacji do bytu prawdziwego jak u eleatów, rozpaczliwe starcie o PEWNOSĆ u Kratezjusza i niepokojącą nieomal bluźnierczą myśl biskupa Berkeleya: długa droga nie tak dziwna wcale jak mogłoby się wydawać. Wystarczy pomyśleć jak niewielki wycinek spektrum elektromagentycznego odbieramy wzrokiem, jak wąski zakres częstotliwości słuchem, jak niewiele zapachów i smaków odróżniamy. A nawet gdybyśmy byli nieskończenie bardziej czuli jako aparaty pomiarowe: to z czym styka się nasz umysł to impulsy biegnące w nerwach. Można, stymulując je sztucznie, wywołać owe wrażenia. Podobnie jak stymulując chemicznie mózg możemy oszukać go i sprawić że zachowuje się tak jakby owe impulsy do niego docierały.
Zdecydowanie: rzeczywistość nam się wymyka ale wrażenia, to jedyne co mamy. Cenimy je sobie. Chcemy je zachować, przechować, odszukiwać je, wracać. To zatrudnienie dla pamięci. Nauczyliśmy się pomagać pamięci zachowująć wycinek, aspekt rzeczywistości jak nam się ona jawi. To m.in. fotografia. Dziś, montując we wszędobylskie już telefony komórkowe aparaty fotograficzne ich producenci dali nam szansę czynić o bez większego trudu. Ja w każdym razie łapię te wrażenia. Celowo niedokładnie i nieprecyzyjnie. Nie tylko z powodu niedoskonałości technicznej zabawkowego aparatu, ale właśnie by zamrozić ów moment przelotnego wrażenia. Z całą jego niedokładnością i niedbalstwem. Rynek Krakowski w dziwnym świetle, pożółkłe liście na chodniku w Cieszynie, nidopałek na ulicy Dolnych Młynów itd. itp. - migawki ze świata, jak jawi się mnie.
Ten kolaż to fragment tego impresjonistycznego minipamiętnika.

Hard Day's Night

2009-05-20T22:35:00.005+01:00

ale w sumie sam tego chciałem. Porzuciwszy jakiś czas temu biurową wygodę zapuściłem się w świat frontowego programowania. Potrafi dać w kość, szczególnie jeśli się jak ja zardzewiało dość mocno. Tak oto staję przed wami zmorzony tropieniem pułapek wielokrotnego dziedziczenia w C++ (dzięki Bogu nie w moim kodzie takie bezeceństwa), braku synchronizacji na obiekcie w którym STL-owe kontenery zmieniają się aż miło (to też nie mój błąd ale znalezienie go kosztowało mnie właśnie zdrowie), czy w końcu niuchanie niezwalnianych zasobów - też pokutowałem za nieswoje grzechy. To wszystko zanim wejrzę w otchłań własnych błędów...
Pan Bóg wypędzając Adam z Raju, o ile pamiętam, przyobiecał mu, że nie będzie lekko. Na język dzisiejszej programującej klasy robotniczej przekłada się to właśnie na takie oto atrakcje, jakie opisałem. Swoją drogą, idąc tym tropem piszącym w C++ bliżej do Raju niż tym piszącym w Javie, która nie jest aż taką pokutą. Z drugiej strony w C++ (szczególnie w nowinkach STL-owych) znaleźć można pewne perwersyjne przyjemności. Więc może wszyscy równo w tym czyśćcu...
Co by nie mówić, wychodząc dzisiaj z roboty (tak! z roboty a nie z pracy!), w poczuciu, niewykluczone że dobrze, spełnionego obowiązku poczułem grawitację silniej niż zwykle. Rytuał oczyszczenia z nalotu pracy i powrotu do problemów które zajmują mnie naprawdę, zwykle ograniczający się do lektury w autobusie dziś nie poskutkował. Siedzę, a w głowie kotłują mi się wskaźniki, mutexy, semafory itp. Gdyby to był jeszcze mój kod - jego struktura, sposób działania dojrzewałby wraz ze mną, wmyśliłbym się w niego dawniej już, inaczej by wyglądał, czułbym jaki być powinien, byłby taki. Miałby okrągły design, którego chętnie bym bronił. A tak, muszę się na w zawiłych linijkach ścierać z jakimś innym umysłem inaczej podchodzącym do problemów, gwałcić swój by nie ulec pokusie nadmiernego przepisywania i ograniczyć się do rozsądnych uderzeń młotkiem we właściwe miejsca - tak nakazuje ekonomia.
Cóż, musi wyjść dobrze. Wyjdzie. W końcu jestem zawodowcem. Prywatne odczucia powierzę blogowi - tj. wam czytelnicy.

Botanica. Wiosna, po prostu wiosna.

2009-04-19T16:09:00.009+01:00

Mały fotoreportaż z wiosennej przechadzki. Ogród botaniczny w Krakowie.
Rozleniwiłem się (jeśli to możliwe jeszcze bardziej) więc wielu słów nie będzie.

Debiut Tricki

2009-04-16T19:30:00.004+01:00

Parę godzin temu pojawił się anons, że strona o której już tu jakiś czas temu pisałem jest aktywna i dostępna dla użytkowników. Chodzi o projekt "Tricki" - czegoś rodzaju wiki tyle, że z opisem sposobów, sztuczek, wytrychów, metod itd. które można zastosować w pracy matematyka. To wyjątkowy pomysł - nie monografia, nie encyklopedia, nie wykład. To nauka warsztatu. Bezcenna sprawa. Pomysł sygnują i kontrybuują do projektu wybitni matematycy współcześni, w tym laureaci medalu Fieldsa: Timothy Gowers i Terence Tao.
Polecam - sam już oblizuję się na myśl czego się można już i czego się można będzie w przyszłości z materiałów tam zamieszczonych nauczyć.
Szczególnie polecam tej, bliskiej mi mentalnie grupie ludzi (której istnienie i liczność przekraczającą jeden na nikłych przesłankach antycypuję), którzy zdobyli formalne wykształcenie matematyczne (lub pokrewne) i matematyką się interesują "twórczo", tzn. lubią popracować nad jakimś problemem, a z różnych przyczyn znaleźli się poza szeroko rozumianym środowiskiem akademickim. Internet, a szczególnie takie inicjatywy to wielka szansa dla nas, aby nie stracić kontaktu z prawdziwą nauką. Szkoda tylko, że w polskojęzycznym Internecie tak mało się w owym światku dzieje.

Zrzuty ze stanu umysłu

2009-04-09T22:55:00.002+01:00

Tak więc:
1. Co mnie ubawiło
Ubawiło mnie, że oszołomstwo jest zjawiskiem permanentnym, wykazują je ludzie niezależnie od epok. Idee i myśli mają tendencję by się wyradzać i zamieniać w swoją groteskową formę. Ubawił mnie w szczególności w tym kontekście filozof grecki Kratylos, który zradykalizował myśl Heraklita i doszedł do takich kwiatów (jak podaje Arystoteles w "Metafizyce"):
"w końcu doszedł do wniosku, że nie należy nic mówić, lecz tylko poruszać palcem i krytykował również Heraklita za to, że twierdził, iż nie można wejść dwa razy do tej samej rzeki, bo jego zdaniem nie można nawet raz wejść do tej samej rzeki".
Zaiste, strach coś mądrego powiedzieć (nie żebym sam miał coś mądrego do powiedzenia, ale tak ogólnie stwierdzam).
2. Czego się dowiedziałem
Dowiedziałem się (a potem sam sobie udowodniłem), że suma odwrotności kolejnych liczb naturalnych od 1 do p-1, gdzie p to liczba pierwsza, przedstawiona jako ulamek nieskracalny ma licznik podzielny przez p^2. Polecam amatorom. Nietrudne i fajne.
Poza tym ciekawa praca z 1959 roku (rzecz jest już solidnie klasyczna, więc pewnie dawno powinienem to wiedzieć i zapewne jest również w podręcznikach, ale nie chce mi się sprawdzać czy i w których - przyznaję, że moja ignorancja jest potworna) z Pacific Journal of Mathematics: E.D.Cashwell, C.J.Everett "The Ring of number-theoretic functions" (jest on-line - Google pomoże)
3. Co mnie nakręciło.
Nakręcił mnie klip z YouTube. Znowu trochę o Afryce. Cesaria Evora i jej afrykańscy przyjaciele (z moją prywatnę dedykacją dla B16):

Dwóch

2009-03-28T11:43:00.005+01:00

Jeden znaleziony w rzece Zbrucz pochodzi z IX wieku, drugi sfotografowany został zeszłorocznej jesieni na rynku w Lanckoronie. Oba na swój sposób ładne.

Pół biedy jeśli obserwator rozszerza źrenicę gdy dzieje się coś złego znudzonym wzrokiem ledwie tylko łypiąc przy ukradkowych pocałunkach wstydliwych parek czy szybkim łyku wódki nie tam gdzie wolno. Gorzej jeśli patrzy z wypiekami ocierając spocone z podniecenia czoło. Jeszcze gorzej gdy patrzy i nie ma skrupułów.
Czy na pewno wiemy kto będzie na nas patrzył kiedy pozwalamy by się nam przyglądać?

Informacje o prawach autorskich: Zdjęcie Światowida ze Zbrucza zostało zrobione i udostępnione w zasobach Wikipedii w ramach licencji GFDL i Creative Commons Attribution ShareAlike 2.5 przez pana Jana Mehlicha.

Sprowokowany zabawnym artykułem...

2009-03-27T15:17:00.004+01:00

Ponieważ zapronumerowałem wieści o świeżo pojawiających się w niektórych działach serwisu arXiv artykułach, trzymam rękę na pulsie. Przedwczoraj właśnie serwis zaanonsował mi, jak się okazało zabawny i ciekawy, artykulik niejakiego Dorona Zeilbergera. Tytuł jest nieco krzykliwy: "Teaching the Computer how to Discover(!) and then Prove(!!) (all by Itself(!!!)) Analogs of Collatz's Notorious 3x+1 Conjecture".
Zanim po krótce objaśnię o czym ten artykuł, podywaguję (co lubię najbardziej). Zeilberger jest m.in. współautorem (z Petkovsekem i Wilfem) głośnej swego czasu książki "A=B" . W książce tej o ile dobrze pamiętam ćwiczy się intensywnie (choć nie jedynie) automatyczne odkrywanie i dowodzenie identyczności różnych sum z symbolem Newtona w roli głównej. Jest to pewna forma uprawiania wspomaganej komputerowo matematyki w której nie walczy się o ogólność podejścia komputerowego (np. żeby maszyna potrafiła twórczo podejść do udowodnienia bądź nawet odkrycia dowolnego twierdzenia jakiejś teorii), ale raczej eksploatuje się pewne szczególne podejście które daje dużo dobrych twierdzeń jakiejś szczególnej postaci - np. tożsamości - powielając bądź lekko wariując jedną metodę.
W ogóle, to jest historia, która mnie trochę bawi z tymi algorytmami z książki "A=B". Rosyjski matematyk Jurij Matiasiewicz, sławny dzięki zadaniu coup de grace słynnemu X problemowi Hilberta, w pracach z końca lat 90-tych (choćby tu ) pokazał metody tłumaczenia twierdzeń z teorii liczb na tożsamości z użyciem symbolu Newtona, w typie zbliżonym do tych, o których mowa u Zelbergera, Wilfa i Petkoveska. W niektórych pracach wprost nawiązuje on do książki "A=B" wyrażając nadzieję, że uda się kiedyś dzięki jego translacjom, przez (automatyczne) udowodnienie takich tożsamości dowodzić twierdzeń o innej bardziej interesującej matematycznie treści. W szczególności, w pracy Matjasiewicza, którą tu linkuję zajmuje się on translacją do tożsamości dwumiennych starej hipotezy zwanej "problemem Collatza", czasem "problemem Ulama", względnie "problem 3x+1". Zagadnienie jest dobrze znane i szeroko opisywane nie będę go więc tu przedstawiał w szczegółach.
Zeilberger, że zatoczę w moich dygresjach koło, we wspomnianym na początku artykule zajmuje się rodziną problemów formalnie podobnych do problemu Collatza, analizując strukturę dowodów (podanych przez ludzi) dla pewnych przypadków szczególnych. Następnie, pokazuje w jaki sposób można przymusić komputer do postępowania według podobnego schematu: generowania konkretnych przypadków zagadnienia za pomocą metod "rachunkowych" , znajdowania wzorca spełanianego przez przypadki satysfakcjonujące, tworzenia na tej bazie hipotezy (pewnej z góry znanej twórcy programu postaci, ale zależnej od wielu parametrów ustalonych przez komputer w krokach poprzednich), generowania (jeśli się uda) dowodu, który też jest konstruowany według pewnego szczególnego, znanego apriori schematu. Konkretna realizacja tego schematu jest jednak wyszukiwana przez komputer. W efekcie, maszyna wypluwa szereg twierdzeń i dowodów o całkiem interesującej matematycznie treści, wysycając potencjał tkwiący w zaszytych w algorytmie schematach.
Poruszam się tu na dużym poziomie ogólności więc po szczegóły odsyłam bezpośrednio do wzmiankowanej pracy. Nie jest to ani typowa praca matematyczna, ani lektura trudna pojęciowo a i napisana jest leciutko. Sądzę, że jest, bez wielkiego trudu, do przejścia dla tzw. zdolnego licealisty. Niezbyt zawiłe ćwiczenie z nierówności trójkąta, indukcji matematycznej i zrozumienia sposobu działania algorytmów.
Kilka myśli, a może i jakiś morał.
Po pierwsze, w typowym myśleniu o automatycznym dowodzeniu twierdzeń rozważa, się mniej więcej coś takiego:
Przestrzenią w której się poruszamy jest skierowany graf (drzewo właściwie) możliwych wywodów, węzłami którego są wywody, tj. zbiory (być może puste) stwierdzeń.
Wywody w węzłach mają tę własność, że wywód w węźle na końcu strzałki jest powtórzeniem wywodu z początku strzałki z dopisanym aksjomatem lub stwierdzeniem będącym logiczną konsekwencją stwierdzeń wchodzących w skład wywodu z początku strzałki.
Abstrakcyjnie pojęty algorytm automatycznego dowodzenia przeszukuje według pewnej strategii owe drzewo starając się znaleźć nasze twierdzenie jako jeden z elementów wywodu w którymś węźle¹. Pułapka leży w tym, że przestrzeń poszukiwań (ów graf) jest ogromny i startegie prostackie, nie mają szans. Strategie wyrafinowane mają wbudowaną w siebie jakąś podpowiedź (heurystykę). To co proponuje Zeilberger to, w tych terminach, bardzo silna heurystyka, która ryzykując chybienie celu przeszukuje bardzo mały ale obiecujący obszar przestrzeni. Ta strategia może nieźle działać: jesteśmy w stanie zidentyfikować pewne "metody" czy "schematy" dowodzenia które aplikują się w wielu sytuacjach. Jesteśmy w stanie podać sposoby generowania skomplikowanych ale schematycznych prób dowodzenia czegoś. Np. (ograniczając sie jedynie do hasła "indukcja matematyczna"), przez piętrowe dowody indukcyjne albo przez stopniowe wzmacnianie hipotez indukcyjnych jak w pracy Zeilbergera. W takich sytuacjach mechanizacja jest możliwa i może być bardzo efektywna. Oczywiście czytelność takich dowodów jest problematyczna: człowiek może nie być w stanie ogarnąć, dajmy na to, kilkunastopiętrowej indukcji. Może być tak oczywiście, że jakieś teorie wyższego poziomu pozwolą zrezygnować z niezrozumiałych dowodów na rzecz prostszych, z wyższego punktu widzenia niejako przeprowadzonych (ale wtedy same te teorie ukryją w sobie prawdopodobnie całą złożoność). Ale raczej sądzę, że zagadnienia typu np. hipotezy Robbinsa staną się jednak domeną komputerów. Pozostaje wierzyć w maszyny i cieszyć się wynikami. Nie można apriori wykluczyć, ze są twierdzenia, które po prostu dadzą się tylko tak udowodnić - jeśli chcemy więc znać prawdę być może będziemy skazani, również w matematyce, na zaufanie do maszyn.
Ciekawym aspektem pracy Zeilbergera jest też mechanizacja procesu stawiania hipotez. Tu do indukcji matematycznej dochodzi indukcja empiryczna, ale to zupełnie inny temat, zresztą lekko tylko tam poruszony. To zagadnienie - moim zdaniem centralne dla rozwoju tzw. Sztucznej Inteligencji - zasługuje na osobne potraktowanie, na co, w tym sprowokowanym lekturą pracy Zeilerbergera poście, nie znajduję miejsca (ale w przyszłości, kto wie...).
Dołączam się w końcu do apelu autora artykułu: może któryś z nadpobudliwych intelektualnie młodych kolegów, zamiast myśleć o hackowaniu kolejnej strony czy ściąganiu zabezpieczeń z kolejnego programu, zająłby się uczciwszym, a stawiającym wyższe poprzeczki jego umiejętnościom, zajęciem i podjął się dalszych eksperymentów w duchu tych o których mowa w dyskutowanej pracy? Autor tego bloga pewnie chciałby, ale jeśli zdoła to uczynić to chyba dopiero na emeryturze (jeśli dożyje i nie będzie musiał żebrać).

¹Często konstruuje się ten graf inaczej: wychodzi się od zaprzeczenia twierdzenia wyjściowego, aksjomatów i zachowując regułę wynikania z poprzedzajacych wywodów szuka się sprzecznosci.

Wszelkie pogłoski

2009-03-25T17:16:00.003+01:00

o śmierci tego bloga (rozpuszczane anonimowo!!!) wydają się być nieco przesadzone. Przyznaję, przyznaję, tegoroczny marzec obfitując w wydarzenia, nawarstwiające się komplikacje, nawał prac rozmaitych, wydaje się być dla blogowania stracony, ale po wynikach jednej bitwy nie rozstrzygajmy o losach wojny.
Wracam więc na łamy z garścią nie do końca powiązanych myśli. Po pierwsze, przeoczyłem niemal poprzedni (marcowy, bo marcowy pojawia się już w lutym, a w marcu konsekwentnie pojawia się kwietniowy) numer "Notices of AMS", gdzie znaleźć można ciekawy artykuł Time-frequency Analysis of Musical Rhythm. Polecam miłośnikom muzyki, przetwarzania sygnałów i nowej nauki (a może odmiany filozofii), którą właśnie obmyślam ;) i którą roboczo i uroczo nazywam ordobabilistyką (zresztą nieważne, o tym kiedy indziej).
Apropos muzyki, o czym pewnie tu jeszcze nie wspominałem, jestem miłośnikiem, choć nie takim jak drzewiej bywało, muzyki - głównie klasycznej ale i dobrych dźwięków nieco lżejszej natury (w tym staroci i zapomnianych ramotek). Idąc za najbardziej ogólną klasyfikacją: preferuję muzykę smutną... Renesans moich zainteresowań muzycznych, dla których znajdowałem w ostatnich latach mało bardzo czasu, wiąże się ściśle z gwiazdkowym prezentem od Mojej Małżonki jakim był odtwarzacz ZEN firmy Creative, a który stał się jednym z moich Najlepszych Przyjaciół. Słucham więc na całego co przy okazji i w miejscach w których nigdy przedtem muzyki nie słuchałem, co jest przy okazji łagodną formą eskapizmu. Najnowszymi czasy, wyrwawszy się z kartezjańskiej pułapki czasu i częstotliwości, w której, na zasadzie obsesji, zamknęły mnie "Wariacje goldbergowskie" Bacha w wykonaniu fortepianowym Bronisławy Kawalli, wpadłem w drugą pułapkę zastawioną przez niezwykłą portugalską śpiewczkę: Marizę. O istnieniu pani Marizy dowiedziałem się, będzie ze dwa lata temu, z telewizji Mezzo, gdzie, przystając w szaleńczej galopadzie po kanałach telewizyjnych, natknąłem się na jej koncert z Londynu. Zrobił na mnie wielkie wrażenie ale jakoś w pierwszym odruchu nie zakupiłem żadnej płyty a potem wspomnienie stopniowo mi się zacierało. Ostatnio wszak nabyłem ich aż trzy i rozrywam sobie serce niezwykłą muzyką fado w wykonaniu niezwykłej Portugalki. Nie jest to przesadnie wyrafinowana muzyka. Fado - to raczej dźwięki i melodie, które z łatwością wzruszają i zapadają w pamięć. Jej prostota jednakże jest szlachetna i nie ma nic wspólnego z prostactwem. Zresztą nie sama forma i melodia są tu zdaje się najważniejsze. Najważniejszy jest głos i emocja. I choć fado jako takie jest wytworem XIX wiecznej miejskiej kultury Lizbony, w tym kraju marynarzy nie mogło nie nasiąknąć elementami kultur obcych. Słuchanie fado jest więc prawdziwą podróżą do podstaw, do "miejsca" w którym z prostych wzruszeń rodzi się sztuka zwana muzyką. Słowem: polecam Marizę. Próbka z YouTube (kiedyś cała ta żerująca radośnie jutubowa szarańcza co się nie boi Boga i praw autorskich pójdzie siedzieć a wiatr będzie hulał po wyludnionych miastach) :

Cóż, wspomnę jeszcze w tym reanimacyjnym wpisie o tym, że niestety częśc moich lektur późnozimowych stała się lekturami wczesnowiosennymi, bo jakoś nie mogę uzyskać tego poziomu koncentracji by je po prostu skończyć. O jednej szczególnej będę musiał napisać osobno, bo zanosi się na moją osobistą porażkę. Odsyłam do wpisów przyszłości gwoli poznania szczegółów, powiem teraz tylko tyle, ża (jak już kiedyś pisałem) matematyka nie jest łatwa niestety...

Rozsądek

2009-02-22T21:03:00.001+01:00

W zasadzie cenię sobie zdrowy rozsądek. Schlebiam sobie, że w pewnym zakresie go posiadam. Oczekuję go od innych w wielu sprawach. Pamiętam jednak o aforyzmie Einsteina: zdrowy rozsądek to suma przesądów zdobytych w dzieciństwie.
W zasadzie cenię sobie intuicję. Schlebiam sobie, że w pewnych sprawach ją posiadam. Oczekuję jej w wielu kwestiach od innych. Co to jednak jest intuicja, czy nie jest aby przeceniana ? Czy nie jest to suma przesądów zdobytych niekoniecznie już w dzieciństwie, tyle, że nie do końca uświadomiona? Pozawerbalna materializacja doświadczenia ?
Zdrowy rozsądek, ubrany w słowa robi piorunujące wrażenie. Przekonuje. W opakowaniu retorycznego, czy zgoła erystycznego argumentu jest najlepszą łapówką za przyznanie zwycięstwa jaką dyskutant może dać słuchaczom dysputy. Schlebia powierzchownemu oglądowi rzeczy, schlebia lenistwu umysłu. Nie trzeba wnikać głęboko - głaskanie naskórka umysłu wystarczy.
Zdrowy rozsądek jest pożytecznym przystosowaniem. W obrębie ludzkiego mezokosmosu, dla czynności i potrzeb przetrwania, złowienia czy wyhodowania pokarmu, zwabienia partnera seksualnego i utrzymania potomstwa do momentu kiedy osiągnie samodzielność, w statystycznej większości sytuacji nie zawodzi. Jego owoce są szybkie a podążanie za jego nakazami czyni sprawnym. W obszarach, które są produktem ubocznym inteligencji, przystosowania jakim ewolucja obdarzyła gatunek ludzki, tam gdzie zaczyna on dociekać istoty rzeczy, poszukuje prawdziwych mechanizmów rządzących światem i wszechświatem nie poprzestając na teoriach jedynie użytecznych, przewodnik to zwodniczy. Kultura - ów twór ewoluujący niejako samodzielnie w środowisku, którym jest społeczeństwo ludzkie, również i dawno już oparła się o próg poza którym od istot ludzkich wymagane jest coś znacznie więcej niż powierzchowny ogląd rzeczy.
Zdrowy rozsądek ewoluuje wraz z kulturą - to fakt. Wczorajsze przełomy, kiedy nasze rozumienie rzeczy przebiło się przez okowy ówczesnego zdrowego rozsądku, stają się dziś podstawą przesądów jakie nabywamy w dzieciństwie, by stać się pancerzem, przez który będzie musiało przebić się rozumienie rzeczy w pokoleniach następnych. Czy to, że tak jest, że nasza skrzętnie notowana i hołubiona historia odnotowuje ten powtarzający się w kółko proces, nauczyło nas czegoś ? Częściowo tak. Może zaczęliśmy doceniać wielką rolę jaką dla tego czym jesteśmy, dla naszych osiągnięć jako ludzkości stanowi sceptycyzm. Może...
Uważam, żeby nie przedobrzyć ze zdrowym rozsądkiem. Szczypię się boleśnie kiedy zdroworozsądkowy argument - polityczny, naukowy czy jakikolwiek inny zaczyna do mnie przemawiać zbyt wyraźnie. Węszę pułapkę. Bo choć w większości przypadków można polegać na tym przewodniku, to co naprawdę ciekawe łatwo można przeoczyć polegając na nim absolutnie.

Jeśli chcesz w przyszłości zostać guru...

2009-02-20T15:28:00.006+01:00

Co jakiś czas wertując różne nowości i ciekawostki ze świata nauki natrafia się na coś, co pachnie technologią przyszłości. Nie takiej za 50 czy sto lat. Takiej za 5 albo 10. Ostatnio mój kandydat numer jeden to technika tzw. compressed sensing rozwijana przez różne grupy zajmujace się przetwarzaniem sygnałów, głównie w USA, wsparte matematycznie przez taką sławę jak Terence Tao.

Zastosowania compressed sensing, które autorzy najczęściej podają, wiążą sie głównie z akwizycją i kompresowaniem obrazów, choć zastosowania potencjalne idą znacznie dalej. Postaram się w trzech słowach objaśnić co na razie z tego rozumiem.

Compreessed sensing jak wszystko co ma w nazwie "compressed" opiera sie na pewnej redundancji, czyli nadmiarowości w sygnale jakim w naszym przykładzie jest obraz. W klasycznym kodowaniu stratnym proces z grubsza wygląda tak:

(1) najpierw zbieramy dość dokładną informację o sygnale. Dokładność przekłada się zwykle na częstość próbkowania - na przykład w przypadku obrazu w aparacie cyfrowym na ilość elementów czułych w matrycy. Dostajemy pewien wektor w bazie, której każdy element przedstawia jeden piksel. Taka baza to zbiór wektorów postaci:

e_m,n(t,k) = 1 gdy t = m, k = n i 0 w innym wypadku.

W tej bazie obraz ma M na N pikseli ma przedstawienie:

OBRAZ = a_1,1 * e_1,1+...+a_M,N*e_M,N

gdzie a_m,n oznacza poziom jasności piksela. W tej bazie zwykle większość a_i,j jest sporych i nie możnaby łatwo ograniczyć się do części z nich by reprezentować obraz.

(2) Potem dokonujemy transformaty, czyli wyliczamy przedstawienie tego wektora w bazie transformaty.

W przypadku dyskretnej transformaty Fouriera będzie to baza postaci

F_m,n(t, k) = exp(2*pi*i*(t*m/M + n*k/N)).

W tej bazie, nasz wektor będzie miał przedstawienie:

OBRAZ = b_1,1 * F_1,1+...b_M,N*F_M,N.

Tu, zwykle okazuje się, że jest lepiej i pewna niewielka część współczynników dominuje ¹. Oczywiście możemy używać innych baz: np falek (wavelet) itp.

(3) Dokonujemy pewnych uproszczeń na sygnale korzystając z tej jego miłej cechy po przedstawieniu w bazie transformaty o której wspomniałem powyżej i dostajemy

OBRAZ' = b_1,1' * F_1,1+ ...b_M,N' *F_M,N

gdzie współczynniki primowane są bliskie nieprimowanych ale wiele z nich jest po prostu zerem. Wektor OBRAZ' jest bliski wektorowi OBRAZ.

(4) Na drugą stronę linii trzeba więc przekazać (względnie schować do pliku) indeksy i ich wartości tych niezerowych współczynników primowanych

(5) Odtwarzający (odpakowujący) odtwarza z tego co zapisane w punkcie (4) OBRAZ'.

Na ile dobrze to działa (modulo szczegóły techniczne, konkretne transformaty itp. bo zasada jest ta sama) możemy oglądać codziennie przeglądając obrazki na stronach WWW czy oglądając film na DVD.

A teraz wyobraźmy sobie, że nie musimy martwić się przekazywaniem informacji o tym podzbiorze ani o wartościach współczynników. Że zamiast mierzyć wszystkie piksele w kroku 1 mierzymy jedynie ich niewielką ale znaną część, że w ogóle pomijamy krok 2 i krok 3, i przesyłamy tylko wyniki tego pomiaru. Najpierw zalety: postępując w ten sposób mamy:

- mierzenie z kroku 1 staje się tańsze (bo mniej mamy punktów pomiarowych - np. w aparacie zamiast 5 mpx mamy tylko 1 mpx).

- pomijamy niezbyt może kosztowny w epoce FFT, ale mimo wszystko niedarmowy krok 2

- przesyłamy tylko wyniki pomiarów a nie dbmy o przesyłanie indeksów

- wciąż mamy sygnał skompresowany, bo choć przesyłamy wymniki pierwotnego pomiaru, to jest ich istotnie mniej niż w oryginalnym problemie

No dobrze: ale tym sposobem przesłaliśmy znacznie mniej informacji. Mniej jej wydobyliśmy z sygnału (mniej próbek) i nie dokonaliśmy żadnej analizy by wydobyć najcenniejszą jej część. Co zatem zyskaliśmy powyżej tracimy w postaci istotnego zaniku informacji. Nie ma darmowych obiadów... A jednak...

Przy pewnych założeniach, które wkrótce ostrożnie wypowiem (pamiętajcie, piszę co na razie sam z tego rozumiem) taka magia może mieć miejsce. Otóż:

Pomysł compressed sensing polega na tym, że jeżeli wiemy coś o sygnale ponad to co przesyła nam nadawca to coś może nam dać ową brakującą informację, której nikt nam nie przesłał i pozwolić na lepszą rekonstrukcję sygnału² Co to za magiczna wiedza ? Pisałem trochę wyżej, że kompresja się uda jeżeli sygnał będzie kombinacją liniową niewielu wektorów bazy transformaty. Zatem, jeżeli mamy dobrze dobraną do klasy sygnałów bazę i wiemy że sygnały z klasy którą rozważamy mają w niej przedstawienia rzadkie, możemy po stronie odbiorcy zapytać: jaki sygnał będący kombinacją liniową niewielu wektorów bazy transformaty da nam w bazie pomiarowej nasz wynik?

Okazuje się, że odpowiadając na to pytanie w wielu przypadkach jesteśmy w stanie zrekonstruować rzeczywisty sygnał, który tak niechlujnie pomierzyliśmy. W jeszcze większej ilości przypadków jesteśmy w stanie odtworzyć sygnał bliski temu wyjściowemu. Problem: jak to zrobić?

Sposób jest taki: sprowadzić zagadnienie do problemu optymalizacji. Więzy, czyli ograniczenia na sygnał zadane są przez początkowy pomiar. Jeżeli wektory pomiarowe oznaczymy przez e₁,...,e_K a wyniki naszego pomiaru (a więc współczynniki w rozkładzie rzutu wektora OBRAZ na podprzestrzeń generowaną zbiór pomiarowy) przez a₁,...,a_K ograniczenia na poszukiwany sygnał X dają się zapisać jako:

<e₁|X>=a₁, <e₂|X>=a₂,...<e_K|X>=a_K.

Teraz drugi warunek na X, który pozwoli nam wybrać jeden wektor z tej podprzestrzeni. Złym, choć naturalnie narzucającym się sposobem jest poszukiwać wprost wektora którego przedstawienie będzie najrzadsze w bazie transformaty. Złym bo prowadzącym do olbrzymiej, niewykonalnej w praktyce - ilości obliczeń. Pomysł wieć jest taki, żeby zminimalizować pewną normę na przstrzeni sygnału. Okazuje się jednak, że minimalizując (znowu narzucającą się) normę euklidesową | |₂ na ogół dochodzimy do wektora, który nie ma przedstawienia rzadkiego w bazie transformaty. Rozsądnym kompromisem pomiędzy obydwoma podejściami jest minimalizacja normy | |₁ powiązanej z bazą tranformaty

F_1,1, ..., F_M,N

tzn normy takiej, że:

|b_1,1 * F_1,1+ ...b_M,N *F_M,N|₁ = |b_1,1|+...+|b_M,N|

Taki problem jest zagadnieniem klasycznej optymalizacji wypukłej i sposoby jego rozwiązywania są dobrze znane.

Są dwa wybory, których trzeba tu dokonać. Pierwszy to - i jak mawiają Niemcy: hier liegt der hund begraben - wybór bazy transformaty. To ona musi być dobrana do klasy sygnału.
Drugi to wybór zbioru pomiarowego. Okazuje się, że rozmieszczenie wektorów którymi mierzymy sygnał "większość" jest dobra, tzn. można owe wektory wybrać praktycznie losowo. Natomiast ich ilość - aby dostać dobrą rekonstrukcję sygnału musi być rzędu A*log(B) gdzie A to rzadkość sygnału (a więć ilość elementów o niezerowych współczynnikach w przedstawieniu sygnału w bazie) a B to rozmiar tej bazy.

Podobno przykłady pokazują, że teoretyczne ograniczenia w poprzednim paragrafie w praktyce można jeszcze proprawić. Czyli jeśli empiria pokazuje, że jeśli mamy dobrą bazę, to sygnały spotykane w codziennym życiu nawet przy mniejszej ilości pomiarów dają się nieźle zrekonstruować.

Wydaje się, że wielki jest potencjał tych metod. Zarówno do przesyłania i transmisji sygnałów, jak i do rekonstrukcji - np. w obrazowaniu medycznym (choćby tomografia), itd. Zasosowanie do innych sygnałów niż obrazy - np mowy też może być ciekawe. Znowu przesyłanie jest ok, ale jeszcze ciekawsza może być rekonstrukcja z bardzo słabego albo silnie zniekształconego sygnału. Wydaje się, że od specyficznych zastosowań, np. obrazy twarzy itd. itd. można dobrać doskonale pasujące bazy i ich zastosowanie może dać ogromne, nieosiągalne dziś poziomy kompresji. Wydaje się też, że metoda może dać niezwykle tanie i energooszczędne a dokładnie obrazujące czujniki, kamery itp.

Słowem - matematyka w służbie ludzkości. Tak, stanowczo - jeśli chcecie zostać guru telekomunikacji, przetwarzania sygnałów itd. za lat 5-10 uczcie się o compressed sensing już dziś.

¹OK. W rzeczywistości wystarczy nam że sprowadzimy do takiego przedstawienia w bazie, które dobrze się pakuje kompresją bezstratną. "Rzadkość" przedstawienia (a więc duża ilość współczynników zerowych w przedstawieniu w bazie) daje możliwość dobrego upakowania. Dla dyskusji compressed sensing pozostanę przy tej cesze.

²Zupełnie jak paleontolog który z fragmentów kości dinozaura jest w
stanie zrekonstruować zwierzę, ponieważ wie, że rekonstruuje dinozaura.

Eklektyczno - chaotycznie: lektury późnozimowe

2009-02-18T17:25:00.003+01:00

Coś nieskładnie mi idzie ostatnio pisanie. Dużo się dzieje - dla normalnego blogera byłaby to właśnie okazja do pisania, a mnie natłok wydarzeń jakoś zniechęca. A kto wie czy nie zaczyna nudzić.
Zamiast przejmować się więc rosnącym z dnia na dzień kredytem we frankach, teutońskim butem na zadku Jana Marii i podniecać czy lis (wiadomo jaki) nie jest przypadkiem farbowany (choć farbowano go na oczach wszystkich), przemyśliwuję jak ma się grzecznie zamknąć i pozwalniać zasoby program który właśnie piszę w pracy, czytam kolejny tom Jasienicy, "Podróż na Beagle" Darwina i nabytki z Amazona (z nieodległych ale już starych dobrych czasów, gdy ceny w dolarach nie odstraszały).

Czytam Jasienicę i tak sobie myślę: Czemu nikt w Polsce nie weźmie się za zrobienie filmu historycznego o dymitriadach ? Rosjanie zrobili "1612" (którego jeszcze nie ma w wypożyczalni z której korzystam, obiecują na koniec lutego), ale znacznie ciekawsza jest historia trochę wcześniejsza, której rok 1612 jest finałem. Osadzenie fałszywego cara, druga próba dokazania tej sztuczki i niesamowita historia Heleny Mniszchówny, uczestniczki tego dramatu, z rożnych powodów, jak sądzę głównie politycznych, nie trafiły do literatury popularnej (a może tylko popularyzowanej). A temat i historie lepsze niż u Sienkiewicza - choć niewątpliwie jego pióro najlepiej by się do tego nadało. Nie widzę powodu, dlaczego teraz nie zrobić na ten temat porządnego filmu historycznego w starym dobrym stylu dla w miarę dorosłego widza. I bankierzy, zamiast zajmować się kombinacjami na poziomie cinkciarza żeby wyłudzić ciężko zarobione pieniądze od ludzi, zrobiliby coś do czego zdaje się są powołani - zainwestowaliby w jakieś uczciwe przedsięwzięcie które przyniosłoby i pożytek i pieniądze, które sam ochoczo zaniósłbym do kina.

Z zupełnie innej beczki. Mignęła mi rocznica urodzin Darwina. Rozmaite blogi się rozpisały, google zamieścił baner. A ja - daję słowo, zupełnie przypadkowo - kupiłem jakoś w grudniu "Podróż na okręcie Beagle" i jakoś tak w styczniu powolutku zacząłem się wieczorową porą przegryzać. Bardzo ciekawa i sympatyczna lektura. Nie przygodowa może, ale par excellance podróżnicza w starym dobrym XIX wiecznym stylu (co ja dziś z tym "starym dobrym" ?). U nas - era Paskiewicza, ciężki but przycisnął kraj po świeżym jeszcze w pamięci Powstaniu Listopadowym, a z Anglii młodziutki 21-letni Karol Darwin świeżo upieczony absolwent Cambridge po wydębieniu zgody rodziny skorzystal z niezwykłej propozycji która zmieniła jego życie. Na okręcie Beagle dowodzonym orzez niewiele starszego od niego, 26-letniego kapitana FitzRoya, dzierżąc stanowisko stanowisko przyrodnika wyprawy, wyruszył z Devenport tuż po Bożym Narodzeniu roku 1831. Wyruszył w czteroletnią podróż dookoła świata (ze szczególnym uwzględnieniem Ameryki Południowej). Gdy wrócił z niej po wielu latach, nigdy już więcej nie poważył się na ułamek nawet podobnej przygody, jeżeli przygodę wiązać z fizycznym niebezpieczeństwem i wielką ilością wydarzeń, resztę życia, gnębiony prawdziwymi i urojonymni chorobami, pędząc spokojnie na angielskiej prowincji. Jeżeli jednak przygodę pojąć szerzej, to ta prawdziwa i naprawdę wielka, zgłębienie sposobu w jaki zmienia się świat przyrody, w jaki powstają i giną gatunki, dopiero tu przed nim. Na razie widzę więc tylko młodego Karola, jak galopuje przez pampasy, wspina się na skały, pokonuje rwące rzeki, nocuje na południowoamerykańskich pustkowiach w towarzystwie gauchów, zbiera pieczołowicie okazy przyrodnicze, obserwuje i zastanawia się nad obyczajami i rozmieszczeniem zwierząt, nad geologią i geografią stron które odwiedza. Wielkie pytania na które zainicjuje wielkie odpowiedzi gdzieś tu się już błąkają - prowokują do nich kości kopalnych zwierząt, rożnorodność odmian wśród takich samych gatunków, identyczność cech u niespokrewnionych, zaduma nad eonami czasu w jakich dokonywała się- już chciałoby się użyć słowa "ewolucja" - zmiana a których spetryfikowane przekroje obnażają przed nim strome brzegi rzek czy terasy równin Patagoni. Warto zwrócić uwagę na pewną rzecz, o którym kiedyś na tym blogu wspominałem, a która zdumiewa i Darwina. Otóż niewyobrażalna dla naszego ludzkiego doświadczenia jest ilość czasu, w którym widzialne skutki kumulują się z bardzo małych przyczyn i wolnych procesów. Mam wrażenie, że w istocie ta obca naszemu doświadczeniu skala czasowa jest w sensie psychologicznym podobną barierą do przeskoczenia dla zdroworozsądkowego podejścia jak te dziwne rzeczy z czasem i przestrzenią które opisuje teoria względności i paradoksalne zjawiska opisywane przez mechanikę kwantową. W "Podróży" zdaje mi się dostrzegam jak Darwin mierzy się z tą myślą. Dzisiejsi ideologiczni wrogowie teorii ewolucji wysuwający przeciw niej sofistyczne argumenty odwołujące się do zdrowego rozsądku - ani się na taką rzecz nie zdobędą ani chcieć będą próbować.
Słowem: "Podróż na okręcie Beagle" to dobra i nic się nie starzejąca lektura. Dobra sama dla siebie a jeszcze lepsza czytana z perspektywy historycznej.

Skoro już się rozpisałem o tym com ostatnio czytał bądź przeczytał, wspomnę jeszcze o małej ale uroczej książeczce Ernesta Nagela i Jamesa R. Newmana "Gödel's proof". To popularyzatorskie dziełko, choć dość stare (jakiś początek lat 50-tych) trzyma się dzielnie i jest jedną z najprzyjemniejszych znanych mi wprowadzeń do twierdzenia Gödla. Mam wrażenie, że ogólna wiedza jednak na temat tego twierdzenia i jego implikacji, że ta wielka droga jaką odbyto do źródeł prawdy i pewności przekonań pozostała dla szerszej publiczności zapoznana, mimo, że w literaturze filozoficznej wiele powiedziano o jego znaczeniu, o niemal wstrząsie jaki spowodowało w rozumieniu podstaw matematyki, a własciwie ogólnie: w epistemologii.
Stanowczo za mało było takich prac jak ta Nagela i Newmana, a w naszej literaturze to już w ogóle mizeria. W szczególności ominęła nas przyjemność czytania w języku polskim książki Douglasa Hofstedtera (który jest autorem porzedmowy i redaktorem mojego wydania "Gödel's proof") "Gödel, Escher, Bach: An eternal golden braid", beststelera na zachodzie w latach 80-tych. Nb. egzemplarz tej ostatniej, zakupiony w jakimś antykwariacie przywiozłem sobie z mojej pierwszej wizyty w USA i niestety zaginął mi na amen. Wydaje mi się, choć nie napiszę dlaczego, że w naszym akurat kraju poprawa rozumienia tej i pokrewnej tematyki na poziomie nawet popularnym byłaby ze wszech miar pożadana. Słowa takie jak "Prawda" (zawsze z dużej litery) są jednym z najczęstszych fetyszów politycznych na Wisłą, że nie wspomnę o ich znaczeniu w słowniku i retoryce religijnej. Warto byłoby się coś więc o jej istocie dowiedzieć - nie żebym mieszał potoczne rozumienie ze ściśle specjalistycznym, ale dla mnie przynajmniej jakoś się to przenika i medytacje nad "technicznym" pojęciem prawdy są przyczynkiem do refleksji ogólniejszej natury. Przy okazji, interesujące rozważania - choć kusi mnie by trochę sprostować/podyskutować jak znajde więcej czasu - na pokrewne tematy pojawiły się na rekomendowanym na prawym marginesie blogu Fiksacje .

Kończę ten wyjątkowo eklektyczny, choć spięty przecież klamrą jedności miejsca i czasu - jak w starej dobrej (znów !!!) tragedii greckiej - lektur ktore go zainspirowały, post.

Do pracy w siedem kurew

2009-02-06T16:51:00.002+01:00

Nakręcam się rano wiadomościami w telewizji i szybkim oglądem pogody za oknem - zwykle pada albo mgła albo wielki mróz albo chlapa albo nieznosny upał. Generalnie wychodzę z domu z "kurwa" na ustach. Pod domem mam przystanek. Patrzę - jeżeli akurat nie ucieka mi właśnie mój autobus - kręci się po nim nieprzebrana chmara studentów i czeka, oczywiście, na ten sam co ja. Druga "kurwa".
W końcu przyjeżdża: spóźniony i napchany. Chmara rzuca się a ja za nią. Rozpęd i wbijam się w biomasę na tyle głęboko, żeby zamykające drzwi nie obcięły mnie jako odrywającego się od niej gluta. Jestem w środku. Gdyby wszyscy na raz wzięli oddech autobus by niechybnie eksplodował. Rośnie w nas nienawiść. Rozglądam się na ile to możliwe: jest. Patrzy na mnie tym swoim złym wzrokiem. Ma beret na głowie. "O ty" myślę sobie. W XVII wieku za takie patrzenie skwierczałabyś już, za rzucanie uroków, na stosie, czarownico jedna. Symetria. Nienawidzę jej tak jak ona mnie. Trzecia "kurwa" (w myślach).
W końcu dotelepujemy się do pierwszego przystanku przy Akademi Rolniczej (a nie, nie, przepraszam, przy Uniwersytecie - ja pierdolę - Rolniczym). Przyszli dyplomowani żeńcy, oracze i poganiacze krów wysiadają. Pierwsza transza studentów - druga na kampus UJ zostaje. Możnaby ewentualnie pomyśleć o głębszym oddechu, może nawet poczytać, może nawet usiąść. Czwarta "kurwa" z wyrazem błogości.
Ale nie. Ciśnienie nie może opaść. Odzywa się... Wysokość głosu odpowiada progowej częstotliwości bólu, głośność nieproporcjonalna do budowy ciała, wchodzi dość szybko na obroty i zaczyna szczekać (do koleżanki, kolegi, komórki itp):
do której wczoraj siedziała,
  co jej mama z domu dała,
    czemu nie widziała się z chłopakiem,
      że ćwiczenia mają z burakiem,
        czego sobie nie kupiła,
          co gdzie i po co sobie wsadziła.
Zaciskam zęby i usiłuję opanować pękanie pod czaszką. Ile to jeszcze przystanków zanim sobie pójdzie? Siedem? Nie! Osiem! Piąta "kurwa".
W końcu jest kampus, wysiadają. Pusto. Książki otwierać już nie warto - tylko trzy przystanki. Autobus uwolniony od ciężarów, podskakuje wesoło na wybojach. Trzeba wykorzystać - rozluźniam mięśnie i traktuję tę trzęsiączkę jako ćwiczenie relaksacyjne. W końcu przystanek ostatni. Jego Ekscelencja, Jaśnie Panujący Menadżer Autobusu w dawnych czasach zwany kierowcą zdążył już wyświetlić "Zjazd do zajezdni" i łaskawie otwiera drzwi. Wiadomo, zjazd do zajezdni, więc nie będzie podjeżdżał do przystanku tylko wypuszcza nas niedobitków na środku zatoczki. Zamykam oczy i skaczę w tą otchłań jaka pojawia mi się pod nogami, bez pewności co mnie czeka w szaroburych odmętach kałuży. Chwila strachu... żyję! Tylko po kostki. Szósta "kurwa" z wdzięcznością.
Prawie, prawie jestem u celu. Przeszkoda ostatnia. Ulica. Staję, biedny żuczek, na przejściu dla pieszych i czekam zlitowania. Sznur samochodów. W nich zadowoleni uśmiechnięci ludzie. To jest życie! Jedzie sobie i pierdoli, że podzielił komuś świat na pół bez szans dostanie sie na tę druga połowę. Jest luka - możnaby przejść, ale nadjeżdżający kierowca też to dostrzega. Rozszerzone źrenice, silnik nabiera obrotów. Idealna symbioza człowieka i maszyny. Przecież nie będzie frajerem, żeby puścić pieszego i stracić bezcenne 10 sekund, no nie? Mijają minuty a one jadą. Dojrzewam do skoku. Myślę o marności tego świata i rzucam się pod nadjeżdżający samochód. Pisk opon. Kolejna "kurwa" - tym razem nie moja. O jak miałbym karabin maszynowy... Boże, to byłoby piękne... Dopadam drugiego brzegu ulicy. To już niedaleko i żadnych przeszkód więcej. Ósma "kurwa" dopiero jak otworzę e-maila w pracy...

Sztuka i sztuczki

2009-01-25T21:01:00.003+01:00

W wielu językach indoeuropejskich słowa "sztuka" i "sztuczny" mają, jak w języku polskim wspólny źródłosłów. W angielskim: "art" - "artificial", w niemieckim: "künst" - "künstlich", w rosyjskim: "iskusstwo" - "isskustwiennyj", we francuskim: "le art" - "artificielle". To oczywiście nie przypadek, tylko utrwalony w głębinach języka fakt, że sztuka jest wytworem człowieka. Piękno natomiast, które czasem, naiwnie, jest uważane za nieodłączny atrybut pozwalający uznać wytwór za "sztukę" tkwi również w "naturze" czyli zaprzeczeniu sztuki.
Nic dziwnego, że nie jest dla nas niezwykłe rozumieć sztukę szeroko rozciągając ją na wszelkie wytwory ludzkie. Ale w wąskim pojęciu przez sztukę rozumie się te, które w zasadzie są zupełnie zbędne albo raczej zbytkowne, tzn. nie zaspokajają ani nie ułatwiają jakichś łatwo definiowalnych i elementarnych z punku widzenia egzystencji potrzeb. W pierwszym rzędzie obliczone na efekt estetyczny (stąd naiwne przekonanie o jakim wspomniałem) ale również na komunikacyjny, wyrażający idee filozoficzne, symbolizujący - władzę, miłość, wiarę,strach etc.
W tym kontekście obszerna część nauki ma wiele wspólnego ze sztuką - jest wytworem ludzkim, jest sztuczna, nie zaspokaja potrzeby pierwotnej ale dalsze -estetyczne i inne tego typu. Czasem sztuka przenika się wprost z nauką.
Ostatnio - stąd w ogóle pomysł tego postu -natrafiłem na niesamowite napędzane wiatrem kroczące rzeźby holenderskiego artysty Theo Jansena. Piękny obrazek można znaleźć choćby w reklamie BMW na YouTube:

Za tymi niezwykłymi rzeźbami-maszynami kryje się sporo ciekawej matematyki i trochę ciekawej historii. Sposoby zamieniania ruchów najprostszych - jak obrotowy - na skomplikowane to esencja konstrukcji mechanicznych w ogóle. Zdumiewająca i chyba dziś trochę funkcjonująca na obrzeżach powszechnej uwagi to sztuka (bo wszelkie mechanizmy są pochowane przed nami za osłonami, obudowami a ciężar zainteresowania techniką przeniósł się w kierunku komputerów i cyfrowego świata). Pełno tam wspaniałych pomysłów, często genialnych w swojej prostocie. Maszyny Jansena przywodzą na myśl pomysły wielkiego matematyka rosyjskiego Pafnucego Lwowicza Czebyszewa (tego od wielomianów Czebyszewa i od twierdzenia Czebyszewa o rozmieszczeniu liczb pierwszych). Pracując nad mechanizmami przekładającymi ruch kołowy na inne bardziej skomplikowane jego wymyślił między innymi maszynę kroczącą której zasadę działania można poznać również podglądając YouTube:

Maszyna Czebyszewa doczekałą się prototypu i prezentacji na Wystawie Światowej w Paryżu w roku 1878. Geometria? Technika? Sztuka? W kontekście Theo Jansena - czemu nie?
Jest w internecie kilka programów, które pozwalają na samodzielne zabawy z konstrukcjami ala Czebyszew czy Jansen. Wspomnę dwa: popularny ostatnio i zabawny Phun i niesamowity klasyk do zabaw z geometrią o ogromnych możliwościach (ach ta niemiecka robota!): Cinderella.
Przy okazji, kiedy rozmyślam o związkach nauki, sztuki i techniki, przychodzi mi też do głowy sztuka robienia sztuczek jakimi są efekty specjalne. Zapierające dech w piersiach sceny albo zadziwiające postacie kreowane w filmach - toż to sztuczki na miarę sztuki. To stara profesja. Czyż niektóre zadziwiające dzieła jednego z największych uczonych epoki Hellenistycznej - Herona z Aleksandrii -nie w takim celu (tzn. jako efekty specjalne) zostały stworzone?
Zresztą epoka hellenistyczna podniosła dociekania naukowe na rzecz sztuki do rangi osobnej nauki. Tzw. skenografia czyli umiejętność iluzji trójwymiarowych stosowana w malarstwie, rzeźbie, architekturze i w końcu w scenografii spektakli teatralnych wywodzi z siebie gmach geometrii rzutowej - ważnej do dziś i w technice i w malarstwie i będącej jednym z fundamentów współczesnej matematyki.
Wracając do mechanizmów podobnych tym Jansena - sprawdźcie rozdział "Kinematyka" w książce Hilberta i Cohn-Vossen "Geometria poglądowa". Można się z niego dowiedzieć niedużo, ale za to ciekawych rzeczy na ten temat.

Skojarzenia: złożoność, V.I.Arnold, testy pierwszości, Euler, bezsenna noc u teściów

2009-01-18T14:28:00.008+01:00

Niekoniecznie w tej kolejności, bo skojarzenia powinny być reprezentowane przez graf raczej niż ciąg słów.

Jakiś czas temu wpadł mi w ręce tekst wykładu V.I.Arnolda, dotyczącego pewnej miary złożoności skończonego ciągu zero-jedynkowego. Cały artykuł dostępny jest gdzieś w internecie postaram się streścić go nieco poniżej.

Weźmy ciąg o ustalonej długości n, którego elementami są 0 i 1. Tzn. interesują nas funkcje f:{0,…,n-1} -> {0,1}. Zbiór takich funkcji możemy utożsamić z (Z₂)ⁿ

Rozważmy teraz trzy operacje

S,I,F: (Z₂)ⁿ -> (Z₂)ⁿ

I(f) = f (I jest identycznością)

S(f)(i) = f(i+1 mod n) (S jest operatorem przesunięcia cyklicznego w lewo)

F = S + I (mod 2)

F(g)(i) = g(i)+g((i+1) mod n) (mod 2)

Przykład:

n=4 g = [1,0,0,1]

I(g) = [1,0,0,1]

S(g) =[0,0,1,1]

F(g) = [1+ 0, 0+0, 0+1, 1+1] = [1,0,1,0]

Wszystkie operacje powyżej są liniowe nad Z₂.

Operacja F ma ciekawe własności:

Własność 1.

F((Z₂)ⁿ) = {f∈(Z₂)ⁿ | #f^--1({1}) jest parzyste}

Dowód:

Niech G: (Z₂)ⁿ-> Z₂ będzie zdefiniowana następująco:

G(f) = ∑_{i∈{0,...,n-1}}f(i). Wówczas, GF = G(S+I) = GS+GI = GI+GI = 0

Dowodzi to zawierania "⊂".

W drugą stronę.

Niech H: (Z₂)ⁿ->(Z₂)ⁿbędzie zdefiniowane następująco

H(f)(j) = ∑_{i∈{0,...,j-1}}f(i)

przy czym sumę po zbiorze pustym przyjmujemy jako 0.

Wówczas, jeżeli ilość jedynek w ciągu f jest parzysta, to FH=I. Bo:

FH(f)(j) = ∑_{i∈{0,...,j-1}}f(i) + ∑_{i∈{0,...,j}}f(i) = f(j) dla j = 0,...,n-2

FH(f)(n-1) = ∑_{i∈{0,...,n-2}}f(i) + ∑_i∈_∅f(i) = ∑_{i∈{0,...,n-2}}f(i) + ∑_i∈_{0,...,n-1}f(i) = f(n-1)

W ostatniej sekwencji równości wykorzystaliśmy założenie o parzystej liczbie jedynek.

Zawieranie "⊃" dokazane.

Własność 2:

f∈F((Z₂)ⁿ) ⇒ #F^-1({f}) = 2

Dowód:

Niech 0 oznacza [0,...,0] a 1 [1,...,1]

Wówczas, co łatwo sprawdzić (wystąpienie 0 i 1 w ciągu gwarantuje, że w obrazie wystąpi 1):
ker F = {0,1}

zatem

jeżeli F(f) = F(g) to f-g = f+g ∈{0,1}

To kończy dowód, bo f+1 =/= f i F(f+1) = F(f)

Własność 3:

Dla każdego f ∈ CG(n) istnieje j > i ≥ 0 t. że Fⁱ(f) = F^j(f)

Dowód:

Prosty wniosek ze skończoności zbioru (Z₂)ⁿ

Arnold zdefinował złożoność ciągu z (Z₂)ⁿ jako

cplx(f) = min { j>0 | istnieje i ≥ 0 istnieje j > i Fⁱ(f) = F^j(f) }

Z własności 1,2 i 3 przy pewnej dozie pracy (jeśli ktoś nie ma ochoty sam powalczyć - odsyłam do Arnolda) można wydedukować pewne wnioski na temat schematu struktury (może lepiej powiedzieć będzie grafu) odwzorowania F. Piszę "schematu", bo w zależności od n, sama struktura zmienia się bardzo mocno.

Postaram się, dla objaśnić z grubsza co i jak.

Na poniższym rysunku (podobne można znaleźć w pracy Arnolda) przedstawiłem graf odpowiadający odwzorowaniu F dla n=3. W węzłach grafu znajdują się ciągi zero-jedynkowe długości 3 strzałki zaś pokazują jak transformacja F działa na tych ciągach.

Okazuje się, że graf przekształcenia dla różnych n zawsze zbudowany jest według tego samego schematu. Mamy więc:

- zawsze jeden punkt stały 0

- do punktu stałego "przyczepione" jest binarne drzewo o krawędziach skierowanych "do korzenia"

- pozostała cześć grafu rozspaja się na podgrafy, z których każdy posiada cykl o długości > 1

- do każdego elementu należącego do cyklu w podgrafie, "przyczepione" jest drzewo binarne o krawędziach skierowanych "do korzenia", izomorficzne (jeśli, oczywiście, zaniedbać etykiety w węzłach) z drzewem "przyczepionym" do punktu stałego

Można wypowiedzieć dalsze twierdzenia uszczegóławiające informacje o budowie grafu (w szczególności dotyczące długości cykli i głębokości drzew), wspomina o tym również Arnold.

Fenomen bardzo podobny pojawia się w innych grupach skończonych. Arnold odsyła do swojego artykułu, do którego niestety nie mam dostępu w "Uspiechach Matiematiczeskich Nauk"). Ja jednak, zupełnie przypadkowo i w wiele miesięcy po tym jak przeczytałem artykuły Arnolda, natrafiłem na pracę w której dowodzi się, że identyczny schemat budowy ma graf następującego przekształcenia.

Tym razem zaczynamy od liczby pierwszej, a właściwie multplikatywnej grupy niezerowych elementów ciała reszt modulo pewna liczba pierwsza p.

Naszym przekształceniem jest x->x². Badanie tego przekształcenia (ale i innych przekształceń kwadratowych) jest ściśle związane z testami pierwszości pewnych liczb specjalnej postaci. Dla przekształcenia x->x², dowodzi się w nietrudny a obficie korzystający z małego twierdzenia Fermata i twierdzenia o pierwiastkach pierwotnych sposób, że struktura grafu jest jest identyczna jak ta u Arnolda.

To przypomniało mi pewną noc spędzoną u moich teściów, kiedym przesadnie objedzony po kolacji próbowałem najpierw czytać a potem, kiedym zgasił światło (małżonka spała smacznie) nie mogąc zasnąć próbowałem sobie udowodnić na jakiś prywatny sposób kawałek prawa wzajemności dla reszt kwadratowych. Mianowicie chodziło o takie

Twierdzenie (Euler):

Niech p będzie liczbą pierwszą. Wtedy równanie x² = -1 (mod p) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy p = 1 (mod 4) dla pewnego k.

Dowód (bezsenną nocą):

W jedną stronę jest łatwo. Jeżeli x²=-1 (mod p) ma rozwiązanie to z Małego Twierdzenia Fermata wiemy, że

x^p-1 = 1 (mod p)

zatem

(x²)^(p-1)/2 = 1 (mod p)

czyli

(-1)^(p-1)/2 = 1 (mod p)

więc

(p-1)/2 musi być parzyste.

W drugą stronę jest ciekawiej.

Przyjmijmy, że p = 4k+1 i załóżmy dla rozumowania niewprost, że x² = -1 nie ma rozwiązania.

Rozważmy Z_p^* - grupę multiplikatywną ciała Z_p (tj. ciała reszt modulo p).

Niech (Z_p^*)² = {x² | x ∈ Z_p^* }

UWAGA!!! zmieniam tu znaczenie górnego indeksu w stosunku do pierwszej części postu (tam bowiem oznaczał potęgę kartezjańską)

Łatwo sprawdzić, że (Z_p^*)² ⊂ Z_p^* jest podgrupą (operacja _² jest endomorfizmem grup).

Podobnie łatwo widać, że indeks (Z_p^*)² w Z_p^* wynosi 2. Równanie x² = k (mod p) ma bowiem nie więcej niż dwa rozwiązania i jeśli ma jedno, to posiada też drugie, różne od niego (jeżeli x₁ jest rozwiązaniem to p-x₁ również, nie może zaś być p-x₁ = x₁ (mod p) bo wtedy 2x₁ = 0 (mod p) co jest niemożliwe).

Rząd grupy (Z_p^*)² jest więc parzysty i wynosi (p-1)/2 = 2k.

Rozważymy teraz iterację endomorfizmu _² w podgrupie (Z_p^*)².

Gdyby endomorfizm ten nie był automorfizmem (izomorfizmem na siebie) tej podgrupy, mielibyśmy dla pewnych x, y w Z_p^*

x² ≠ y² (mod p)

i

x⁴ - y⁴ = 0 (mod p),

co za tym idzie

(x² - y²)(x²+y²) = 0 (mod p)

a więc

x² + y² = 0 (mod p)

a wtedy x²*(y^-1)² + 1 = 0 (mod p )

i w końcu

(x*y^-1)² = -1 (mod p)

wbrew założeniu.

Przyjrzyjmy się bliżej temu automorfizmowi. Przeprowadza on oczywiście 1 w 1. Dla każdego innego od 1 x mamy dwa możliwe przypadki:

I) x^-1 = x^2ⁿ dla pewnego n

lub

II) x^-1 =/= x^2ⁿ dla wszystkich n

W pierwszym z tych przypadków x^2²ⁿ = x i długość orbity jest parzysta. W drugim, ponieważ (x^{2^k})^-1 = (x^-1)^{2^k}, orbicie x odpowiada równoliczna z nią orbita x^-1.

Zatem, zbiór (Z_p^*)² \{1} można rozbić na podzbiory z których każdy jest albo orbitą o parzystej długości, albo składa się z dwóch orbit równolicznych. Jego rozmiar jest zatem parzysty. Pamiętajmy, jednak, że to rząd (Z_p^*)² (więc rozmiar zbioru o {1} większego) miał być parzysty. Sprzeczność.

Przyglądając się bliżej temu dowodowi, można wydedukować obrazek podobny do tego wyżej, tym razem z odwzorowaniem x->x² w roli głównej.

Acha, oczywiście mój zawiły dowód powyższego twierdzenia żadną miarą nie jest optymalny. Absolutna klasyka to dowód podany choćby w knolu u Włodka.

Filozof na czas zamętu

2009-01-07T23:41:00.000+01:00

Kryzys finansowy szaleje. Dziś okazało się, że niemal 700 000 ludzi straciło w grudniu w Stanach pracę. Na Bliskim Wschodzie, jak co chwilę, wojna. Po miesiącach skubania Hamas jest pacyfikowany wraz z cynicznie wykorzystywanymi w charakterze żywych tarcz cywilami, przez wojsko izraelskie (które do szczególnie delikatnych w tych sprawach nie należy). Skoro zima się sroży mamy też doroczny taniec z gazem. Straszą katastrofą energetyczną. Tragicznym zrządzeniem losu strategiczne dla Europy zasoby tego surowca są akurat we władaniu Rosji, zdemoralizowanego nieodpowiedzialnego kraju, który wszystkiego - czegóż by więc nie i gazu - używa jako broni politycznej śniąc niekończący się sen o potędze i władzy. Słowem przyszłość maluje się niepewnie i ciężko zdobyć się na optymizm.
W taki czas, jakby szczęśliwym przypadkiem, podczytuję sobie w autobusach (taki mam zwyczaj, poza tym nie da się przez zmrożone szyby kontemplować widoku zmarzniętego miasta) "Rozmyślania" Marka Aureliusza.
Stary cesarz, wychowanek stoików, z wielkim i wiecznie szarpanym niepokojem na rubieżach i intrygą wewnątrz państwem na głowie, pisał sobie coś w rodzaju starożytnego bloga. Pisał dla siebie. Przepowiadał sobie sentencje, cytaty, napominał się, słowem rozmyślał co zawsze jest rozmową z samym sobą. O czym rozmyślał Marek Aureliusz ? Rozmyślał przede wszystkim o niepodległości człowieka, siebie samego. O sile wewnętrznej która jeśli doskonalona pozwala człowiekowi zachować równowagę i zgodę z sobą w największym zamęcie. Sile, która płynie nie tylko z natężenia woli ale bardziej z namysłu nad światem, z poszukiwania proporcji i właściwego znaczenia rzeczy. Rozmyślał o tym co słuszne, co ważne i co nieważne. Nie o obojętności czy nieczułości ale o zrozumieniu nietrwałości postaci świata, w tym również tego złego co nas spotyka.
Marek Aureliusz napomina się - niemal czuć w "Rozmyślaniach" owe wichry namiętności jakie bez woli człowieka targają nim: żądzy sławy bogactwa, zemsty, gniewu i zniecierpliwienia. To znane wszystkim uczucia i reakcje i cesarz pewnie też im ulegał. Ale prawda jest taka, że każdy z tych porywów czyni z człowieka trochę niewolnika, czyni w nim jakieś spustoszenie. Filozofia Marka Aureliusza i wtedy kiedy karci się i napomina i kiedy obserwuje czym jest i jak funkcjonuje to wszystko co nas otacza, mówi nam, że w istocie jesteśmy panami samego siebie. Że to czy ulegamy tym czy innym uczuciom zależy od nas. Drogą, która prowadzi do tego by ową niepodległość, zgodę z sobą uzyskać to zrozumienie tak mechanizmu działania świata (a jego zasadą jest zmiana) jak i doraźności naszych przygód w świecie. Pod spodem jest głęboka wiara - odżywająca u myślicieli religijnych i filozofów na przestrzeni dziejów - w głęboki sens i racjonalność rzeczywistości. W swoisty "najlepszy możliwy świat". Marek Aureliusz nie pozostaje jednak bezkrytycznym panglosistą (ten termin ukuje się nb. w 17 wieków później). Często formułuje swoje myśli w postaci alternatywy: albo świat jest racjonalny i w istocie wszystko, nawet to co dzieje się w nim źle dziać się tak musi i jest w istocie dobre z perspektywy całości, albo jest nieracjonalny, ale wtedy wszystko jest i tak bez sensu - tym mniejsze znaczenie tego co nas spotyka. W każdym jednak przypadku jesteśmy w stanie ocenić nasze własne postępowanie: czy możemy być z niego dumni, czy nie wstydzimy się go, jakie pobudki nami kierują, czy potrafimy przezwyciężyć płoche namiętności. Jeżeli na te pytania potrafimy odpowiedzieć tak - postępujemy zgodnie z sobą, w sposób godny człowieka. To nie przychodzi samo. Wymaga ćwiczeń - po to przecież między innymi te zapiski.
Smutno mi czytać, kiedy cesarz, z cichym chyba żalem przemyconym w lapidarnych zdaniach pisze, że nie jest bardzo bystry i że nie jest filozofem. Bo może i do końca nie jest -jest po prostu mądrym, stroskanym, starającym się trzymać swoich zasad, próbującym zrozumieć świat człowiekiem.
Marek Aureliusz często pisze, wspominając o przemijaniu o zapominaniu, że możni i wielcy swoich czasów nikną w pamięci nadchodzących kolejno pokoleń. Taki los i dobrych i złych, tak jak śmierć jest losem wszystkich ludzi. Jednak tak jego dzieło jak i jego imę przetrwało. Jakieś 300 lat później wielkie państwo którym rządził zniknie rozszarpane przez barbarzyńców, wyrosną nowe religie, pojawią się inne państwa. Ale niemal dwa tysiąclecia później, ktoś w autobusie 114 będzie czytał "Rozmyślania" i czerpał spokój z cesarskich wynurzeń.

Remanenty i plany

2008-12-29T11:10:00.002+01:00

Jak i w zeszym roku, krótkie podsumowanie tegorocznego blogowania. Najpierw liczby. Maszynka do mierzenia czyli analytics.google.com pokazuje że od 1 stycznia 2008 do dziś blog miał 3362 wizyt, które złożyło 2548 odwiedzających doknując 4688 odsłon stron. Średni czas spędzony na blogu to 1 minuta 14 sekund.
Absolutnym hitem tegorocznym jeżeli chodzi o odsłony, okazał się post "Wypracowanie: jak spędziłem wakacje" . Zdaje się, że wyszukiwarki podawały go poszukującym inspiracji uczniom (co potwierdza zawarte w tym poście domniemanie, że "wakacyjny" temat wypracowań jest nieśmiertelny). Nie wiem, czy młodzież szkolna skorzystała z tego - przecież nie wypracowania, to był żart - tekstu. Jeśli tak, to nauczycieli w jej i swoim imieniu przepraszam. Mam nadzieję, że chociaż oceny były kiepskie.
Ten rok to niestety mniej wpisów - tendencja jaką chciałbym zatrzymać. Po części dlatego, że próbowałem (ze skutkiem sporo poniżej oczekiwań) uruchomić inne projekty. W szczególności na początku roku trochę popchnąłem do przodu blog cddr - chciałbym do tego wrócić, więc mam nadzieję, że ponadpółroczny zanik aktywności tam to nie oznaka absolutnej śmierci tamtego bloga. Szczególnie, że co jakiś czas nachodzą mnie jak natręctwa tematy o jakich możnaby tam napisać.
W listopadzie wystartowaełm z projektem tłumaczenia Carla Fryderyka Gaussa "Disquisitiones Arithmeticae". Tu również projekt zaciął się w jakimś momencie (zbiegającym się w czasie ze zmianą projektu w mojej pracy). Obiecuję reaktywację: szczególnie, że mam przetłumaczone sporo więcej niż to co jest zamieszczone na blogu cfg-da (choć to zaledwie początek samej książki), a sam pomysł, mimo bardzo niewielu zainteresowanych wciąż uważam za wart realizacji.
W brudnopisach, czeka na redakcję kilka tekstów matematycznych, których nie zdążyłem już zamieścić w tym roku. Pisanie o matematyce jest dość męczące (przynajmniej dla mnie) i sporo walki kosztuje doprowadzenie tekstu do godnego publikacji - nawet jeśli chodzi o bloga - stanu. Szkoda, bo chciałbym nieco więcej o matematyce pisać.
Wprowadziłem trochę nowych elementów. Przede wszystkim co jakiś czas publikuję zdjęcie. Mam nadzieję, że ta forma się w miarę podoba i wprowadziła trochę urozmaicenia. Poza tym, pojawiło się kilka wpisów o matematyce i języku Haskell. Też chciałbym utrzymać tą tematykę a nawet poświćeić jej trochę więcej uwagi. Wokół tego języka zgromadziło się niewielkie ale prężne i twórcze "community" więc bardzo uważnie śledzę ten światek i to co się w nim dzieje. Jest kilka szalenie interesujących blogów prowadzonych przez jego przedstawicieli. Szczególnie autor bloga "Neighbouhood of Infinity" stworzył osobną formę, polegającą na dyskusji zagadnień matematycznych ilustrując je kodem w Haskellu. Zresztą rekomendoana przeze mnie książka "The Haskell Road to Logic, Maths and Programming" z grubsza też może zostać zaliczona jako przedstawiciel owej formy literackiej. I ja mam zamiar częściej się ową formą posługiować, szczególnie że na tapecie w tym roku mam kilka arcyciekawych tematów do których świetnie pasuje.
Ponieważ otwieram nową listę na 2009, "just for the records" przeklejam tegoroczną listę lektur:

* Vladimir Nabokov "Maszeńka"
* Michał Heller "Ostateczne wyjaśnienia wszechświata"
* Komaravolu Chandrasekharan "Introduction to analytic number theory."
* Jacques Attali "Pascal"
* Susana Osorio - Mrożek "Meksyk od kuchni"
* Jerzy Kierul "Kepler"
* Aleksander Chińczyn "Continued fractions"
* Jack Miles "Bóg. Biografia."
* Malcolm Billings "Wyprawy krzyżowe"
* Richard Heinzmann "Filozofia średniowiecza"
* Izaak Babel "Opowiadania odeskie"
* Marek Jan Chodakiewicz "Po Zagładzie. Stosunki polsko-żydowskie 1944–1947"
* Kees Doets, Jan van Eijck "The Haskell Road to Logic, Maths and Programming"
* Luis Miguel Rocha "Ostatni papież"
* Victor Hugo "Nędznicy"
* Bronisław Wildstein "Dolina nicości"
* Leszek Dzięgiel "Swoboda na smyczy"
* Jared Diamond "Trzeci szympans"
* Roman Duda "Lwowska szkoła matematyczna"
* Vladimir Nabokov "Król, dama, walet"
* Richard Dawkins "Bóg urojony"
* Małgorzata Szubert "Leksykon rzeczy minionych i przemijających"
* Barbara Skarga "Człowiek to nie jest piękne zwierzę"
* Philip Ball "Masa krytyczna"
* Lucio Russo "Zapomniana rewolucja"
* Herodot "Dzieje"
* Jan T. Gross "Strach"
* Pascal Quignard "Albucjusz"
* Roger Scruton "Co to znaczy konserwatyzm"

Jeszcze jeden afrykański zachód słońca

2008-12-11T02:00:00.002+01:00

Sunset in Comombo, originally uploaded by minthem.

To kolejny aneks do wakacyjnego wyjazdu. Zachód słońca w Comombo. Odnoszę wrażenie, że zachody słońca w Afryce zawsze są piękne.
Afryka - kolebka ludzkości. Stąd się wywodzimy jako gatunek. Wielki wyrzut sumienia. Jądra ciemności. Hekatomby ofiar w niezrozumiałych wojnach zasługujące zaledwie na wzmianki w Zachodniej prasie. Dyktatorzy rodem wzięci z komiksów. AIDS.
Afryka jest przerażająca i fascynująca. Nie białymi plamami tak kuszącymi Livingstone'a - w epoce "google earth" każdy może sprawdzić co kryje serce kontynentu. Inaczej. Najczarniejszym snem Rousseau - zbawczym w zamyśle, deprawującym w konsekwencji śmiertelnym pocałunkiem naszej cywilizacji. Nie chce mi się tu czynić wszystkich zastrzeżeń do tego stwierdzenia. (a jest ich wiele) Tak samo jak przytaczać wszystkich - dziś być może lepiej niż kiedykolwiek brzmiących usprawiedliwień - że surowce, urodzajne ziemie itd.
Jest w tym paradoks, że pierwszy i najbardziej bezwzględnie eksploatowany surowiec tamtych ziem - siła robocza - dziś w odległych pokoleniach może przemyca w skomplikowanym melanżu z innymi kulturami, najwięcej z kultury tego zapomnianego kontynentu.

Myśl w zasadzie banalna

2008-12-01T22:49:00.000+01:00

Kiedy czyta się o historii nauki musi się zauważyć fakt jak wielka różnica dzieli matematykę od nauk przyrodniczych. Nie analizując nawet struktury wnioskowań, sposobu istnienia teorii itp. różnica jest widoczna w czymś tak prostym jak prawomocność jej twierdzeń. Fizyka XIX, że nie wspomnę o XVIII czy XVII wieku z dzisiejszego punktu widzenia jest skrajnie archaiczna - ostało się z niej to jedynie co było zmatematyzowane. Poglądy na naturę zmieniły się diametralnie. W podobnym stopniu zmieniła się biologia czy chemia. Nie ma już z nami eteru, cieplika, itp. Matematyka jest natomiast kontynuacją. Oczywiście pewne poglądy na ścisłość się zmieniły, język się wyostrzył, techniki poszły naprzód a nowe teorie rozszerzyły horyzonty. ale twierdzenia Euklidesa, Diofantosa, Menelaosa, Fermata, Pascala, Eulera, Gaussa i wielu wielu innych pozostały twierdzeniami. Co bardziej uderzające, nawet jeśli "dowiedzione" w sposób urągający dzisiejszym standardom lub obalone kiedy przedmiot dojrzał do właściwej analizy pozostają sensownymi choć być może nieprawdziwymi zdaniami.
Czy jest to jakiś argument w starym sporze w filozofii matematyki, między zwolennikami poglądu, że matematyka ma obiektywne odniesienie w rzeczywistości a poglądu, że jest czystym konstruktem umysłu ? Nie wiem. Czuję, że obydwa poglądy są w jakimś sensie prawdziwe. To obiektywne istnienie którego nie odrzucam, ale które chyba jest trudniejsze do przyjęcia, oznacza moim zdaniem, że stykamy się studiując matematykę z jakąś najbardziej pierwotną prawdę o świecie. Tak prostą, że poznając ją nie możemy się w zasadzie co do jej oczywistości mylić. To doświadczenie znacznie bardziej elementarne niż doświadczenie ruchu, ciepła, materii, koloru, światła czegokolwiek co możemy ogarnąć zmysłami. Ale w tej pierwotnej intuicji tkwi potencjał, który powoduje, że matematyka rośnie. Tu doswiadczenie miesza się z konstrukcją. Pewnie nie daleko ląduję z tym poglądem od Kanta.

Anons: nowy numer "Notices of the AMS" o dowodach formalnych

2008-11-17T22:41:00.002+01:00

Jako sie rzekło w tytule, najnowszy numer szczęśliwie dostępnego w internecie za darmo, czasopisma "Notices of the AMS" poświęcony jest formalnym i wspomaganym maszynowo systemom dowodzenia twierdzeń. Jakoś tak się złożyło, że jest to interesujące postscriptum do miłej pogawędki jaką parę miesięcy temu odbyła się tu. Można formalizację lubić, cenić, bądź uważać ją za płochą igraszkę czy wręcz perwersję intelektualną. Jednakże, kiedy się zastanowić i zdać sobie sprawę jak skomplikowany jest gmach matematyki, jak rośnie, można też wyobrazić sobie pewien rodzaj niepokoju, czy natręctwa jakie dręczy wielu matematyków, że gdzieś w jego środku tkwi jakiś błąd. Opisane w Notices metody to swoista terapia, ale i być może punkt wyjścia do matematyki przyszłości.
Oczywiście metody formalne wychodza poza matematykę. Bezawaryjny hardware czy software jest kluczem w wielkich przedsięwzięciach których stawką są ogromne pieniądze, życie ludzkie, środowisko naturalne. Wyniki badań nad formalnym wspomaganiem dowodzenia użyte do weryfikacji poprawności programów (każdy z nich jest przecież czymś w rodzaju teorii matematycznej) to być może jedyna droga by znaleźć tego Graala.
Co ciekawe wśród projektów tego typu - ładny akcent polski. Poczesne miejsce wśród nich zajmuje rozwijany od lat siedemdziesiątych w środowisku matematyków związanych a Uniwersytetem Warszawskim i Uniwersytetem w Białymstoku, ale w istocie będącym projektem międzynarodowym - system Mizar.
Mam i inne skojarzenie (też trochę szowinistyczne) a może i wspomnienie. Systemy weryfikacji twierdzeń opierają się na ciekawych systemach podstaw matematyki, konkurencyjnych w stosunku do teorii mnogości ZFC i lepiej od niej przystosowanych do "zmechanizowania". Ciekawe w tym kontekście wydaje mi się przeanalizowanie potencjału zapomnianych już dziś ale wielce oryginalnych systemów Leśniewskiego: prototetyki, ontologii i mereologii. W pewnym okresie swej pracy zawodowej (dawno dawno temu w odległej galaktyce) odbywałem dyskusję na temat ich potencjalnej przydatności w świecie komputerów. Niestety - wówczas też przyszedł kryzys, inwestorom zabrakło pieniędzy i wiary, fima splajtowała spektakularnie, a mnie potem zabrakło zapału i samozaparcia, żeby poważnie się ich nauczyć i rozwinąć nieśmiałe pomysły.

Zdjęcie: mimikra

2008-11-07T23:45:00.003+01:00

Frog ?, originally uploaded by minthem.

Mimikra jest bronią. Bronią drapieżników i bronią słabych. Polega na wtopieniu się w tło, ukryciu swej obecności, upodobnieniu się do otoczenia. Drapieżnik nie chce by dostrzegła go ofiara. Słaby, nie chce zwrócić uwagi silnego.
Drapieżnikom wybacza się mimikrę. Jakoś tak nasza kultura po cichu czci silnych - rozgrzesza ich sukces.
Mimikrę słabych spotyka potępienie, a przynajmniej pogarda. Kiedy znikają prawdziwe drapieżniki, ich czas się skończył, pojawia się klasa stworzeń, którą zaklasyfikowałbym jako mendy. Z jedynej broni jaka dostępna była tym, którzy nie mają kłów, pazurów, szybkich jak wiatr nóg, pancerza czy trującego żądła czynią przedmiot drwiny. Szyderstwo, lub dzikie egzorcyzmy - to sposób działania mend. Pogardą zamiast atramentem spływają ich pióra, pogarda bije z ekranów telewizyjnych, pogarda wybrzmiewa gdy skończą każde zdanie.
Słabość jednych w czasie próby to dowód słabości w ogóle. W tej pogardzie czuć strach przed własną słabością, przed istnieniem słabości w ogóle. Czuć też ponury rytuał walki o władze nad stadem. Mendy powoli zamieniają się w drapieżniki.
Jeżeli postawią na swoim, słabym nie pozostanie nic innego jak mimikra.

Mgła

2008-11-04T21:36:00.000+01:00

Mgła spowiła Kraków. Właściwie jedno z moich pierwszych wspomnień z tego miasta to żółto-pomarańczowe światło latarni otulone kłębem mgły. Teraz jest tak samo. Niemal dwadzieścia lat później. Z niewiadomych przyczyn wstałem dziś o 4:30. Snułem się po domu, próbowałem zmusić mój aparat do zrobienia sensownego zdjęcia, czytałem, pisałem, liczyłem, parzyłem kawę żonie, żeby przygotować jej milsze niż zwykle przebudzenie. Potem podróż 114-ką przez białoszary kłąb, który trochę tylko się rozjaśnił - trochę matematyki w autobusie. Szkoda tej niemal godziny na głupie patrzenie się w okno albo przysłuchiwanie się szczebiotaniu studentek jadących na kampus... Praca. Cholera, jak to jest - czasem nic się tam nie dzieje, a czasem po prostu nie można się połapać w natłoku zajęć. Powrót - nadranne wstawanie odbiło się jednak: mało matematyki i nieskuteczna walka z lekką drzemką. W telewizji w kółko o wyborach: gdzieś daleko. Niech zgadnę jak głosują moi znajomi w których kubikach powieszone były rysunkowe żarty z GWB. Mgła nadal stanowi dominantę. Dopada mnie spleen. A może po prostu jestem śpiący ?
P.S. Ruszyłem z projektem o którym wspominałem. Początek powolny ale i całe tempo będzie takie: CFGDA

Projekt CFG-DA

2008-11-02T21:54:00.002+01:00

Mam zamiar rozpocząć na osobnym blogu publikację w maleńkich porcjach polskiego tłumaczenia sławetnej książki "Disquisitiones Arithmeticae" Carla Friedricha Gaussa.
Po co? Z kilku powodów.
Po pierwsze, od dawna chodzi mi to po głowie, więc czas zacząć działać.
Po drugie, skandalem jest, że ta książka jak zresztą wiele innych fundamentalnych i historycznie ważnych nigdy na polski nie została przetłumaczona. Wstyd dla całego naszego środowiska naukowego i nie tylko.
Po trzecie i tak tą książkę czytam, więc tłumaczenie nie będzie jakimś wielkim problemem.
Po czwarte (tu rodzi się pytanie, po co tłumaczyć tak stare książki) DA jest w jakimś sensie wciąż żywa. Nie jest niezwykłe we współczesnych pracach z teorii liczb znaleźć odniesienia do poszczególnych artykułów z DA - to ziarno zaowocowało wspaniałym drzewem. Nawet, gdyby odniesienia były tylko natury czysto historycznej - nie najgorsze to zajęcie poznawanie myśli ludzkiej w różnych fazach jej rozwoju na spędzenie jakoś czasu zanim nadejdzie nasz kres. Ale mam wrażenie, że odniesienie do DA polegają współcześnie również na tym, że myśl Gaussa jest wciąż inspirująca. Że w tych dociekaniach młodego geniuszu, pisanych jak mi się wydaje tyleż dla innych co dla siebie samego, w tych wytrychach i fortelach jest nauka wciąż aktualna a patyny dwóch wieków (publikacja DA to 1801 rok) poza nieco archaicznym stylem (o czym za chwilę) praktycznie nie widać.
Po piąte mam wrażenie że DA posiada wielkie walory edukacyjne. Sądzę, że w młodości, w czasach kiedym chodził do liceum byłoby z wielkim pożytkiem dla mnie gdyby ktoś mi tą książkę pokazał.

Tyle o powodach. Mam kilka problemów, które muszę jakoś rozwiązać. Pierwszy natury technicznej. Najbardziej, ze względu na wygodę jest mi publikować w formie bloga. Ale książka jest w jakimś sensie odwrotnością bloga jeśli chodzi o układ typograficzny. Czytanie blogu zaczyna się "od góry", od najświeższego wpisu, w książce zaś "na górze" są jej wcześniejsze części. Pozornie niewielka zmiana wprowadza trochę zamieszania. Zwroty typu "poniżej" odnoszące się w książce do do tekstu późniejszego jeśli wychodzą poza zakres jednego wpisu na blogu tracą trochę sens. Tym niemniej, żeby uniknąć niepotrzebnych komplikacji będę się posługiwał "porządkiem książkowym" licząc, że jeśli ktoś zrozumie rozważania Gaussa z łatwością uwzględni w czytaniu ową drobną formalną niekonsekwencję.
Drugi problem jest o wiele poważniejszy. Gauss napisał DA po łacinie - w języku, którego nie znam. Tłumaczył więc będę z angielskiego tłumaczenia Arthur'a A.Clarke. To rodzi serię "subproblemów". Po pierwsze ufam temu, że pan Clark (w zasadzie powinienem powiedzieć ojciec Clark, bo to jezuita) zachował styl oryginału i tegoż będę się trzymał. Po drugie i co ważniejsze, nie jest dla mnie jasny status praw autorskich w takiej sytuacji. Nie chcąc być piratem i narażać się na posądzenie przez właściciela praw autorskich do tłumaczenia angielskiego o zabieranie mu potencjalnych zysków z publikacji polskiej, póki co uczynię bloga dostępnym imiennie tylko na wyraźne żądanie PT czytelników. Kiedy wyjaśnię kwestię prawną, jeśli będzie to możliwe upublicznię bloga. Póki co nazwijmy to "głośnym czytaniem" DA.
Zatem, aby zapisać się jako czytelnik "CFG DA" należy zgłosić taką chęć w komentarzu do niniejszego posta podając swój adres pocztowy względnie wysłać prośbę na adres poplawski.artur@gmail.com. Za niedogodność przepraszam, mam nadzieję, że to co napisałem stanowi dobre usprawiedliwienie.
Wielką zaletą DA jest jej podział na 365 artykułów (sądzę, że zbieżność tej liczby z ilością dni w roku nie jest przypadkowa). To daje naturalny podział na kwanty w jakich postaram się publikować tłumaczenie. Wadą na początku będzie zapewne to, że przez pierwszych kilka artykułów niewiele będzie się działo, natomiast później porcja wydaje się dobrze dostosowana do rozważenia w ciągu jednego dnia. Mnie natomiast ułatwi to znakomicie dostosowanie tempa publikacji do różnych wahań w zasobach wolnego czasu na pisanie.
Początek publikacji z pewnych względów planuję na poniedziałek 3-go listopada. Zapraszam do wspólnego czytania, wspólnej nauki i świetnej zabawy umysłowej. Mam nadzieję, że wspólnie wytrwamy.

Kolejne zdjęcie

2008-10-21T21:48:00.003+01:00

Butterfly, originally uploaded by minthem.

Motyl staje się - całkiem tego nie chciałem - powoli jakimś lejtmotiwem tego bloga. Cóż, wychodzi jak wychodzi.
Kolejne zdjęcie z flickr'a.
Lato tego roku. Wybraliśmy się z żoną w odludne miejsce w okolicach Alwerni. Usiłowałem moim Kodakiem dokonać niemożliwego i próbowałem robić zdjęcia tzw. "macro". Kilka nawet jakoś wyszło. To - zdecydowanie najlepiej. Polowałem z aparatem, opalaliśmy się na łące, czytaliśmy. Symbol chaosu i małe wspomnienie upalnej niedzieli.

Książka, którą (chyba) przeczytałem

2008-10-20T22:42:00.004+01:00

Nie wiem czy też to macie, ale są książki, które są w biblioteczce od zawsze, przemieszczają się wraz ze zmianą mieszkania itd. a których nigdy tak naprawdę nie przeczytaliście a jednak (chyba) przeczytaliście. Przez "tak naprawdę" rozumiem to, że nie siedliście nigdy i nie przeczytaliście ich od deski do deski. Przez "(chyba) przeczytaliście" rozumiem to, że tyle razy zaglądaliście do nich w różnych miejscach, że per capita wychodzi na to, że jednak je przeczytaliście.
Wśród takich książek poczesne miejsce zajmuje u mnie książka Edwarda M. Reingold'a, Jurg'a Nievergold'a i Narshing'a Deo "Algorytmy kombinatoryczne".
Wiele się z tej książki nauczyłem, wiele tematów które frapują mnie przez niemal całe życie jakie pamiętam w tej książce ma swoje korzenie. Ciekawa jest historia.
W połowie lat osiemdziesiątych wartościowe książki były trudne do dostania. Kiedyś w jakimś czasopiśmie jakie kupił mój ojciec był kupon na zamówienie książek, zdaje się pocztą. Wśród nich (a były to głównie książki popularne, nie naukowe) była i rzeczona. Wtedy już jako uczeń najstarszej klasy szkoły podstawowej interesowałem się matematyką i programowaniem i w spisie dostrzegłem tę właśnie pozycję. Mój ojciec, za co (i za wiele innych rzeczy) mu wielka chwała nie bardzo pewnie rozumiejąc o co w tej książce chodzi (ja też nie rozumiałem, ale to była książka o czymś co mnie interesowało i skoro tak mało było książek o tym bardzo chciałem ją mieć) uległ prośbom napalonego nastolatka i zamówił ją również. Przyszła i była piękna - dziś jeszcze jak patrzę na jej okładkę to czuję trochę wzruszenie. Wertowałem ją i wydawała mi się bardzo trudna. Dziś ciągle uważam, że nie jest łatwa. Ale w takich książkach, nawet jeśli jesteś nastolatkiem na głębokiej prowincji i ich nie rozumiesz jest coś: marzenie, wyzwanie, inspiracja, przeczucie drogi jaka cię czeka i celu jaki chcesz osiągnąć - zrozumieć te wszystkie trudne rzeczy.
Po raz pierwszy skorzystałem z tej książki kiedy w liceum startowałem w olimpiadzie matematycznej. Nie do końca pamiętam po co. Potem już była ze mną i często ją wertowałem, podczytywałem (czasem rozdział jakiś, czasem jego fragment). Ostatnio zajrzałem do niej kilka dni temu, żeby odświeżyć sobie kwestie związane z problemami NP-zupełnymi itp. Chyba przeczytałem ją całą - może nie? Ale to wierny towarzysz. I wiele wspomnień i uczuć się w niej miesza -lata 80-te, moi rodzice którzy wysupłali grosz na fanaberię syna, mój nieżyjący już nauczyciel Kazimierz Serbin, moje starty w OM, moje studia, moja praca w kolejnych firmach, moje pasje, udane i nieudane projekty, zrealizowane i porzucone pomysły.
To jedna z wielu książek, które są mi bliskie, ale dziś jakoś popatrzyłem na nią z większą czułością. Rozklejam się.

Odkrycie flickr'a

2008-10-18T12:24:00.004+01:00

5 am, originally uploaded by minthem.

Nie wiem jak mogło to uchodzić przez tyle lat mojej uwadze... Odkryłem właśnie niedawno serwis www.flickr.com. No i od kilku dni jak dziecko książkę z obrazkami wertuję świetne zdjęcia umieszczone tam przez użytkowników.
Postanowiłem oczywiście sam też wrzucić tam kilka moich zdjęć i dorzucać sukcesywnie, jak uznam któreś za interesujące. Ale do - nie najlepszych już nawet, ale przeciętnych - prac zamieszczonych tam jednak mi bardzo daleko. Niestety.

Eksplorując możliwości flickr'a dalej odkryłem ciekawą moźliwość: zamieszczania swoich zdjęć z serwisu na blogach, między innymi na blogerze. Właśnie ją wypróbowuję niniejszym postem.

Zdjęcie na dziś: 2004 rok, zima, między czwartą a piątą rano. Widok z kuchennego okna. Dawno tak wcześnie nie wstawałem (już prędzej zdarzało mi się kłaść...). Lubię to zdjęcie, bo to jedno z pierwszych, jakie zrobiłem po tym jak wprowadziliśmy się do naszego mieszkania.

Anons: Ruch na blogach. Tricki. Knol.

2008-10-15T22:45:00.004+01:00

Profesor Timothy Gowers na swoim blogu zaanonsował dzisiaj powstanie Tricki - nowego narzędzia, działającego na zasadzie podobnej do wiki, gdzie będzie można znaleźć i publikować różnego rodzaju sztuczki, kruczki, metody i wzorce stosowalne w rozumowaniach matematycznych.
To wspaniała idea która wzbudziła sporo zainteresowania na pronumerowanych przeze mnie blogach. Mam po cichu nadzieję, że jeśli chwyci, może być dla matematyki nieocenionym a może i przełomowym momentem. Może stać się tym czym skatalogowanie "design patterns" stało się dla inżynierii oprogramowania. Jakkolwiek tautologicznie by to nie zabrzmiało, być może wkraczamy w okres "matematyki opartej na wiedzy", przez analogię do gospodarki opartej na wiedzy.
Gorąco kibicuję, czekam i będę zawzięcie studiował, do czego zachęcam i innych. Kilka wprawek jakie pojawiły się na blogu Timothy'ego Gowers'a i innych wygląda bardzo obiecująco.

Skoro już na anonse mi się zebrało, polecam knolową serię Włodka Holsztyńskiego. Również wygląda bardzo obiecująco. Również polecam.

Drobiażdżki

2008-10-09T21:56:00.005+01:00

Małe wprawki w Haskellu i drobniutkie zabawy matematyczne. To moje rozrywki ostatnio, kiedy akurat mam trochę wolnego czasu, nie oglądam telewizji i nie czytam jednej z dwóch książek których coś nie mogę skończyć.
Zabawa wzięła początek z zagadek o jakich kiedyś na blogu wspomniałem.

Na początek - jak liczbę z zakresu [0,1) zamienić na jej rozwinięcie dziesiętne, a więc, (być może nieskończony) strumień cyfr {0,...,9}?
Można tak:
Bierzemy x.
Jeżeli x równa się 0, kończymy wypisując 0, jeśli nie to:
Mnożymy razy 10. Mamy 10*x.
Bierzemy część całkowitą. Mamy [10*x] (tu [_] oznacza funkcję int: R->Int). Wypisujemy.
W końcu z liczbą (10*x-[10*x]) robimy to samo.

W efekcie produkujemy, być może nieskończony (nawet dla wymiernego argumentu), ciąg cyfr.
Jak zamienić na rozwiniecie przy innej podstawietawie np. 2? To proste: funkcję x->10*x w powyższym schemacie zastąpić przez x->2*x.

Zagadka: co ma wspólnego z tym co napisałem poniższy obrazek:

Ułamek łańcuchowy, np taki: 1/(a_1+1/(a_2+1/(a_3+1/a_4))) będę reprezentował jako listę liczb naturalnych, np. taką: [a_1, a_2, a_3, a_4]. Oczywiście lista może być nieskończona.

Teraz: jak liczbę z zakresu [0,1) zamienić na ułamek łańcuchowy?
Można tak:

Bierzemy x.
Jeżeli x równa się 0, kończymy wypisując 0, jeśli nie to:
Dzielimy 1 przez x. Mamy 1/x.
Bierzemy część całkowitą. Mamy [1/x] ([_] znowu oznacza funkcję int: R->Int). Wypisujemy.
W końcu z liczbą (1/x-[1/x]) robimy to samo.

W efekcie produkujemy, być może nieskończony (ale nie dla wymiernego argumentu, dowód: ćwiczenie) ciąg liczb.

Zagadka (podobna do poprzedniej): co ma wspólnego z tym co napisałem poniższy obrazek:

Spróbuję ten ogólny schemat zapisać w Haskellu, ale:
- będę używał będę typu Rational w miejsce liczb rzeczywistych
- nie będę sprawdzał zakresu wejść (to ważne w życiu ale nudne, więc chociaż na blogu zluzuję)

W poniższym kodzie:
numscheme - to nasz schemat
n_ary - ogólny schemat rozwinięcia pozycyjnego
binary - szczególny przypadek n_ary dla n = 2
decimal - szczególny przypadek n_ary dla n = 2
confrac - rozwinięcie w ułamek łańcuchowy

Kod:


import Ratio ( numerator, denominator, (%) )

numscheme :: Rational -> (Rational -> Rational) -> [Integer]

numscheme 0 _ = []
numscheme x f = y : numscheme( (f x) - fromInteger y) f where
y = div (numerator$z) (denominator$z)
z = f x

n_ary :: Integer -> Rational -> [Integer]
n_ary n s = numscheme s ((toRational n)*)

binary :: Rational -> [Integer]
binary = n_ary 2

decimal :: Rational -> [Integer]
decimal = n_ary 10

confrac :: Rational -> [Integer]
confrac s = numscheme s (1/)

Na deser poznęcajmy się nad liczbą (229/232). Mój kalkulator windowsowy daje przybliżenie: 0,98706896551724137931034482758621

Popatrzmy na nasz drobiażdżek w działaniu:


Main> take 40 $ binary (229/232)
[1,1,1,1,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1]
Main> take 40 $ decimal (229/232)
[9,8,7,0,6,8,9,6,5,5,1,7,2,4,1,3,7,9,3,1,0,3,4,4,8,2,7,5,8,6,2,0,6,8,9,6,5,5,1,7]
Main> confrac (229/232)
[1,76,3]

Tyle na dziś. More to come...

Jazda po dziwnym atraktorze

2008-10-08T17:54:00.003+01:00

OK. Jest kiepsko. Światowe rynki finansowe po serii drgawek pogrążyły się w depresji. System bankowy nie tylko nie okazał się oparciem ale sam był zalążkiem problemu i pierwszy padł ofiarą własnej beztroski. Banki narodowe i rządy usiłują ratować chwiejącego się na nogach kolosa i utrzymać go w pionie licząc, że okrzepnie, albo przynajmniej nie narobi wielu szkód spadając. Frazesy o pieniądzach podatników, zasady które nakazywałyby w innych wypadkach nie używać ich do ratowania prywatnych instytucji, zasady fair play i wolnej konkurencji, pomocy państwa i wiele innych rzeczy poszło w odstawkę w obliczu możliwej katastrofy. Rządzi goły pragmatyzm jeśli nie cynizm. Realna gospodarka - w której wydobywa się i przetwarza kopaliny, uprawia rolę, tworzy narzędzia i produkty i oferuje usługi - gospodarka w której wartość bierze się z natury prztworzonej pracą i myślą ludzką właśnie została zaprzęgnięta by podtrzymać nadęte i abstrakcyjne "coś". Tak musi być - to "coś" ma bowiem również podstawowe funkcje, dla których nie można gadzinie dać zdechnąć. Jest krwioobiegiem dzięki któremu w całym ekonomicznym systemie świata płynie kapitał. Zanik tej funkcji równałby się stężeniu krwi w żyłach. To coś zamknęło w sobie również depozyty miliardow mieszkańców globu. Śmierć tego systemu oznaczałaby nieuchronny bunt.

Tak oto rzeczy się mają i depresji ni smuty w najbliższym czasie nie unikniemy.
Włączając co rano Bloomberga, CNBC Biznes, TVN 24 i podobne myślę jednak o tym, że właściwie nic się nie dzieje. No może nic niezwykłego. Nieprzewidywalność giełd, trendów ekonomicznych, koniunktury nie jest odkryciem dnia dzisiejszego. Zbliżyliśmy się brawurowo do katastrofy, ale w ostatecznym rozrachunku - jeśli system nie pęknie, nic to zmieni. Ten system ocierał się już o katastrofy. Dziś działa co prawda inaczej - nigdy nie śpi, przekracza swoim rozmiarem pojęcie człowieka, działa szybciej niż potrafią zareagować ludzkie zmysły. Żyje w synergii z komputerami, na których pracują niestrudzone aplikacje moniturujące, reagujące na zmiany w jego pracy. Nie wiem czy w rzeczywistości jesteśmy już kiedykolwiek w stanie nad nim zapanować. Działając tak szybko i zwielokrotniając reakcje przez natychmiastowe działanie oprogramowania, staje się podatny na fluktuacje, które rozdmuchuje w mgnieniu oka do gigantycznych rozmiarów.
Mam przed oczami znany obrazek: atraktor Lorenza.

Lorenz (zresztą niedawno bo w kwietniu 2008 zmarły) modelował pogodę - inny układ podobnie jak gospodarka czy rynki finansowe złożony i nieprzewidywalny. Niemalże tradycyjny synonim systemu złożonego. Wychodząc od równań konwekcji w już znacznie uproszczonym modelu, w serii kolejnych uproszczeń uzyskał nieliniowe autonomiczne równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Teoria nie dostarcza dziś nawet, nie mówiąc już o latach sześćdziesiątych zbyt wielu narzędzi do badania takich równań. Lorenz użył kompoutera i odkrył, że długoterminowe zachowanie tego prostego zdawałoby się układu zmienia się diametralnie w zależności od wyboru warunku początkowego, wykazując oprócze tego w krótszym terminie "porządek" - czytaj kręcąc się w przestrzeni niemal jak przyzwoity układ o stabilnym cyklu granicznym.
To dało początek teorii chaosu. Kształt tego tworu, do którego zbliża się chaotyczna orbita, tworu na czesć odkrywcy nazwanego atraktorem Lorenza, przypomina nieco kształt motyla. Czy to to spowodowało, że motyl został głównym bohaterem podstawowej anegdotki tłumaczącej chaos laikom (którą też tu przytaczałem) ? Może.

Układ Lorenza budził wątpliwości. Uważano, że jest możliwe iż ruch w tym układzie jest w istocie znacznie bardziej uporządkowany natomiast problemy pojawiają się w związku z interpretacją wyników symulacji numerycznych (jak również zwykłej niedokładności obliczeń).
Tak nie jest, tj. mamy rzeczywiście do czynienia z chaosem. Pokazali to w latach 90-tych Konstantin Mischaikow z Georgia Institut of Technology w Atlancie i Marian Mrozek z Uniwersytetu Jagiellońskiego w Krakowie. Przełomowość tego dowodu opiera sia na połączeniu klasycznego dowodu z rygorystycznym obliczeniem numerycznym. Wiem, wiem - brzmi to nieco enigmatycznie i pachnie dowodem przez ogląd, ale w istocie jest ścisłym dowodem matematycznym. Warto zapoznać się z ich wspólną pracą: tu.

Albo... popatrzeć, zamiast w gorączkowe migawki serwisów ekonomicznych na krążący, jak system który stanowimy my wszyscy dziś, punkt przelatujący tuż nad (pod? obok?) atraktorem Lorenza:

Co nam zostało gdy pozostajemy we władaniu chaosu...

Endotermiczne

2008-09-27T22:41:00.002+01:00

Są myśli i pomysły bardzo proste, ale z jakichś tajemniczych powodów wpadają one do glowy komuś zupełnie innemu. Czasem krążą w powietrzu i kiedy już się dowiesz, dowiadujesz się też, że właściwie wszyscy to wiedzą bądź wiedzieli. Tak miałem kiedyś z ciekawą a prostą ideą jaką poznałem na spotkaniu zorganizowanym na moim wydziale na UJ ze Stanisławem Lemem. Lem był już dość sędziwy i opowiadał o wielu różnych rzeczach - trochę wspominkowo. Mówił też o jednym ze swoich "koników" tj. futurologii. Opowiadał jak w latach bodaj siedemdziesiątych czy to sam, czy to w gronie futurologów (nie pomnę już) z dość jak się okazało dużą dokładnością przewidzieli upadek systemu komunistycznego. Wykreślili ponoć jakąś nieskomplikowaną krzywą która opisywała wzrost wydatków na zbrojenia i inne tam koszty utrzymania systemu i druga opisującą wzrost gospodarczy, znaleźli punkt przecięcia, który opisywał z grubsza miejsce gdzie powinien nastąpić kolaps - bankructwo, zapadnięcie się bloku komunistycznego. Nie wiem ile w tej anegdotce było literatury a ile historii, w każdym razie ta prosta i oczywista idea bardzo mi się spodobała.
Generalnie rozumowania tego typu nie zaliczałbym do gatunku rozważań ilościowych i nie brałbym serio znaczenia konkretnego punktu przecięcia krzywych, natomiast fakt ich przecięcia oznacza nieuchronność zapaści.
Uprawniona (trochę) jest tu czysto jakościowa analogia do termodynamiki. Są procesy, które sa po prostu endotermiczne - by zachodziły muszą pochłaniać energię z zewnątrz. Jej deficyt oznacza szybki, czasem gwałtowny stan zapadania się i degeneracji.
By to co teraz napiszę nie brzmiało do końca jak bełkot, proszę pamiętać: będę się posługiwał analogią i metaforą.
Zdaje się, że wiele jest takich systemów: są endotermiczne państwa, endotermiczne organizacje może nawet endotermiczne idee. Ich utrzymanie - w wypadku państw czy organizacji, czy ich głoszenie kultywowanie i rozwój - w wypadku idei, oznacza wielki wydatek energetyczny. Żywią się tym czymś co zapoczątkowało ich proces, może zdolne są pobierać energię z otoczenia ale skazane są na nieuchronną zagładę. Dokładnie jak gwiazdy, które, gdy wypali się w nich najbardziej energetyczne paliwo świecą dzięki procesom coraz mniej wydajnym, aż w końcu zachodzi w nich przełączenie się na proces endotermiczny i nie są już w stanie energią promieniowania zrównoważyć swego własnego ciężaru.
Czytam dzisiaj o bezpośrednim spadkobiercy ustroju, który (ustrój) zapadł się bo nie wytwarzał już energii. Korea Północna - wstrząsające zamknięte na cztery spusty państwo, w którym nie istnieje wolność, istnieje tylko wszechwładza komunistycznej partii sięgająca daleko poza granice które możemy uznać za uprawnione. Kraj z którego co jakiś czas dochodzą przerażające informacje o ludobójstwie, łagrach, eksperymentach na ludziach. Korea Północna zgięta jest pod ciężarem jaki musi utrzymywać - ciężarze gigantycznego i kosztownego aparatu represji i kontroli myśli. Ten aparat jest niezbędny by ten twór istniał w takim kształcie jak istnieje. Korea nauczyła się egzystować i pobierać energię: wielkim wysiłkiem stworzyła wielką armię, broń chemiczną, przemysł atomowy wystarczający do produkcji broni jądrowej i przemysł rakietowy wystarczający do produkcji prymitywnych środków jej przenoszenia. To, że nie upada to zasługa głębokiego szantażu, do jakiego posuwa się w stosunkach ze światem. Milionowa armia, broń chemiczna i biologiczna, broń atomowa. Groźba hekatomby wobec otaczających Koreę państw - wielce uprawdopodobniona przez to co reżim robi z własnym narodem - wystarcza by system nie zdechł.
Jest tu przy okazji pewien paradoks. Poziom represji o jakim wiemy z nielicznych przecieków jest tak ogromny, że świadczy to dobitnie o tym, że reżim jest przerażony. Pojawienie się najmniejszej rysy zmiotłoby go w kilka chwil. Kontrola musi być perfekcyjna. Perfekcyjne musi być również kłamstwo a wszelka wątpliwość wyeliminowana, co oznacza w praktyce, że likwiduje się fizycznie wszelkich podejrzanych o nieprawomyślność wraz z wszystkimi, którzy mogliby pamięć o nim przechować Stąd doniesienia o likwidacji rodzin i przyjaciół wszelkich potencjalnych dysydentów.
Mam w zanadrzu inne przykłady "endotermizmu", których nie chcę tu zestawiać z Koreą Północną, by nie zostać posądzonym o zrównywanie ich z tym zbrodniczym systemem.
Tym niemniej rodzi się myśl optymistyczna: istnieje wrodzona gatunkowi ludzkiemu moralność czy poczucie sprawiedliwości prowokująca odruch buntu. Zdaje się być niezależna od kultury, rasy, wyznania. Nie jest absolutna - jednostka, nawet wielka grupa może sie jej pozbyć. Tak jest z totalitarnym establishmentem z Korei Północnej. Ale nie ma sposobu by ten odruch zdławić, można produkować tylko wielkie kłamstwa, terrorem bądź eliminacją fizyczną na wielką skalę gasić wszelkie iskry, ale one zapalają się wciąż na nowo. Nie sposób wymusić by się nie zapalały. Jezeli więc w szaleństwie swoim, psychopatyczni przywódcy tego morderczego reżimu nie zamienią tego kraju w zupełną pustynię, reżim padnie. Zresztą pustynia będzie również jego końcem. Stanie się tak czy cokolwiek my, w wolnym świecie z nim zrobimy, czy nie. Co nie zwalnia nas absolutnie z obowiązku próbowania pomocy tym ludziom. Ta iskra płonie też w nas.

Pourlopowo: dogrywka

2008-09-17T17:15:00.001+01:00

Łagodnie, wypoczęty choć niestety trochę przeziębiony, dałem się wprzęgnąć w kieracik codzienności. Ważne, żeby nie wystartować za szybko. Trochę wspominając wciąż wakacje, chcę krótko napisać o lekturach summer'2008.

Jest teoria, która zaleca taktykę zabierania na urlop jakiegoś wielkiego objętościowo dzieła literatury światowej. W zasadzie po opuszczeniu szkoły a przed emeryturą nie ma szans na zmierzenie się z takim potworem jak równy z równym poza okresem urlopowym. Aby więc nadrobić braki w oczytaniu okazja to znakomita. W tym roku padło u mnie na "Nędzników" Wiktora Hugo. I muszę powiedzieć, że jestem ukontentowany. Tak się dzisiaj już nie pisze, ba pomału zdaje się przestawano tak pisać w czasach kiedy książka powstawała. Ale wciąż tak jak i dawniej, tak się czyta, bo pewne narracje wciągają, bo pewne wizje zapierają dech w piersiach, bo są słowa które poruszają.
Z punktu widzenia czysto fabularnego, historię opowiedzianą w "Nędznikach" możnaby zamknąć w jednej trzeciej objętości. Z punktu widzenia dzisiejszych standardów literackich fabuła ociera się nieco o kicz (albo o za przeproszeniem o telenowelę) w nagromadzeniu mniejszych i większych nieprawdopodobieństw i zbiegów okoliczności. Ale w takim wydaniu, ja przynajmniej, kupuję to na pniu. Zresztą fabuła jest tu, co jest dystynktywną cechą książek wielkich, jedynie nośnikiem głębszych myśli. Czym jest bowiem owa historia, której początek sięga (oczywiście to interpretacja) rewolucji francuskiej kiedy to promień światła i dobra wdziera się w Historię, przemieniając najpierw biskupa Digne a za jego sprawą Jeana Valjean i omiata innych tak złych jak i dobrych bohaterów? To historiozoficzna (a może teozoficzna) wizja stawania się dziejów wedle woli Boga, dla której ludzkie postacie i są tylko nośnikiem i tworzywem. To opowieść o dobrze i złu, o nihiliźmie i wierze w ideały, o winie i i braku jej poczucia, o duchowej nędzy i bogactwie, upadku i powstawaniu. Porusza się w świecie wruszeń i uczuć prostych i czytelnych. I nawet nie podzielając wielu zapatrywań autora, robi wrażenie jego karmiona doświadczeniem wiara, że w tym co złe i co dobre realizuje się jakiś wielki plan. Wiara, która pozwala bez zacietrzewienia z łagodnością patrzeć na wielkie widowisko historii.
Poza wątkiem fabularnym książka jest gęsto przetykana samodzielnymi esejami, gdzie poglądy wyłożone są już wprost wspaniałym językiem. Kolejne genialne fragmenty to obrazki obyczajowe, charakterystyki postaci typowych dla epoki, topograficznie dokładne opisy starego Paryża. Wielki, zapewne stylizowany, zbiorowy portret narodu i kraju w który zamieszkuje. I w końcu doskonałe fragmenty erudycyjne, jak ten o kanałach paryskich, czy o bitwie pod Waterloo.
Stanowczo, choć powieść to niedziesiejsza i choć wymaga zawieszenia na moment zwykłego naszym czasom cynizmu i sarkazmu, polecam gorąco.

Jest też teoria, która mówi, że aby dać wytchnąć nie tylko ciału (które za biurkiem ma raczej szansę zesztywnieć i obrosnąć tluszczem niż porządnie się zmęczyć), ale przede wszystkim głowie, należy przed urlopem udać się do EMPIK-u na półkę z sensacją, znaleźć jakąś książkę w cenie ok. 29.90 PLN, wykazać sporo naiwności i dać się przekonać napisowi z tylnej okładki, zapakować a następnie w miejscu X które wybraliśmy na wypoczynek oddawać się odprężającej lekturze. Jest to teoria tyleż błędna co szkodliwa. 29.90 PLN nie jest może sumą zawrotną, ale jest sumą, której nie warto dawać za pewne substancje kojarzone na ogół z wydalaniem, a niezależnie od zapewnień wydawcy i cytatów z zagranicznych recenzji, istnieje wielkie prawdopodobieństwo, że postępując zgodnie z opisaną procedurą na literacką formę istnienia owej substancji natrafimy. Niżej podpisany, mimo wiedzy w tym zakresie, po raz kolejny wypróbował to na sobie i zmęczył z wielkim bólem książkę "Ostatni papież" niejakiego Luisa Miguela Rocha - Portugalczyka jak się okazuje. Inteligencja niżej podpisanego, choć może nie tak znowu wielka, została wielokrotnie znieważona przez Portugalczyka Rocha przy pomocy nagłych, nieprawdopodobnych, nielogicznych i głupich zwrotów akcji, debilnego sztafarzu i tandetnych rekwizytów. 29.90 PLN znalazłoby lepsze zastosowanie zamienione na słowackie korony i wydane na kilka kufli jednego z tamtejszych pysznych piw. Tfu, precz, apages...

W końcu, istnieje teoria trzecia, że wakacje to dobry czas by zmierzyć się z jakąś lekturą bardziej naukową. Ja w tym roku, wypróbowałem z niejakim powodzeniem również ową trzecią taktyke, zabierając napoczętą już wcześniej, ale jakoś niemrawo mi idącą książeczkę "The Haskell Road to Logic, Math and Programming". To połączenie niezłego wstępu do matematyki na poziomie bliskim uniwersyteckiemu wykładowi przedmiotu na studiach niematematycznych z wprowadzeniem do programowania w języku Haskell. Trkatowana z osobna, każda z funkcji tej książki wypadłaby znacznie gorzej niż ich połączenie. Książka omawia następujące tematy matematyczne: podstawy logiki tj. rachunek zdań i teorię kwantyfikatorów wraz z łopatologicznym wręcz przedstawieniem metod dowodzenia, podstawy teorii zbiorów wraz z teorią relacji i funkcji ujętych oczywiście tak jak się to robić powinno, tj. jako podzbiory iloczynu kartezjańskiego, arytmetykę Peano, zagadnienia rekursji i w jej ramach teorią relacji ufundowanych, konstrukcję liczb całkowitych, wymiernych, teorię wielomianów, szeregow formalnych i funckji tworzących z zastosowaniem w kombinatoryce, zagadnienia korekursji i rachunku strumieni, wstęp do teorii mocy zbiorów. Wszystko to ilustrowane świetnie dobranymi i napisanymi konstrukcjami w języku Haskell, które umożliwiają szybkie przejście od abstrakcyjnego materiału do konkretu. Dla osób potrzebujących pomocy w walce z matematyczną abstrakcją podstaw - świetna lektura. Dla zainteresowanych programowaniem, omówione są podstawowe pojęcia i konstrukcje Haskella: typy, "pattern matching", wywołania rekurencyjne, funkcje wyższego rzedu w rodzaju "fold", podstawowe klasy jak Num, Ord etc., "lazy evaluation" i typy danych o nieskończonym rozmiarze. Sporo elegancko rozpracowanych algorytmów, spora dawka ćwiczeń. Nie jest to jednak podręcznik języka - za to daje pojęcie o nietrywialnym sposobie użycia owego języka i jego bliskim pokrewieństwie z notacją i pojęciowym światem matematyki. Brakuje mi tam nieco odwołania do trochę bardziej ezoterycznych konstruktów Haskell'a ze szczególnym uwzględnieniem monad. Ale to co jest wystarczy, żeby zrobić świetne wrażenie. Idealna lektura uzupełniająca do przedmiotu "Wstęp do matematyki" na kierunku informatycznym na przykład. Przeczytałem z wielką przyjemnością.

Wypracowanie: jak spędziłem wakacje

2008-09-13T21:34:00.001+01:00

Kiedy nastawał wrzesień, kolor sanockiego parku powoli dryfował w cieplejszym kierunku i przyszło wracać do szkoły, wszystko zaczynało się - sądzę, że i dziś tak jest - od wypracowania o wakacjach. Nieśmiertelny wrześniowy temat. I ja zacznę od krótkiego wypracowania (choć wiem, ze przez lata wyszedłem z wprawy). A więc...
Skończyliśmy właśnie nasze trzytygodniowe wakacje.Całe, poza dwudniowym interludium, spędzone poza naszym pięknym, smutnym i wiecznie beznadziejnie skłóconym krajem. Zaczęliśmy od dwóch tygodni w Egipcie. Tydzień, śladem Agaty Christie podróżując statkiem w górę Nilu od Luksoru (starożytnych Teb, przez Arabów, którzy zastali tu na wpół zasypane światynie nazwanym "al Aksar", czyli "pałace" - stąd dzisiejsza zeuropeizowana nazwa miasta) do Assuanu, powyżej którego Nil staje się Jeziorem Nassera. To ciekawa wycieczka - całą masa starożytności, wymienię skrótowo po kolei, według klucz geograficznego.
Luksor - świątynia w Karnaku i łacząca się z nią słynną a zdegenerowaną już dziś aleją sfinksów świątynia w samym Luksorze. Na drugim brzegu Nilu, niemal na wprost Karnaku światynia Hatchepsut (kiedyś może coś więcej o niej napiszę - ciekawe wątki feministyczne), przy okazji okryte niesławą miejsce zamachu islamistów w 1997 roku. Na tym samym brzegu Dolina Królów - miejsce pochówku Faraonów z szczególnie godnym polecenia grobowcem Ramzesa VI. W końcu zniszczone, ale słynne z starożytnych opisów Egiptu kolosy Memnona.
Potem Edfu, biedne prowincjonalne miasto ze wspaniałą świątynia Horusa pochodzącą z czasów o wiele późniejszych bo zbudowane w okresie hellenistycznym przez eklektyczną w kwestiach religijnych i bardzo pragmatyczną politycznie dynastię Ptolemeuszy.
Następnie Comombo, które jako pierwsze chyba pozwoliło nam poczuć smak Afryki i podwójna (znowu ptolemejska) świątynia poświęcona Horusowi i Sobekowi. Sobek - bóg Nilu przedstawiany z głową krokodyla nie miał może takiej dobrej opinii w oczach starożytnych, ale zasada "Panu Bogu świeczkę a diabłu ogarek" okazuje się nie być wynalazkiem nowożytnym...
W końcu Assuan - wielkie miasto ulokowane w stratogicznym w starożytności i w dniu dzisiejszym miejscu przy pierwszej katarakcie na Nilu. Tu zabytków może trochę mniej, za to więcej wrażeń etnograficznych. Tu znać, że to inny kontynent - w żywioł arabski wkradł się pierwiastek rdzenny: skóra jest czarniejsza, nubijczycy stanowią tu znaczny procent ludności i konfidencjonalnym tonem wyjaśniają, że nie należy mylić ich z Arabami. Assuan to miejsce gdzie łaczy się woda, pustynia i łaskawie udzielona przez Nil zieloność pasa nadbrzeżnego.
Stąd jeszcze mały wypad (bagatela 280 km) autokarem na południe, za Zwrotnik Raka i jesteśmy w Abu Simbel, wielkiej światyni zbudowanej przez wielkiego władcę Egiptu Ramzesa II na pamiątkę zwycięstwa nad Hetytami (będącego co prawda bardziej łutem szczęścia niż wynikiem myśli strategicznej) i ku przestrodze i onieśmieleniu południowych sąsaidów Egiptu. To znowu właściwie dwie światynie, bo posiadający znaczną ilość żon Ramzes II jedną - Nefretare - wyróżnił osobną, mniejszą ale równie wspaniałą.
Abu Simbel to trochę oszutwo, świątynie pierwotnie leżały kilkaset metrów od miejsca, gdzie można je dziś oglądać. Uratowano je przed zalaniem wodami Jeziora Nassera za pomocą małego cudu inżynieryjnego (całkiem niemały dodatek do geniuszu budowniczych świątyni). Po prostu pocięto je na kawałki i wklejono w dwie trochę podrasowane, by przypominały oryginalne, góry. Niecodzienne zjawisko - obiekt mający delikatny posmak falsyfikatu - zyskuje dzięki temu jaki kunszt musiano włożyć w jego przygotowanie.
Assuan dał nam rzeczywiście poczuć Afrykę. Dwa dni błąkania się po mieście, knajpa którą mylnie zidentyfikowaliśmy jako tą, kórą poleca nam biuro podróży, a która okazała się po prostu popularnym wśród tubylców miejscem. To będzie jedno z jaśniejszych wspomnień.
Kolejny tydzień w Egipcie to już klasyczna oferta turystyczno wypoczynkowa. Niezły hotel, dużo słońca i Morze Czerwone. Tu warto polecić przyjemności jakich dostarcza samodzielne obcowanie z rafą koralową - jeśli kiedykolwiek wrócimy do Egiptu to głównie z tego powodu.
To jasne strony - o ciemniejszych nie będę się rozpisywał, no może skrótowo. Egipt pozbawia złudzeń. Nawet, jeżeli założyć, że podróżując z biurem turystycznym stykamy się ze szczególnie zdemoralizowaną grupą ludzi w jaką obrasta tego typu przemysł, nie sposób nie zauważyć, że wśród Arabów istnieje podwójna moralność i ich stosunek do przybyszów z Europy jest mieszanką źle skrywanej pogardy i polukrowanej fałszywą grzecznością chciwości. Chciwości, której przejawy w stosunku do swoich pobratymców byłyby z pewnością uznane za formę grzechu. Poza tym wschodnia natarczywość, którą mieliśmy już okazję poznać osiąga tam monstrualne rozmiary i, przynajmniej u mnie, wywołuje potworną irytację. Wiele gorzkich uwag mógłbym dorzucić, ale zamilczę.
Ten aspekt będzie zawsze małą (mam bowiem nadzieję, że prawdą jest to co powiadają psycholodzy jakoby złe wspomnienia zacierały się szybciej niż dobre) skazą na moim obrazie tego dziwnego i egzotycznego kraju.
W końcu wyrwaliśmy się ze świata ekstremsalnych temperatur i bezchmurnego nieba i po krótkim pobycie w Krakowie wybraliśmy się w krainę bliskich naszemu sercu krajobrazów, bliskich naszemu podniebieniu smaków, w świat gór i wody: na Słowację. Od kiedy mieszkańcy Orawy do swojego skarbu jakim są piękne krajobrazy dorzucili bogactwo wód termalnych wokół których pobudowali wzorowe ośrodki wypoczynku to jeden z naszych ulubionych kierunków. Nie zawiedliśmy się i tym razem. Pięć dni słońca, chmur, pływania i relaksu. Sporo czasu na lekturę. Idealne miejsce na druga część długiego urlopu.
Na tym z wolna kończę, Podróżnicy piszą książki, podróżujący służbowo raporty i sprawozdania. Turystom zostają wypracowania...

Nowy gadżet

2008-07-25T17:30:00.004+01:00

Na prawym marginesie - nowy gadżet. Z grubsza jest to zabawka (niedoskonała mocno) związana z L-systemami. Napiszę o niej i o nich coś więcej wkrótce. Zaby uruchomić: Najpierw kliknąć na link :"Gdy wyrasta kwiat ze ziemi ..." Potem na "Niech wyrasta ...". Można modyfikować reguły i dodawać nowe. Na własną odpowiedzialność oczywiście...
Działa w Firefoxie. W IE, przynajmniej moim, nie.
Miłej (ewentualnie) zabawy...
Aha! Frazeologia zaczerpnięta z wierszyka, który kiedyś popularyzował mój kolega z akademika:

"Gdy wyrasta kwiat ze ziemi, wszyscy są zadowoleni, lecz gdy rośnie trawa: to już inna sprawa..."

Haskell i Pell

2008-07-15T16:47:00.008+01:00

Jak mówiłem tak zrobiłem, tj. sprawdziłem algorytm Wildbergera w praniu. Poniżej kod funkcji rozwiązującej równanie Pella w oparciu o ów algorytm w Haskellu. Poza rekurencją i "pattern matching" nie demonstruje on pazura Haskella, ale mam nadzieję, że jest równie przyjemny w czytaniu jak był w pisaniu...


solvePell :: Integer -> (Integer, Integer)

solvePell d = (b11, b21) where 
   (b11, b12, b21, b22) = searchFixedPointMtr (1, 1, 0, 1) where
      searchFixedPointMtr p | (o11, o12, o21, o22) == (1, 0, 0 , -d) = r
               | o11 > 0 && o22 < 0 = searchFixedPointMtr r
               |otherwise = searchFixedPointMtr tr where
         r  = mult p (1, 1, 0, 1)
         tr = mult p (1, 0, 1, 1)
         (o11, o12, o21, o22) = mult( mult (transpose r) (1,0,0,-d) ) r
         transpose (a11 ,a12, a21, a22) = (a11, a21, a12, a22)
         mult (a11, a12, a21, a22) (b11, b12, b21, b22)=
            (a11*b11+a12*b21, a11*b12+a12*b22, 
             a21*b11+a22*b21, a21*b12+a22*b22)

Funkcja solvePell, bierze d z rówania Pella jako argument i zwraca parę liczb będąca pewnym rozwiązaniem równiania. Trzeba pamiętać, by d nie było kwadratem - tego funkcja nie sprawdza. Na kwadratach wchodzi zwykle w nieskończoną rekurencję ... Niestety, są i smutniejsze wieści. Algorym nie zawsze znajduje rozwiązanie fundamentalne. Np. dla d = 13, rozwiązaniem fundamentalnym jest x=18 y=5, podczas gdy zaimplementowany algorytm daje rozwiązanie: x=649 y=180, które jest następnym z kolei (bo 649=18^2+13*5^2 i 180 = 2*5*18). Tym samym zrozumiałe staje się, dlaczego w pracy Wildbergera nie było stosownego dowodu ;). Warto pomyśleć, czy nie da się tej metody jakoś zmodyfikować (nie zmieniając jednak jej ducha) by algorytm zwracał zawsze rozwiazanie fundamentalne.

Do badań porównawczych użyłem sprawdzonej już w bojach, on-linowej maszyny do poszukiwania fundamentalnych rozwiązań równania Pella którą niniejszym polecam: Diophantus Quadraticus. Dla miłośników numerologii, przykładowe wynik działania funkcji (pod Hugsem):

Main> solvePell 12
(7,2)
Main> solvePell 123
(122,11)
Main> solvePell 1234
(586327869067265,16691023073856)
Main> solvePell 12345
(1196823028442576899590849641,10771703481902106796084652)
Main> solvePell 123456
(32153667637494049,91511235212695)
Main> solvePell 1234567
(20371567825887579087969922203933358793493846332810110697
4127231916998110712447355624,1833441773536251588833840127
75408990796176026949965279326746283914164614149841725)
Main> solvePell 12345678
(84798178834254206501069091776063801828858638442491294173
283622693331157941169053721682146500840778040795681426799
746373774600679194577190578795925022609963251697702932038
103575417349220734335472506700750376403558084067176117304
353961009320426319261060613871588088528284393528998330022
695959115757272835324559892633223467646161202348129574120
811322088113694783,24133985779040703487042001168546778233
886602226457226201732495439539842758227586390869258263482
721919445559004333460853375915877499010684711766338764074
438034949056494509471323897949013056855661657290867499070
288510685596491236418010367399292614822499208206228574471
914923864025707862772212062023636759525773725225355147035
172813431107542245055578655655064)

W słońcu i w deszczu

2008-07-14T20:43:00.013+01:00

Raz za oknem żar. Rekordowe temperatury. Organizm traci wodę. Potem odmiana. Ulewa, burza. Potem 15 stopni za oknem. Klimat umiarkowany, nie ma co...

W takich okolicznościach przyrody zwolniłem z lekturami. Diogenes Laertios i jego plotkarskie opowiesci o greckich perwersjach umysłowych powędrował z porotem na półkę z zakładką włożoną gdzieś w jednej czwartej grubości książki. Prz łóżku wala się - bo wezbrał we mnie apetyt na jakiś wielki epicki kawałek - drugi już tom "Nędzników" Wiktora Hugo. Wielka literatura w starym dobrym stylu.

Poczta, z przygodami dostarczyła mi dwie książeczki, które korzystając z przyjemnego dla polskiego konsumenta kursu dolara kupiłem wysyłkowo w Amazonie. Bawię się językiem Haskell (jedna z nich jego m.in. dotyczy) odkrywając kolejne więzi między programowaniem, matematyką i resztą świata.

W moim prywatnym piekiełku, po lekturze kilku prac i wertując kolejną amazonową książkę, jakby się trochę przejaśnia. Ależ byłem głupi formułując w naprędce i na bazie słabej intuicji moje małe hipotezy (tu)! Sprawa jest, jak to w życiu bywa, znacznie bardziej tajemnicza i głęboka. Jak pozbieram myśli do kupy, i zsyntetyzuję to co dotychczas na ten temat przeczytałem, to pewnie coś na ten temat napiszę i na blogu. W każdym razie związkami między regularnościami i pewnymi formami "automatyzmu" w różnych typach przedstawień liczb matematycy zajmują się od dawna i sporo na ten temat wiadomo a jeszcze więcej, jak można się domyślić, nie wiadomo.
Przy okazji drobnych studiów nad tym tematem, wróciłem do powiązanych z nim spraw, którymi trochę zajmowałem się w zeszłym roku: koalgebry itd. Stąd już niedaleko do innych konstrukcji opartych na teorii kategorii w tym i monad więc z powrotem do Haskella i jego wysoce zmatematyzowanych abstrakcji. Takie to wiry, szumy zlepy i ciągi tego lata ...

Z innej, ale podobnej beczki: Ale się czasem trafia uroczy kawałek matematyki!
Kilka tygodni temu na arxiv pojawiła się praca australijskiego matematyka N.J.Wildbergera pt. "Pell's equation without irrational numbers". Praca jest krótka, elementarna (poza szkolną matematykę wychodzi chyba tylko pojęcie macierzy: ich mnożenia i wyznacznika, ale w superprostych przypadkach) i prosta, tj. dowody są bardzo klarowne. W sam raz na niecałą godzinę czytania.
Przypominam równanie Pella:
x^2-D*y^2 = 1
gdzie x i y to szukane a D > 0 jest liczbą naturalną niebędącą kwadratem. Chcemy równanie to rozwiązywać w liczbach naturalnych (>0).
Algorytm klasyczny (nie wiem kto go podał jako pierwszy: Lagrange ?) polega na rozwijaniu pierwiastka kwadratowego z D do ułamka łańcuchowego .Dowodzi się, że takie rozwinięcie jest okresowe i bierze się odpowiedni n-ty redukt gdzie n jest funkcją długości okresu. Jaką funkcją: szczerze mówiąc nie pamiętam teraz, ale to łatwo znaleźć na sieci.
Autor podaje algorytm rozwiązywania równania Pella odmienny od tego algorytmu. Postaram się tu pokrótce go przedstawić i mam nadzieję, że niczego nie pomieszam:

Oznaczenie: Przez X^T gdzie X jest macierzą, rozumiem macierz transponowaną do X (tj taką, której wiersze odpowiadają kolumnom X).

Wychodzimy od macierzy:

    |1  0|
A = |    |
    |0 -D|

gdzie D to owo D z równania Pella. Rozważamy też macierz:

    |1  1|
R = |    |
    |0  1|

Konstruujemy ciąg macierzy B_0, ... w taki sposób, że B_0 = R^T lub R, tak, by macierz B_0^T*A*B_0 miała własność: element w lewym górnym rogu był większy od zera a element w prawym dolnym rogu był mniejszy od zera. Dowodzi się, że można wybrać jednoznacznie między T i R^T.

Potem, indukcyjnie: mając zdefiniowane B_n, definiujemy B_(n+1) = B_n*R lub B_n*R^T, tak by B_(n+1)^T*A*B_(n+1) miała wspomnaną wyżej własność: element w lewym górnym rogu był większy od zera a element w prawym dolnym rogu był mniejszy od zera. Ponownie dowodzi się, że w każdym kroku można wybrać jednoznacznie między T i R^T.

Dowodzi się, że dla pewnego n, macierz B_n z tego ciągu ma własność B_n^T*A*B_n = A. Pierwsza kolumna macierzy B_n wyznacza wówczas rowziązanie równania Pella.

Niestety autor nie dowodzi, że wynikiem działania algorytmu jest najmniejsze rozwiązanie. Ja zamierzam się sprawdzić w ustaleniu tego.
Algorytm zaimplementuję, oczywiscie w Haskellu i obiecuję przedstawić tu program.
W ogóle do Haskella będę wracał, bo to naprawdę fascynujący język, zmuszający do zmiany sposobu myślenia. Poza tym jest bardzo sexy i gdybym nie był żonaty podrywał bym na niego dziewczyny.

Odkurzone - mozaiki liczb

2008-06-17T21:47:00.002+01:00

Tym razem nie o mozaice tytoniowej ;)...
Rzecz solidnie zakurzona choć, jakieś dwa lata temu, przypomniana. Bo pewnie warto - to matematyka dość przyjemna, elementarna, w wielu aspektach niezbyt trudna, w sam raz na kółko matematyczne w liceum.
W 1963 roku w "Bulletin of AMS" w stałym wówczas dziale "Research Problems" zawierającym nadsyłane przez czytelników krótkie notki z opisem interesujących problemów - tematów dla potencjalnych badań, pojawiła się notatka Alberta A. Mullina pod tytułem "Some related number-theoretic functions". Autor zdefiniował w niej (niezbyt precyzyjnie ale dość intuicyjnie) pojęcie mozaiki liczby naturalnej i zadał kilka pytań owego pojęcia dotyczących. W mniej więcej tym samym czasie i w latach następnych opublikował też kilka artykułów poświęconych owemu zagadnieniu, w różnych czasopismach. M.in w Notre Dame Journal of Formal Logic, w roku 1965 "Mathematico-philosophical remarks on new theorems analogous to the fundamental theorem of arithmetic" oraz w 1967 "On new theorems for elementary number theory" -wszystkie trzy wymienione dostępne w Internecie, plus kilka do których nie udało mi się dostać (zainteresowani referencjami mogą rzucić okiem na bibliografię ostatniej z wymienionych prac).
Postaram się szybko (ale również krytycznie - tzn. z własnym komentarzem) streścić co na ten temat pisał Mullin, co nowego w tej sprawie pojawio się ostatnimi czasy i wyjaśnić po co w ogóle pisze o tym w blogu, tj. dlaczego zagadnienie wydało mi się interesujące.
Jak wiadomo od starożytności, każdą liczbę naturalną >= 2 można na jeden z dokładnością do permutacji czynników sposób zapisać jako iloczyn liczb pierwszych - jest to treścią tzw. podstawowego twierdzenia arytmetyki. Można ową liczbą zatem zapisać na jeden jedyny sposób jako iloczyn potęg różnych liczb pierwszych (znowu z dokładnością do permutacji czynników) . Jeżeli zapisać korzystając używając tego przedstawienia z kolei wykładniki potęg w przedsatawieniu naszej liczby, a potem kontynuować ten proces rekurencyjnie otrzymamy pewne specjalne przedstawienie liczby naturalnej używające jedynie liczb pierwszych, operacji mnożenia i operacji potęgowania. To przedstawienie nazywać będziemy za Mullinem mozaiką liczby.
Popatrzmy na przykłady, operacja stanie się jasna:

126 = 2*(3^2)*7
455625 = (5^4)*(3^6) = (5^(2^2))*(3^(2*3))
936776054504321817706424726448362358340312545892791091968 =
= 3*(2^8)*(7^64) = 3*(2^(2^3))*(7^(2^6)) = 3*(2^(2^3))*(7^(2^(2*3)))

Dość łatwo zauważyć (łatwiej niż to super-precyzyjnie zapisać), że dla danej liczby istnieje jedna z dokładnością do pewnych oczywistych wynikających z przemienności mnożenia przekształceń mozaika. Jest to oczywisty wniosek z twierdzenia o jednozanczności rozkładu na liczby pierwsze.

Zanim przejdę do pytań dotyczących przedstawień mozaikowych powtórzę kilka klasycznych definicji a potem podam ich rozszerzoną, mozaikową wersję.

Funkcję f z liczb naturalnych do ciała liczb zespolonych nazywamy multiplikatywną, jeżeli dla każdych względnie pierwszych a i b mamy f(ab)=f(a)f(b).
Podobnie g jest funkcją addytywną, jeżeli dla każdych względnie pierwszych a i b mamy g(ab)=g(a)+g(b).

Względną pierwszość liczb oczywiście da się wyrazić w terminach ich rozkładu na liczby pierwsze - liczby względnie pierwsze to takie, które nie mają wspólnych dzielników pierwszych w swoich rozkładach. W naturalny sposób, za Mullinem, mozemy uogólnić te definicje i otrzymać, nazwijmy je umownie, funkcje mozaikowo multiplikatywne i mozaikowo addytywne. Oto ich definicja:

Liczby a i b nazywać będziemy mozaikowo względnie pierwszymi, jeżeli w ich przedstawieniu mozaikowym nie ma wspólnych liczb pierwszych.

Przykład:
4 = 2^2 jest mozaikowo względnie pierwsze z 27=3^3, ale nie z 9 = 3^2.

Zwróćmy uwagę, że, każde dwie liczby mozaikowo względnie pierwsze są też względnie pierwsze. Przykład względnie pierwszych 4 i 9 dowodzi, że nie jest odwrotnie - mozaikowa względna pierwszość jest istotnie silniejszą własnością.

Funkcja f z liczb naturalnych do ciała liczb zespolonych nazywamy mozaikowo multiplikatywną (odp. mozaikowo addytywną), jeżeli dla każdych dwóch mozaikowo względnie pierwszych liczb a i b, f(ab)=f(a)f(b) (dopowiednio f(ab)=f(a)+f(b)).

Tu mała uwaga terminologiczna. Mullin wprowadza termin uoglniona funkcja multiplikatywna (addytywna) - ja zmieniam nomenklaturę na taką, która bardziej wydaje mi się odpowiednia.

Obserwacja, że mozaikowa względna pierwszość jest silniejsza niż względna pierwszość szybko prowadzi do konkluzji, że wszystkie funkcje multiplikatywne (odp. addytywne) są jednocześnie mozaikowo multiplikatywne (odp. mozaikowo addytywne). Jak można się domyślić, nie jest odwrotnie, tj. mozaikowa *ywność nie gwarantuje *ywności bezprzymiotnikowej. Powtórzę tu konstrukcję Mullina.

Zdefiniujmy funkcję psi dla liczb naturalnych w następujący rekurencyjny sposób.
Dla 1 psi(1) = 1;
Dla p będącego liczbą pierwszą psi(p) = p;
Dla dowolnej innej liczby naturalnej postaci p1^a1*p2^a2*...*pn^an, gdzie p1,...,pn są różnymi liczbami pierwszymi psi(p1^a1*p2^a2*...*pn^an) = p1*psi(a1)*p2*psi(a2)*...*pn*psi(an)

Łatwym ćwiczeniem jest sprawdzenie, że:
1. Definicja jest dobrze postawiona, tj. rzeczywiście zdefiniowaliśmy funkcję.
2. Zdefiniowa funkcja jest multiplikatywna.

Okazuje się, że złożenie funkcji psi z samą sobą (czyli funkcja x->psi(psi(x)) ) jest mozaikowo multiplikatywna ale nie multiplikatywna. Dowód dość łatwy, pozostawiam chętnym żeby mieli trochę radości.
Jedno z pytań, które stawia w notce z "Bulletin" Mullin nie jest chyba tak łatwe,w każdym razie mnie się (na razie) nie udało znaleźć zamkniętej formuły a rekurencje jakie mi chodzą po głowie są dość skomplikowane i nie polegają na prostym przejściu od n do n+1. Pytanie brzmi - dla zadanego n naturalnego, jaka jest liczość przeciwobrazu zbioru {n} przez odwzorowani psi.
Co z funkcjami mozaikowo addytywnymi? Podobnie.
Dalszych przykłądów funkcji mozaikowo multiplikatywnych dostarcza odpwoiednie mozikowe uogólnienia klasycznych funkcji arytmetycznych. Np mozaikowa funkcja Mobiusa mi zdefiniowana jako:
mi_star(n) = 0 jeżeli w mozaice liczby n jakakolwiek liczba pierwsza wystąpi więcej niż jeden raz.
mi_star(n) = (-1)^k gdzie k liczba liczb pierwszych występująca w mozaice n w przeciwnym wypadku.

Niestety, zdaje się, że żaden ciekawy odpowiednik twierdzenia o inwersji Möbiusa tu nie zachodzi, przez co teoria funkcji mozaikowo arytmetycznych nie jest taka interesująca.

Mullin ma niestety trochę irytującą manierę strzelania z armaty do wróbli. Na przykład: Mullin podaje, że addytywna (klasycznie!) funkcja psi_star zdefiniowana w następujący sposób:
psi_star(1) = 0,
psi_star_star(x) suma wszystkich liczb w mozaice x dla x > 1
jest suriekcją na zbiór N\{0,1}. Jako argument przywołuje twierdzenie Schnirellmana, podczas, gdy z łatwością można znależć elementarny dowód.

OK. Czy zapomniane ? Nie moge odgrzebać tej pracy, ale jakiś czas temu - ku mojejmu zaskoczeniu - na Arxiv pojawił się artykuł napisany przez grupę studentów poświęcony rozwinięciu, ciągle elementarnemu, niektórych idei Mullina.

Co moim skromnym zdaniem jest w tym interesującego ? No, nie spodziewm się po tym zabawnym, przyznajcie, pomyśle jakiś wielkich fajerwerków, ale daje on pewne nowe spojrzeni na liczby naturalne i prowokuje szereg pytań.

Popatrzmy na to w ten sposób: mamy pewien zbiór X i rozłączny z nim , jednolelementowy zbiór I={i}.
Niech FINFUN(A,B) to wszytkie funkcje o skończonej dziedzinie zawartej w A i przeciwdziedzinie B.
Zdefiniujmy teraz indukcynie:

F(0,X,I) = FINFUN(X,I)∪I
F(n+1, X,I) = FINFUN(X,F(N))
F(X,I) = F(0,X,I)∪F(1,X,I)∪...∪...

W sumie łatwo zauważyć, że nasze F(X,I) odpowiada (jest izomorficzne) z drzewami o skończonej głębokości i skończonej ilości następników dla każdego węzła i węzłach o etykietach ze zbioru X.
Na zbiorze F(X,I) można zdefiniować naturalny porządek częściowy (indukcyjnie):

i x dom(x)⊆dom(y) i ∀s∈dom(x) x(s)≤y(s)

Można też zdefiniować częściową operację

jeżeli dom(x)∩dom(y)=∅ to x*y = x∪y

Gdyby rzoszerzyć F(X,I) do {0,1}XF(X,I) i rozszerzyć operację *, tak aby {0,1}XF(X,I) z tą operacją była tzw. grupoidem.

Są pewne naturalne pytania: Np. na ile sposobów i jak operacja * da sie rozszerzyć do abelowej operacji na wszystkie pary tak by dom(x*y) = dom(x)∪dom(y) i * zachowywała porządek.
Warto zwrócić uwagę że jeżeli taka operacja spełnia warunek:
∀x,y,z,t dom(x)=dom(y)={s} i dom(z)=dom(t)={w} i x(s)=z(w) i y(s) = t(w) => (x*y)(s)=(z*t)(w)
to w naturalny sposób definiuje ona nową operację + w następujący sposób:
x+y = ({(s,x)}*{(s,y)})(s) gdzie s jest pewnym s∈X.
Czy ta operacja musi być zgodna z porządkiem ?
Jest tu wiele podobnych pytań.

Jaki związek z mozaikami?
Jeżeli za X przyjmiemy zbiór liczb pierwszych a za I={1} można szybko skonstrułować izomorfizm między mozaikami liczb naturalnych F(X,I).
Tu jeszcze na X mamy liniowy porządek, który umożliwia jeszcze wzbogacenie dyskutowanych struktur. I prowadzi do nowych pytań.
Moze rzeczywiście z takich pytań może się urodzić jakieś ciekawe nowe spojrzenie na strukturę półgrupy liczb naturalnych?

OK. Na razie tyle na temat mozaikowy, bo trochę mnie ten post zmęczył. Może jeszcze wrócę do kiedyś do tego zagadnienia.

Wynurzenia miłośnika surfini

2008-06-16T00:10:00.000+01:00

Nawiążę do mojego bukolicznego postu z maja i przyznam, że kwiatki, które posadziliśmy na balkonie to surfinie - cierpliwością, sprytem i miłością do rzeczy pięknych właściwymi tej nacji stworzone dzieło japońskich ogrodników.
Niewiele jest tak przyjemnych rzeczy jak doglądanie owych szybko rosnących i jednocześnie urokliwych roślin o fioletowo różowych (w przypadku naszego kwietnika) kwiatach.
Surfinie to prawdziwe dziecko globalizacji. Petunie, których surfinia jest odmianą pochodzą z Ameryki Południowej i są blisko spokrewnione z tytoniem. Surfinia zaś, jako się rzekło została wyhodowana w Japonii. Nie dziwi mnie to wcale - poznałem ogrodniczy zapał Japończyków osobiście kiedym w 2003 roku spędził tam szalony miesiąc niemalże, rozdarty między Yokohamę Totsukę i Kawasaki w natłoku zajęć służbowych znalazłwszy dzień na wizytę w buddyjskich klasztorach Kamakury (i otaczających je ogrodach).
Tak więc Daleki Wschód i Nowy Świat spotykają się na Starym Kontynencie, a dokładniej w Krakowie, w trzech skrzynkach na naszym balkonie.
Ze swoim kuzynem tytoniem surfinia nie dzieli co prawda popularności jako lekkiego narkotyku ani tym bardziej złej sławy zabójcy i (niezasłużonej) niszczyciela systemów opieki zdrowotnej i emerytalnych, natomiast dzieli słabość do choroby zwanej mozaiką tytoniową. Badanie tej choroby roślin pozwoliło Martinusowi Beijerinckowi u schyłku XIX stulecia postawić i uzasadnić hipotezę istnienia innych niż znane do tej pory mikroorganizmów, tj. wirusów.
Wirus jest dziwnym stanem materii - na pograniczu świata ożywionego i nieożywionego. Zwięzła białkowa struktura o geometrycznej niemal prostocie kryje w sobie jedynie RNA lub DNA. Jeszcze chemia czy już biologia? Czy to pytanie ma sens?
Każdy kto codziennie z uwaga przygląda się roślinom, najlepiej jeszcze kiedy opiekuje się nimi od nasionka, które sam wsadził w ziemię, musi zastanowić się, jak to jest, że to amorficzne coś czym jest gleba, woda, gaz wypełniający atmosferę i światło słońca przemienia się w procesie ześrodkowanym w owym miejscu w przestrzeni jakim jest roślina w złożoną strukturę o zróżnicowanych tkankach, i pięknych i skomplikowanych formach. To coś - mimo, że zjawisko znane - przeciwnego intuicji, która każe szukać raczej rozpadu i wzrostu entropii w pozostawionych samym sobie procesach. Pachnie to trochę mistycyzmem. Co jakiś czas w końcu - w oderwaniu "geograficznym" od pierwotnego procesu rozpoczyna się nowy - nowe nasionko w skomplikowanym fizyczno-chemicznym tańcu zaminia się w kolejną roślinę. Wygodniej jest chyba zatem myśleć o jednym w istocie procesie: życiu. W tym sensie - wirusy są istotną i aktywną częścią tego procesu, choć jeśli spojrzeć na nie redukcjonistycznie: jako na wydrębnionyz głównego podproces - organizm, są albo formą skrajnie pierwotną albo skrajnie uproszczoną (może hyperwyspecjalizowaną ?) typowych organizmów.
Zdaje się, że naukowe ogarnięcie życia jako procesu nie sprowadzi się w ostateczności do badania i odkrywania elementarnych cegiełek go stanowiących. Potrzebna jest nowa matematyka, której zręby być może już się utoworzyły, dająca możliwość ogarniania niesamowitych zjawisk do których należy życie.
Kiedy myslę o - anegdotycznym już dzisaj - odkryciu Beijerincka, który odfiltrowawszy wodę, która miała kontakt z zakażonym tytoniem filtrem tak silnym, że zatrzymał wszelkie bakteria odkrył, że otrzymany destylat nadal zaraża tytoń, co doprowadzio go do wniosków, które uczyniły go sławnym, nie mogę nie myśleć o podstawowych prawdach dociekań empirycznych ujętych swgo czasu przez Milla w formie tzw. kanonów Milla. To przewodnikcy Beijenricka ale i niezliczonej a zacnej grupy naukowców, lekarzy i inżynierów. Sam, jako, że czasem zajmuję się diagnostyką systemów technicznych odkrywam ze zdziwieniem, że owe proste metodologiczne prawdy są tak trudne czasem w stosowaniu. Koniec na dziś. Trzeba podlać surfinie.

Raj i piekiełko

2008-06-06T15:14:00.002+01:00

Są takie chwile, kiedy na moment otwierają się kraty solipsystycznego więzienia jakie człowiek sam buduje w swojej głowie i można ręką dotknąć, okiem zobaczyć, uchem usłyszeć Rzeczywistość. Czy o to chodzi w buddyjskim doświadczeniu zwanym z japońska kensho? Nie wiem, ale wiem, że spotkało mnie to dziś kiedy przemierzałem niewielki odcinek drogi pomiędzy końcowym przystankiem autobusu a bramą firmy gdzie pracuję. Żywe doświadczenie realności i piękna świata, którkotrwały wgląd w jego prawdziwą naturę. Może ma coś z tym wspólnego kawałek łąki wzdłuż której biegnie chodnik? To bujne pole bitwy o słońce, wodę i glebę (z całą masą zawartych w niej pożywnych pierwiastków) toczonej przez tyleż dziarskie co pospolite trawy, zioła i inne chwasty. Eksponują swoje przeznaczone dla oczu owadów wdzięki, żywe ale nie krzykliwe kolory które dobierały przez miliony lat ewolucji, przywodząc na moment wyobrażenie raju.
Niedawno czytałem, że większość kultur ludzkich ma podobne wyobrażenie miejsca wiecznej szczęśliwości. Jest to nie tyle ogród co bardziej sawanna: równina pokryta trawą z rozrzuconymi niezbyt gęsto drzewami pewną ilością wody w postaci stawów lub strumieni i błękitnym niebem z niewielką ilościa chmur rozpostartym nad tym krajobrazem. Wedle tego wzoru ludzie urządzają swoje ogrody i parki, to tło literackich i malarskich sielanek ("Wśród takich pól przed laty, nad brzegiem ruczaju, na pagórku niewielkim, we brzozowym gaju ..."). Utrwalona w świadomości gatunku fotografia jego pierwotnej siedziby? Wspomnienie z dzieciństwa człowieczeństwa, jak większość wspomnień z dzieciństwa, szczęśliwe?
Mam i ja więc swój mały, sezonowy i z rzadka, niestety, dostrzegany kawałek raju koło którego niemal co dnia przechodzę.
Moje kensho, jak na kensho przystało, trwało krótko. Wróciłem w duszne ściany własnego umysłu.

Mam tu między innymi swoje piekiełko matematycznych obsesji.

Ostatnio wciągnął mnie za sprawą pewnej pracy temat minimalnych gramatyk. Zagadnienie (jak i wiele pokrewnych od niego, m.in ukryte modele Markova) zdaje się mieć wiele zastosowań już istniejących (np. kompresja danych) jak i jeszcze więcej potencjalnych. To jeden z punktów widzenia, dla których warto sie tym problemem zajmować, poza przyrodzoną samą urodą tematu. Mnie jednak fascynuje coś innego - potencjalne związki z teorią liczb. A nawet ogólniej - na kanwie już a nie bezpośrednio sprowokowany artykułem - pytanie o relacje między obliczalnościa a teorią liczb.

Pomysł jest, ogólnie rzecz biorąc, taki:

Jak wszyscy wiemy rozwinięcia liczb wymiernych w pozycyjnym systemie zapisu liczb, jest zawsze ostatecznie okresowe, tj. od pewnego momentu ciąg cyfr przy stosownej podstawie zaczyna się w rozwinięciu powtarzać. Przypadek, kiedy rozwinięcie jest po prostu skończone, sprowadza się do tego samego przypadku, jest bowiem ono ostatecznie okresowe, przy czym z okresem 1 powtarza się liczba 0.
Odwrotnie, liczba która nie ma takiego rozwinięcia jest po prostu niewymierna.
Jak niektórzy z nas wiedzą, liczba wymierna jest wyrażalna jako skończony ułamek łańcuchowy, i odwrotnie, skończone ułamki łańcuchowe definiują liczby wymierne. Natomiast nieskończone, ostatecznie okresowe ułamki łańcuchowe odpwiadają niewymiernym, rozwiązaniom równań kwadratowych o współczynnikach wymiernych. Co więcej, najbardziej popularne liczby rzeczywiste, po prostu gwiazdy continuum, cechują się wyjątkową regularnością jako ułamki łańcuchowe.

Widać wzorzec? Regularność reprezentacji liczby oznacza, że jest ona "prosta" według jakiegoś innego kryterium (np. jest wymierna, albo jest pierwiastkiem równania kwadratowego)
To w naturalny sposób prowadzi do szeregu interesujących pytań. Czy jest jakieś kryterium na ułamki łańcuchowe pozwalające powiązać budowę automatu generującego kolejne elementy łaćucha z własnością liczby reprezentowanej przez dany ułamek, np czy można podać kryterium "łańcuchowe" na bycie pierwiastkiem 3-go stopnia? Podobnego pytania dla rozwinięć pozycyjnych.
Kolejnego pytania, tym razem powiązanego z minimalnymi gramatykami: załóżmy, że umiemy znaleźć gramatykę minimalną rozwinięcia pozycyjnego pewnej liczby obciętego do n miejsc po przecinku. Jej długość (sprawdźcie artykuł szukając definicji) będzie się na ogół zwiększała z rozmiarem n. Czy tempo tego zwiększania (ewentualnie jakaś inna miara z nim związana) w naturalny sposób dzieli liczby na klasy, ustawia klasy w hierarchie i w dole tej hierarchii lokuje liczby w jakimś sensie proste (np. pierwiastki wielomianów itp).
Jest parę innych tu zagadnień, powiązanych ze wspomnianymi, które warto podjąć ale ich tu nie zanotuję. W każdym razie, temat jest intrygujący i niepokojący. Można też przy okazji - co ważne, bo kiedy myślenie nie idzie, trzeba czymś zająć ręce - pobawić się komputerem. By upiec jeszcze jakąś pieczeń na tym ogniu przy pisaniu programów po raz n-ty podejdę do Haskella, języka programowania dla prawdziwych matematyków. Podejdę od zera niemal, bo prawie zapomniałem czego się już kiedyś nauczyłem :(.

Notatka służbowa (w nieco bukolicznym nastroju)

2008-05-11T18:58:00.022+01:00

Zeszłego tygodnia marzłem na lądzie i grzałem się w wodzie na Słowacji. Bo Słowację tak ja jak i moja małżonka (po słowacku manzelka) lubimy, cenimy i odwiedzamy z przyjemnością. Niestety powrót to dramatyczne okoliczności na trakcie lądowym z Krakowa do Zakopanego w okolicy Myślenic, gdzie godziny spędzone w korku przyczyniły się walnie do odbudowania poczucia frustracji, niezadowolenia i zmęczenia u podróżujących, które jak im się naiwnie zdawało, przynajmniej na kilka tygodni zrzucili z siebie dzięki długoweekendowemu wyjazdowi. To nic, trudno. Działa po prostu jakieś prawo zachowania złego samopoczucia w granicach RP. Czysta fizyka. Nic nie poradzisz. Sam wracałem z nietęgą miną również z innych powodów. Po prostu czekała na mnie terminowa robota i świadomość tego faktu, spychana w najniższe pokłady kiedym się pławił w przyjemnościach, boleśnie powróciła. Potem zwariowany, ale mam nadzieję dość owocny tydzień i w końcu: tadam! Wczoraj posadziliśmy na naszym balkonie kwiatki! Nic nadzwyczajnego, zaledwie kilka skrzynek, ale jestem z tego bardziej zadowolony niż z wielu ambitniejszych przedsięwzięć. Oprócz doznań estetycznych i atawistycznego zadowolenia z założenia uprawy do którego skłonnośc pewnie kołacze mi się w genach po prarolnikach, fakt ten ma również pewne implikacje praktyczne. Według bowiem twierdzeń mojej żony, które nie wiem jak się mają do rzeczywistej etologii, ale którym nie mam powodu nie wierzyć, ukwiecenia naszego balkonu może odstraszyć od niego gołębie. Ta zmora miasta Krakowa (pewna Szwedka, którą kiedyś poznałem nazywała je "latającymi szczurami") budzi pewną przychylność u turystów. Natomiast mieszkańcy miasta czują do nich nienawiść. Z tejemniczych powodów np. pewna liczba tych ptaków znajduje atrakcyjnym załatwienie swojej potrzeby na naszym balkonie. Jeżeli więc rozsady się przyjmą a teoria się sprawdzi, sukces będzie podwójny. Tak właśnie upływa wiosna: przyjemności ciała, radości gospodarskie... A gdzie w tym wszystkim duch? Gdzie intelektualne wyzwania? Gdzie lektury? Właśnie nigdzie... Czekają na lato?

Wyznanie niewiary

2008-04-30T12:36:00.001+01:00

Kto przypuszcza, że moje niepisanie ostatnio ma jakiś związek z lenistwem, wiosną w czasie której chce się żyć ale niczego innego konkretnego i w końcu naturalną skłonnością piszącego te słowa do łajdaczenia się raczej niż systematycznej pracy, niestety się nie myli. Z marazmu wyrwała mnie dopiero smutna konieczność wypełnienia PIT-ów i zamieszanie jakie powoduje co roku (a powinienem już być uodporniony). Dziś zakończyłem stosownymi performatywami przepisowy czas mojej tegorocznej przygody z dokumentacją podatkową i mam nadzieję, że mimo rozbujałości i arogancji aparatu skarbowego w tym kraju szalejącego fiskalizmu, dogrywki nie będzie.

Mimo braku osiągnięć w rodzaju wpisów na blogu (oho, blog staje się autotematyczny - niedobrze! ) nie zaliczę jednak ostatnich tygodni do kompletnie przebimbanych. Na przykład, po roku jakimś przetrzymywania na półce w końcu na swój moment trafiła głośna książka Richarda Dawkinsa "Bóg urojony". Muszę powiedzieć, że po wielu złych oipiniach na jej temat - choć oczywiście były i dobre - podchodziłem do niej z pewnym niepokojem, spodziewając się raczej pamfletu niż rozprawy. Oczywiście to ani do końca jedno ani drugie, ale moje rozczarowanie jest miłe: poza wszystkim innym to świetnie napisana książka.

Bardzo trudno - bo sam myślą uciekam od takich rozważań - jest mi precyzyjnie określić mój stosunek do religii, wiary, ludzi wierzących i to jeszcze w zależności od tego o jakiej wierze mówimy. Podobnie, a może jeszcze trudniej jest mi zdefiniować mój stosunek do owego transcendentnego bytu którego postuluje religia w której mnie wychowano. W praktyce życiowej nie silę się na zadawanie sobie takich pytań, ba, silę się na niezadawanie ich sobie. To wygodny, operacyjny agnostycyzm, który pewnie bardzo zdenerwowałby Dawkinsa. Jego książka prowokuje jednak do pewnych przemyśleń z których częścią zamierzam się podzielić.

Zacznę w sumie od końca, czyli od percepcji tej książki. Przez wielu ludzi, z których część szanuję bo znam, część bo nie zawiodłem się na ich opinii do tej pory, a część posądzam o złą wolę książka została (niesprawiedliwie) osądzona jako brutalna, posługująca się tępymi argumentami itd. Otóż raczej nie. Rzecz jest zadziorna ale chyba nie bardziej niż drukowane opinie ludzi przynależnych do przeciwstawnego obozu. Czasem pachnie lekko misjonarskim czy zgoła kaznodziejskim zapałem, nieobcym jak widać również ateistom. To prawda, ale w moim odczuciu jest raczej obroną przez atak niż atakiem samym w sobie. Jeżeli przy takiej strategicznej metaforze pozostać, sedno problemu leży w tym, że atak i obrona nie rozgrywają się na tej samej płaszczyźnie. Dawkins uważa i w dużym stopniu muszę się z nim zgodzić, że w ogromnej częśći świata włączając w to świat Zachodu, postawa ateistyczna a często po prostu brak postawy religijnie zaangażowanej jest powodem represji i wykluczenia. Że prawomocność podejścia religijnego nie jest oparta na niczym innym jak na łańcuchu warunkowań jednych pokoleń przez drugie, które to warunkowania w mikroskali odbywają się na poziomie rodziny oraz wprost przez instytucje religijne i będace pod ich wpływem instytucje edukacyjne i społeczne. Skuteczność tej transmisji "w dół pokoleń" wiąże się z tym, że wykorzystuje ona wytworzony przez ewolucję mechanizm przekazywania doświadczeń rodziców swojemu potomstwu. Ten mechanizm właśnie powoduje, że dzieci, jak pewnie młode innych gatunków w których wychowanie wiąże się z przekazywaniem informacji, posiadają bezgraniczną niemal ufność do rodziców. To, plus fakt, że przekaz treśći religijnej następuje na niemal tak samo wczesnym etapie rozwoju dziecka jak nauka mowy daje gwarancję rozprzestrzeniania się religii. To, samo w sobie nie jest oczywiście nic złego, oprócz treści religijnych na podobnej zasadzie przekazywana jest cała rozmaitość innych pożytecznych poglądów czy przekonań. Ale odziera to częściowo sukces postawy religijnej z tajemnicy. Nie potrzeba działania siły nadprzyrodzonej aby tak stabilny proces trwał przez dziesiątki czy setki pokoleń.

Zmitologizowana jest też zdaniem Dawkinsa "moralnogenność" religii. Wiara w Boga, nie jest ani warunkiem koniecznym ani wystarczającym dla postawy moralnej. Co więcej - i tu jest zapewne jedno z najgorętszych miejsc konfliktu - Dawkins twierdzi, przytaczając interesujące eksperymenty antropologiczne, że pewna naturalna moralność przyrodzona gatunkowi ludzkiemu, tkwiąca w głębokich strukturach kształtujących myślenie i odczuwanie takich zjawisk jak dobro, zło, sprawiedliwość itd. jest przez dominację myślenia religijnego często spaczona. Czyli nie jest tak, że człowiek (w sensie ogólnym) jest moralny, ponieważ jest religijny, ale jest moralny po prostu, w czym religijność może mu wręcz przeszkadzać. Obserwując działania fanatyków muzułmańskich czy śledząć historię konfliktów religijnych w Europie trudno się z tym choćby częściowo choćby nie zgodzić.

Wobec tego, w sferze racjonalnej nie ma podstaw, dla których np. prezydent USA nie może być ateistą a wrogość wierzących w stosunku do ludzi niewierzących nie jest potępiana w takim samym stoipniu niż zachowanie przeciwne. Oczywiście z naszej Europejskiej perspektywy sprawy wyglądają nie tak źle jak np. w Stanach.

Prawdziwy atak - i to jak sądzę rozjusza adwersarzy, bo Dawkins w zasadzie nie zostawia pola na którym możnaby nie narażając się na śmieszność polemizować - przenosi na dziedzinę relacji nauka-wiara. Mamy więc po kolei: rozprawę z racjonalizacją teologii, ze szczególnym uwzględnieniem teologii chrześcjańskiej. Pod nóż idą zatem "dowody na istnienie Boga", które raczej powinny zwać się uczciwie "argumentami za istnieniem Boga". Strategii przeciw nim jest kilka i nie będe powtarzał argumentacji Dawkinsa, w każdym razie jest ona, jeśli nie w każdym wypadku miażdżąca, to z pewnością neutralizująca. To jest ta część zapewne, dla której Dawkins jest tak powszechnie nienawidzony. Nauka, dowód, racjonalność, czy to się podoba czy nie są w dzisiejszym świecie, przynajmnie na Zachodzie, kwestiami fundamentalnymi. Posiadanie choćby przyczółków na tym polu jest absolutnie warunkiem rządu dusz. Dawkins pokazuje, że owe przyczółki są raczej zwidem i ułudą z całym spektrum błedów metodologicznych i logicznych: od sofizmatów po ignotum per ignotum. Że w najlepszym razie "wyjaśnienia" dawane przez religię są po prostu odesłaniem problemu piętro wyżej, czyniąc z idei Boga klasę abstrakcji zdań o których prawdziwości bądź fałszywości nie wiemy nic lub zgoła wiedzieć nie możemy. Jako biolog - dla mnie jako matematyka (z wykształcenia jedynie, ale zawsze) nie ma ta argumentacja tej siły na jaką liczył Dawkins - podejmuje wobec tego próbę falsyfikacji twierdzeń religijnych w oparciu o metodologię nauk empirycznych: nie ma eksperymentu, który dowodziłby tezy o istnieniu Boga. Obmyślone eksperymenty, nie dowodzą tego, a sama teza wobec wymykania się rozumowań religijnych takim racjonalnym pojęciom jak przyczynowość jest niemożliwa. Zawsze można z uporem twierdzić, że eksperyment się nie udał bo właśnie Bóg tak chcial itp. Dawkins nie wyciąga jednak stąd wniosku, że w takim razie zakres pojęć nauki jest po prostu rozłączny z religią i rozumowania poprawne w jednym świecie nie koniecznie musza być poprawne w drugim. Taka, naturalna dla wielu wobec faktów postawa budzi jego głęboki sprzeciw. Jest empirykiem nie logikiem. Z tego, że coś być może, choć wszystko wskazuje, że tego nie ma albo nie potrzeba tego zakładać wyporwadza swoją postawę ateisty. Brzytwa Ockhama w działaniu.

jak odnajduję siebie w tym wszystkim?

Zostałem wychowany w religijnej, choć bez dewocji, rodzinie. Od dziecka chodziłem do kościoła. Dorastałem zresztą na podkarpaciu i, jak sądzę, pierwszego niewierzącego na żywo i na własne oczy zobaczyłem kiedy przeprowadziłem się na studia do Krakowa. Od nieco starszego dziecka zdawałem sobie sprawę jak głęboko niespójna w wielu kwestiach jest wiara. Pomijam pytania epistemologiczne, krytykę naukową. To chyba trochę późniejsza refleksja. Problemem było dla mnie zawsze istnienie innych religii, potępienie za - niezawinione w sensie ludzkim - zło w sensie religijnym: nie bycie ochrzczonym czy wychowanie w innej wierze to przynajmniej według księży, którzy uczyli mnie religii - było coś złego. Podobnie problem zła i cierpienia - taka mała dziecinna jeszcze teodycea. Trudno jest pogodzić dobroć Boga z nieszczęściem, które spotyka ludzi bez ich winy. A nawet wina domaga się raczej adekwatnej a nie przesadnie wyolbrzymionej kary - na tym polega sprawiedliwość. Podobnie dogmatyka - jak np. dogmat o nieomylności papieża w kwestiach religijnych był dla mnie wielce tajemniczą kwestią, co do której miąłem spore wątpliwości. Dzieci mają jednak inne większe problemy i nie nurtowało mnie to nigdy przesadnie, ale był to jakiś rozłam, który znacznie później po wielu innych doświadczeniach i przemyśleniach znacząco się pogłębiał. Zapewne już wtedy, usiłując ten nie będący przecież jakąś spędzającą mi sen z powiek zadrą, konflikt zażegnać doszedlem do wielu przekonań dalekich od ortodoksji. Gdyby komuś chciało się naprawdę poważnie wypytać mnie o zapatrywania religijne w szkole podstawowej chyba nie uzyskałby obrazu prawowiernego katolika.

Przesłanie religijne miało natomiast jak sądzę pewien wpływ na kształtowanie się moich poglądów co do praktycznej moralności w codziennym postępowaniu. Ponieważ w znakomitej większości normy moralne jakie uznane są za standard w społeczeństwach wyznających chrześcijaństwo są mi bliskie i zdaję sobie sprawę, że w inych społeczeństwach kształtują się one odmiennie, uważam, że Dawkins nie docenia tej roli religii. Moralność świata Zachodu jest w dużej mierze pochodną chrześcijaństwa - nie mam tu wątpliwości - i w takim sensie Dawkins jest jego produktem podobnie jak ja. Jest też pochodną wielu innych rzeczy: kultury antycznej, idei oświeceniowych - w tym i antyreligijnych. Nie wyporwadzałem z tego (a już szczególnie nie wyprowadzam dziś) żadnych wniosków co do "prawdziwości" wierzeń religijnych albo co do istnienia Boga. Natomiast nie odrzucam w całości argumentu utylitarnego, że religia jest pożyteczna, bo kształtuje jakiś "dobry" porządek społeczny czy moralne postawy ludzi. Problem polega na tym, że religia sankcjonowała również porządki bardzo złe, przyczyniające się do pogłębienia cierpień ludzi - to był jeden z motorów narastającego buntu i różnych rewolucji. One z kolei przynosząc swoje zło i cierpienie przyniosły też jakieś elementy pozytywne, które osadziły się i przyczyniły do kształtowania świata. To trudne zagadnienie i łatwo tu być źle zrozumianym. Z punktu widzenia jednak Wielkiego Sporu o Istnienie Boga, owa przydzielana mu utylitarna rola podobna do roli spinacza w Microsoft Office, który jest upostaciowieniem instrukcji obsługi stworzonym po to, by ludzie łatwiej stosowali się do jej zaleceń, nie jest chyba satysfakcjonująca.
Wracając do moich historii z wiarą, gdzieś w okolicach drugiego roku studiów poniekąd również pod wpływem pewnych przeżyć osobistych przestałem chodzić do kościoła i oddaliłem się od spraw religijnych w ogóle. W owym czasie już jasno odgrodziłem w swoich poglądach kwestie wiary od kwestii rozumu z jednej strony i kwestie wiary od kościoła instytucjonalnego z drugiej, o tym ostatnim, niezależnie od atrofii przekonań religijnych nabywając coraz gorszego mniemania. Studiując i interesując się naukami ścisłymi narastała też we mnie pewna irytacja dla języka jakim posługują się osoby wypowiadające się na temat wiary - za dużo w nim takich pojęć jak tajemnica, prawda świadectwo itp. które nie do końca wiadomo co dla nich znaczą.

Obecnie w zasadzie jestem ateistą, choć jako się rzekło nie rostrząsam kwestii religijnych na tyle, by postawić kropkę nad "i". Z pewnością nie wierzę w osobowego Boga o jakim uczono mnie na religii. Dopuszczam czysto teoretycznie, ale jako zdanie którego nie da się asni wykazać ani obalić (bardziej jako logik niż empiryk w przeciwieństwie do Dawkinsa), istnienie jakichś bytów ponad dostępnym nam światem fizycznym. Nie uważam, że postulat istnienia takich bytów wyjaśnia fundamentalną kwestię filozoficzną, "dlaczego jest raczej coś niż nic", a poza ową kwestią nie ma powodów by istnienie owych bytów było do czegoś potrzebne. Nie wierzę w religijne pochodzenie moralności, choć uważam, że religia odgrywa tu pewną rolę w utrwalaniu pewnych postaw. Może mieć jednak i wpływ szkodliwy.

Mam wpojone przez wychowanie w religii odruchy: źle odbieram nadmiernie zuchwałe bluźnierstwa, w sytuacjach kryzysowych myślę o modlitwie. Potęga rozumowania które stoi za zakładem Pascala, kiedy na szali leżą prawdziwe stawki jak życie bliskiej osoby jest obezwładniająca - mały gwałt we własnej głowie o którym nikt się nie dowie nie jest wygórowaną ceną za ułudę, że coś jednak możemy zrobić.
Jestem zwolennikiem ścisłego oddzielenia religii od państwa, rządu i praw. Nieustanne dążenie do ujmowania w prawie stanowionym kwestii wynikających z religijnego spojrzenia na rzeczywistość świadczy moim zdaniem o słabości religii, która nie jest w stanie obejść się bez państwowego aparatu represji. Widmo kary doczesnej działa zdaje się lepiej niż wizja piekła.
Rozumiem szczególną rolę kościoła katolickiego w Polsce związaną np. z czasami PRL, nie uważam jednak, by dawało mu to szczególne prawa. Teza utożsamiająca Polaka z katolikiem jest już dla mnie w ogóle niezrozumiała, zła i godna potępienia.

Tak więc Dawkins sprowokował mnie do rachunku sumienia w rzeczonych sprawach. W ogóle uważam, że szczególnie osoby wierzące powinny jego książkę przeczytać: co najmniej raz w życiu trzeba się zmierzyć z demonem.
Mam graniczące z pewnością przekonanie, że podobny do mojego stosunek do religii jest właściwy wielkiej części społeczeństwa, z małą różnicą, że manifestuje ona zewnętrzne rytuały katolicyzmu. Z religii się w jakiś sposób wyrasta. Jak pisze św. Paweł do Koryntian, w liście będącym evergreenem literackim wszechczasów: "Gdy byłem dzieckiem, mówiłem jak dziecko, czułem jak dziecko, myślałem jak dziecko. Kiedy zaś stałem się mężem, wyzbyłem się tego, co dziecięce."

Jeżeli macie trochę czasu procesora

2008-04-08T16:46:00.000+01:00

na zbyciu, inspirują was dziwne formy, lubicie matematykę może was zainteresować gadżecik na prawym marginesie. To mała wprawka w javascript i HTML. Po uruchomnieniu linkiem "START", wasza maszyna powinna:
a) znacząco zwolnić i zużywać czas procesora na przeglądarkę
b) wyrysować atraktor IFS pięciu odwzorowań afinicznych o losowo, ale rozsądnie zadanych parametrach
c) dopóki nie naciśniecie STOP, lekko modyfikować parametry i rysować kolejny atraktor

OK. Trochę tu oszukałem, ale się poprawię. Moje przekształcenia w IFS nie mają gwarancji bycia zwężającymi (choć w większości przypadków będą). Usterka, którą chętnie wyeliminuję jak poczuję zew. Na razie, mimo niedoskonałości zabawki z punktu widzenia matematycznego, jako guma do żucia dla oka wydaje się sprawdzać, postanowiłem się więc nią podzielić z niewielką garstką czytelników.
Kodu proszę nie czytać raczej - lata temu napisałem coś ostatnio w JavaScript i większość czasu teraz spędziłem raczej na zaglądaniu do referencji rozmaitych, których pełno na Internecie niż na myśleniu twórczym. Owa nieporadność znalazła w kodzie odbicie, którego nie mam siły maskować.
Aha, jako się rzekło, może jeszcze poczuję zew. Wtedy postaram się trochę parametrów wewnętrznych udostępnić użytkownikom, żeby zabawa była ciekawsza.
I w końcu - tu nic się nie zmieniło od mojego ostatniego razu - jest tylko podzbiór przeglądarek na których rzecz ma szansę zadziałać. Nie działa, i to z przyczyn fundamentalnych - na moim IE 6.0, natomiast działa na moim Firefox 2.0.0.13. Cóż - problemy z kompatybilnością to najbardziej trwałe zjawisko w historii software'u i jeden z najbardziej namacalnych dowodów na istnienie szatana...

Okrakiem na chaosie

2008-03-10T22:51:00.002+01:00

O teorii chaosu dowiedziałem się w latach osiemdziesiątych i to zdaje się w pierwszej ich połowie. Pamiętam (ale nie należy zbytnio wierzyć temu wspomnieniu, bo czasem pamięć płata mi figle i zdarza jej się dorobić otoczkę, którą następnie kwestionują współuczestnicy wydarzeń o bardziej protokolarnej pamięci), że byłem z rodzicami na wczasach w Muszynie i czytałem jakieś czasopisma poświęcone technice, bodajże "Przegląd Techniczny" względnie "Horyzonty techniki" (były w dawnych czasach takie czasopisma) i był tam felieton o "efekcie motyla", chaosie, równaniach Lorenza itd. Strasznie te kilka słów rozpaliło moją wyobraźnię. Potem, kiedy zaczytywałem się w SF podobała mi się - ciągle jeszcze wspominana przez fanów gatunku jak widze po szybkim googlowaniu - drukowana w "Fantastyce" powieść Colina Kappa "Formy chaosu" i jej druga część "Bronie chaosu". Nie jest to wielka literatura ale na kilkunastoletniego chłopca wystarczy ;) Nie pamiętam dokładnie akcji, ale generalnie główny bohater był czymś w rodzaju języczka u wagi, kimś kto katalizował zmiany w rzeczywistości - generatorem niewielkich zaburzeń które miały doprowadzić do wielkich efektów. Fenomenalnie przewidująca przyszłość cywilizacja (musiała mieć jakiegoś swojego Laplace'a któremu spełniła się zachcianka wyrażona w słynnym wyznaniu wiary deterministy) miliony lat przed pojawieniem się owego człowieka postanowiła go zniszczyć precyzyjnie kierując wobec niego broń. OK. Moze coś pokręciłem...

Te moje podbijane co jakiś czas różnymi, coraz gęściej, im temat stawał sie modniejszy w naszym kraju, pojawiającymi się publikacjami (tak poularnonaukowymi jak i prozą fabularną) zainteresowania w końcu przyniosły taki efekt, że kiedy studiowałem matematykę, znalazłem sobie temat specjalizacji chyba najbliżej owych rozważań leżący - teorię układów dynamicznych, której częścia, przynajmniej od strony matematycznej jest teoria chaosu właśnie.
W ciągu wielu lat pojawiło się wiele innych pokrewnych tematów a w końcu i teorii, czy to kiełkując z samej teorii chaosu, czy wychodząć od analizy podobnych układów, czy niejako z boku w nawiązaniu do niej. Pojawiła się cała "nauka o złożoności" o zjawiskach "emergencji" czyli spontanicznego pojawiania się złożnoych struktur w wyniku prostych oddziaływań. Do klasycznych obszarów fizyki, które były tradycyjnym siedliskiem fenomenów "chaosu" jak mechanika, czy mechanika statystyczna dołączyła mechanika kwantowa i inne działy a w końcu okazuje się, że zjawiska kojarzone z chaosem są wszędobylskie.

Minęły lata i nie zajmuję się tym więcej, ale kiedy się na coś ciekawego natykam, to zawsze chętnie nadstawiam oko i ucho. Właśnie, zupełnie niespodziewanie, po przeczytaniu krótkiej recenzji, która nie do końca uświadomiła mi czego mam się spodziewać wpadła mi w ręce książka "Masa krytyczna" Philipa Balla. Książka traktuje o zastosowaniach tej nowej nauki o złożoności (ale i nie tylko bo bardziej klasyczne podejścia też są wzmiankowane a bywa, że i omawiane w szczegółach) do zagadnień społecznych i zjawisk otaczającego nas świata ludzi. Okazuje się, że własności obserwowane w bardzo prostych co do założeń i reguł modelach mających naśladować jakieś aspekty społecznego życia, od poruszania się po korytarzach, przez ekonomię i rynki finansowe, systemy polityczne i "mechanikę demokracji" czy reklamy wykazują zadziwiającą zbieżność z rzeczywistymi zjawiskami obserwowanymi w realnym świecie. Że w wielu aspektach naszego życia przejawiają się pewne stałe wzroce jakościowe, podobne rozkłady prawdopodobieństw pewnych zjawisk, wyłaniają się stale te same struktury. Że powszechne jest pojawianie się punktu krytycznego odpowiadającego zestawowi pewnych parametrów opisujących model przy zmianie których układ zmienia swoje odpowiedzi w jakościowo inny sposób w reakcji na zmianę wrunków początkowych czy innych parametrów. Że obserwujemy znane z fizyki przejścia fazowe - niewielka zmiana przenosi system z jednego stanu do kompletnie jakościowo od niego różnego, choć reguły rządzące pojedyńczymi cząstkami reprezentującymi w tym wypadku jednostki, firmy czy państwa nie zmieniają się.

Jedną z podstawowych cech takich układów, o której zresztą wspomniałem tutaj, jest nieproporcjonalnie wielka i nie dająca się ze swojej obliczeniowej natury przewidzieć reakcja systemu na małe odchylenia. Ow metaforyczny efekt motyla. Podobno na takiej zasadzie nieprzewidywalny jest El Ninio - anomalia pogodowa przynosząca klęski żywiołowe mieszkańcom Ameryki Południowej - obszar atraktora układu powietrze/ocean do którego ów chaotycznie zachowujący się system zbliża się co jakiś czas w swim nieregularnym ruchu.
Takie zjawiska zawsze niosą pokusę okiełznania ich w "inżynieryjny" sposób. Gdyby istaniało urządzenie bądź reguła zdolna przewidzieć efekty zmian w układzie chaotycznym, możnaby tanim kosztem osiągać wielkie efekty. By zmieniać pogodę wystarczyłoby wypuścić motyla w odpowiednim momencie...

Ciekawe, czy wiara w magię - w to, że pozornie drobne gesty, rytuały wtajemniczonego moga spowodować jakieś odczuwalne skutki - np. sprowadzić chorobę czy deszcz jest wyrazem jakiegoś pierwotnego uświadomienia sobie zjawiska krytyczności w systemach z którymi stykał się człowiek? Namiastką inżynierii chaosu?
W końcu, czy powstanie kiedyś prawdziwa "inżynieria chaosu"? Czy taka dziedzina w ogóle jest możliwa? Czy byłaby w ogóle pożądana?

Odkurzone, wygrzebane

2008-03-03T23:11:00.003+01:00

Czasem zakopane w starych czasopismach, pożółkłych książkach czy innych tego typu zapomninych miejscach do których nikt nie zagląda leżą ciekawe, potencjalnie pożyteczne i eleganckie perełki. Bywa, że odkrywane po wielokroć na nowo stają się elementem folkloru i nikt w zasadzie już nie pamięta kiedy, jak i po co je odkryto po raz pierwszy.
Postanowiłem od czasu do czasu, kiedy natknę się na coś godnego uwagi zanotować to w tym blogu - żeby nacieszyć oko odkurzonym drobiażdżkiem i licząc, że może komuś się przyda...

Dziś następujący problem:
Niech A będzie nieskończonym podzbiorem zbioru liczb naturalnych N (bez 0 dla uniknięcia niepotrzebnych subtelności w rozważaniach o indeksach). Załóżmy, że mamy daną fukcję, COUNT: N->N która dla liczby naturlanej n daje informację ile liczb w zbiorze A jest mniejszych bądź równych n:
COUNT(n) = #{x \in A | x <= n}
poszukujemy algorytmu pozwalającego dla zadanej liczby m wyznaczyć m-ty element zbioru A.

Rozwiązanie jest następujące (użyję c-podobnego pseudokodu):

ORD(m)
{
retval = m;
x = COUNT(retval);
while(x != m)
{
retval += (m - x);
x = COUNT(retval);
}
return retval;
}

miłośnikom dobrej zabawy polecam udowodnienie poprawności algorytmu używając indukcji matematycznej.
"Intuicjonistom", którzy lubią czuć skąd się wziął pomysł, może spodoba się następujące rozumowanie:
Pierwszy strzał to najmniejsza liczba dla której fukcja COUNT ma w ogóle szansę równać się m czyli po prostu m.
Trafiony - świetnie, szukaną liczbą jest właśnie m. Jeżeli nie trafiony, to znaczy, że COUNT(m) < m. Kolejną najmniejszą liczbą m_2 dla której możliwe będzie, że COUNT(m_2)=m jest oczywiście liczba większa od m o tyle ile COUNT(m) zabrakło do m czyli (m-COUNT(m)). Zatem następny strzał to m_2=m+(m-COUNT(m)).
Sprawdzamy więc ile wynosi COUNT(m_2). Jeżeli m to mamy swoją liczbę. Jeżeli nie, to powtarzamy "strzelanie" opierając się na tym samym rozumowaniu i dostajemy m_3 = m_2+(m-COUNT(m_2)) itd. Aż do - murowanego - skutku (pamiętamy - A jest nieskończone!).

Człowiek, świnia, gołąb i SF

2008-02-17T02:53:00.002+01:00

Wczoraj w ramach poszerzania horyzontów trafiłem na przezabawną, choć bardzo serio, prezentację dotyczącą "human computation" (tu ). W najogólniejszym zarysie chodzi o to, że wiele z rzeczy, które nawet niespecjalnie rozgarnięty człowiek robi bez problemów są dzisiaj poza zasięgiem komputerów, zatem najlepiej byłoby do ich wykonywania zaprząc jednak ludzi (co sporo kosztuje). Pomysł jest więc taki, że należy stworzyć techniki, które używałyby tego potencjału ludzkiego bez konieczności płacenia za to. Idealnie nadają się do tego gry, tak jednak przebiegle urządzone, że grając w nie dla zabicia czasu równocześnie wykonywaloby się użyteczną pracę. Jest kilka takich prototypów, które - jak twierdzi prelegent, a ponieważ zagrałem i naprawdę wciągają nie ma powodów mu nie wierzyć - udowodniły już swoją siłę i komercyjną użyteczność podejścia. Jedną z takich gier (od niej zaczyna się prezentacja) jest ta umieszczona pod adresem http://www.espgame.org/ .
Wpisuje się to w długą tradycję wykorzystywania zwierząt do różnych pożytecznych dla ludzi zadań bazując na ich naturalnych skłonnościach. Przykładem pięknym i sztandarowym jest używanie specjalnie tresowanych świń do poszukiwania trufli praktykowane swego czasu (może też i dziś) w krajach, gdzie owe trufle występują. Oczywiście przykłady można mnożyć - a to psy i ich węch, wykorzystywany chociażby do tropienia narkotyków, zbrodniarzy czy też zaginionych a to gołębie pocztowe i ich niezwykłe zdolności geograficzne używane kiedyś rutynowo itd. itp.
Tu, wykorzystuje sie ludzi i ich instynktowną, związaną z istnieniem świadomości, która bywa często zbędnym balastem, potrzebę zabijania nudy i, skądinnąd ale z podobnych regionów duszy pochodzącą, potrzebę rywalizacji. Odpowiednio zaprzężone w umiejętnie zaprojektowane przedsięwzięcie techniczne stają się jak się okazuje wartościową siłą napędzającą narzędzie obliczeniowe.
Nie wiem czy kantowska wytyczna by człowiek był zaqwsze celem nie środkiem w jakikolwiek sposób się tu aplikuje. Jest to trochę etyczna szara strefa. Ale zdaje się wszyscy na takim podejściu zyskują: ci co chcieli zabić nudę zabijają ją, ci, którzy chcą stworzyć oparte na tym rozwiązania tworzą je, użytkownicy owych produktów (do których zaliczają się i Ci którzy bawiąc się dostarczają zawartość) korzystają z nich do zadań które stawia przed nimi życie czy praca zawodowa.
Jeszcze jedna reminiscencja- pamiętacie Ragle Gumma z powieści czas poza czasem Dicka, który rozwiązuje szarady nieświadom tego, że w ten sposób bierze udział, jako genialny analityk w wojnie którą toczy Ziemia? Albo koncept zupełnie podobny w "Grze Endera" Orsona Scotta Carda, gdzie gra strategiczna w jakimś momencie staje się prawdziwą strategią poza świadomością rozgrywającego ją młodego człowieka. To właśnie ten pomysł...

Mieszczańskie popołudnie

2008-02-10T20:07:00.001+01:00

Skoro niedziela, wiedzeni imperatywem mieszczucha spędzającego weekend w mieście wybraliśmy się na spacer. Malo oryginalnie - ale jak mieszka się tu już 20 lat ciężko wysilać się na specjalną oryginalność - na Kazimierz i Podgórze.
Ludzie mają do Kazimierza różny stosunek. Dla jednych jest to największa knajpa Krakowa o wyraźnie, w stosunku do stołecznej Warszawy (że o równie stołecznym Londynie nie wspomnę), korzystnym stosunku ceny trunków do wystroju wnętrz przybytków w których można je spożyć. Są tacy co odnajdują tu dogodną, nieco dekadencką atmosferę w której swobodnie można się stoczyć (mnie również zdarzało się, zanim postanowiłem zostać filistrem, deklamować tu T.S.Elliota w oryginale świeżo zapoznanym koleżankom o 5 nad ranem gdy stężenie alkoholu we krwi szło o lepsze z nasyceniem powietrza dymem papierosowym). Inni popadają w kulturową egzaltację wyczuwając genius loci, w końcu jest to obowiązkowy punkt wycieczek przyjezdnych. Dla mnie, jest zawsze lekko smutny i niechorobliwie depresyjny. Łagodna esencja krakowskiego spleenu. Ilekroć tam dotrę, sam bądź z małżonką, ciska mną po tym kawałku miasta jak kulką w w zapomnianym już dziś w epoce gier wideo flipperze. I każde miejsce coś tam znaczy - odnajduję zapomniane nastroje, urywki rozmów, ludzi których kiedyś znałem.
Z satysfakcją obserwuję, że brzydota i zaniedbanie - moje pierwsze wrażenia z Kazimierza sprzed 20 lat - trzymają się mocno. Rozumiem - złotówki, funty i euro to ważna sprawa i rzeczą ze wszech miar pożądaną jest by stworzyć warunki w których ludzie z uczuciem jak największego komfortu i w estetycznym otoczeniu pozbywali się ich jak najgładziej na rzecz zblazowanych właścicieli pubów - ale tak egoistycznie i po ludzku, byłoby mi szkoda gdyby odmalowano wszystkie kamienice, wyrównano wszystkie bruki a niedzielny pchli targ wyniósł się gdzieś z Placu Nowego.
W dużej części odnosi się to do również do Podgórza, które na swój renesans chyba wciąż jeszcze czeka. Cichsze i spokojniejsze, w zakamarkach kryje różne grzeszne przyjemności. Kiedyś, gdy towarzyszyłem mojej żonie, która wybrała się tam do dentysty (dość ładny letni wieczór, tuż przed zmrokiem) usiadłem na schodkach jekiegoś zamkniętego już sklepu czy piekarni. Biorąc mnie za odpoczywającego przed dalszą pielgrzymką pijaka podeszła do mnie zatroskana pani wyprowadzająca psa na spacer i konfidencjonalnym tonem powiedziała: "Niech pan nie śpi. Już pana obserwują.". Tak, zdecydowania na Podgórzu można popaść w lekką paranoję...
Garstka zdjęć ze spaceru.

Zima po grecku

2008-02-08T17:02:00.000+01:00

Jedni Grecy, niemal przez przypadek (jak nie wierzyć w bogów ?), ale też dzięki własnej indywidualnej odwadze oraz swmu wrogowi Kserksesowi (nieudolnemu przerażonemu własną potęgą i skalą zamierzeń swego ojca do którego dziedzictwa nie dorósł), powstrzymali największa potęgę ówczesnego świata i rozglądają się w zdumieniu czego właśnie dokonali. Wiedzione przez perskiego wodza zjednoczone ludy Azji, ale i masa greckich i innych nieazjatyckich oportunistów, którzy zawsze przyłączają się do silniejszego, choć nie rozbite - pokonane. Tyle u Herodota, którego czytanie nieuchronnie kończę.

Inni Grecy, circa 200 lat póżniej, w hellenistycznym świecie po Aleksandrze, starożytnym multiculti, dokonują naukowej rewolucji, która, tylko co zapalona zaraz zgaśnie i to na długie wieki. Rewolucji zadziwiającej i zapomnianej, której ślady zaledwie wyłaniają się spoza dwudziestu kilku wieków. Traktuje o tym inna fascynująca książka, którą właśnie czytam: "Zapomniana rewolucja" Lucio Russo.

Co uderza, to dojrzałość naukowej myśli hellenistycznej. Dojrzałość metodologiczna, wyraźna na przykład u Archimedesa, ścisłość (ale i pomysłowość i piękno) dowodów, "nowoczesne" (pisze w cudzysłowiu, bo z tej perspektywy role się odwracają i pisząc właśnie o nowoczesnej dojrzałej myśli naukowej może trzeba używać pojęć jak "starożytna dojrzałość") traktowanie zagadnień, dbałość o precyzję. To wszystko zaowocowało również techniką, której dokładne osiągnięcia nie sa do końca znane ale która obrosła legendą, zbliżając się być może dla pokoleń późniejszych w owej legendzie do magii.

Jak doszło do regresu tej cywilizacji, która rozkwitła na tak krótko, na okres jakichś 200 może lat? Cóż, za rozwojem nauk nie szła wielka militarna potęga (nie ona była - o paradoksie - dziedzictwem Aleksandra), bo też cywilizacja ta nie była ufundowana na jednolitym i żądnym władzy imperium. Brutalna siła Rzymu a wcześniej lokalnych tyranii zniszczyła w dużej części dorobek naukowców helleńskich. W pierwszej chwili wydawało mi się to dziwne, ale w sumie łatwo to sobie wyobrazić. Myśl naukowa kwitła w niewielu ośrodkach wśród których najważniejsze miejsce zajmowała ptolemejska Aleksandria. Aktywnie działających "nowych" naukowców było może kilkuset, może mniej niż setka. Każda a indywidualna śmierć - a zdaje się w w okresie schyłku hellenizmu nie było o nią trudno, szczególnie jeżeli należało się do tego rodzaju elity, wyniszczyła ogromną część tego potencjału. Epigoni, uczniowie niezbyt pilni w burzliwych czasach, butni najeźdźcy i obskuranccy urzędnicy nie potrafili skorzystać z tego dziedzictwa. Najbardziej subtelne dzieła jeśli przetrwały - przetrwały przypadkiem. Praktyczną użyteczność dla zleceniodawców późniejszych kopistów miało to co natychmiast dało się przełożyc na: machinę wojenną, okręt, budynek, liczenie zysku lub straty czy lekarstwo. Abstrakcyjna struktura z której utkana jest nauka, prawdy nieprzekładalne natychmiast na praktykę, które budują opłacalne w końcu ze względów równiez praktycznych zrozumienie rzeczywistości, wszystko to uległo jednak w znacznej mierze destrukcji. Przetrwały tylko niektóre skarby, albo ich odległe odbicia w komentarzach czy przypisach, dając nam dziś zgrubne pojęcie o owej kulkturze i nauce jaką stworzyła. Kilkanaście wieków trwał powrót na ową zapomnianą ścieżkę, na której pownownie wyłoniła się formacja kulturowa zwana nauką ...

Czytam dopiero, nawet nie zabrnąłem za daleko.... Nie wiem do jakich wniosków dojdzie autor. Podtytuł sugeruje, że refleksja nad związkiem między tamtą, starożytną historią a dzisiejszymi czasami będzie omówiony dokładniej. Ale książka daje do myślenia od pierwszych stron.
1. Wcale nie jesteśmy aż tak mądrzy jak nam się wydawało. 23 stulecia temu np. poziom wiedzy matematycznej i fizycznej ówczesnych elit naukowych znacznie przekraczał poziom wiedzy typowych absolwentów dzisiejszych szkół średnich.
2. Historia jest przypadkowa. Inny bieg wydarzeń politycznych i nie wykluczone, że cywilizację o podobnym naszej zaawansowaniu technicznycm zbudowano by o tysiąclecie wcześniej (fantazja? owszem, jak każde gdybanie).
3. Nie jest prosto wydobyć się z mroku. Trzeba wielu setek lat. To co płonie natomiast może być zdmuchnięte. Warto o tym pamiętać, gdyby przyszło nam do głowy zgodzić się na to, by dzieci w szkołach uczono bzdur by zadowolić religijnych fanatyków różnej maści, albo gdy dopuszczamy do marginalizacji nauk ścisłych w procesie edukacji.

Matematyka nie jest łatwa, niestety.

2008-01-17T00:19:00.000+01:00

Zaklinowałem się przy próbie zrozumienia kilku dowodów i opanowania paru technik w teorii liczb, których znajomość jak sądzę ułatwiłoby mi kolejne podjęcie próby ataku na równanie Brocarda-Ramanujana. Człowiek czasem staje przerażony ogromem swojej niewiedzy i mozolnością z jaką ją zdobywa i z jaką przychodzi zrozumienie. Co tu kryć, czuję się strasznie ograniczony. Cięzko mi sobie nawet wyobrazić rozmiar przedsiewzięcia na które z sukcesem poważyli się np. Wiles lub Perelman atakując i rozwiązując problemy o ileż trudniejsze i jakże wielkiej wiedzy, mozolnej pracy, wieloletniego napięcia uwagi i w końcu pomysłowości i geniuszu wymagające. Czy po takim wysiłku mogą chciec dokonać, więcej, czy są w stanie? Czy potem człowiek może czuć coś innego niż uczucie wypalenia i pustki, bo dzieło jego życia dokonało się już.
A ja - zardzewiały, rozleniwiony, rozpuszczony w codzienności nie jestem w stanie wskrzesać z siebie maleńkiego ułamka ich mocy i nie znajduję ułamka ich zdolności. Smutne to w sumie. Uczy pokory, ale i podziwu.

Trójki i równania - medytacje

2008-01-10T14:56:00.001+01:00

W walce o dobra trójkę ABC naturalna heurystyka nakazuje szukać wśród rozwiązań równań diofantycznych ogólnej postaci:
<suma dwóch iloczynów z potęgami>=<iloczyn z potęgami>
takich rzecz jasna by kontrolować jeszcze "względną pierwszość" pary składników sumy i składników i wyniku.
Ten sposób myślenia jest niejako dualny do powodu z jakiego w ogólę hipotezę ABC postawiono, o czym jeszcze kiedyś napiszę (będę wówczas filozofował i wyrażał się w terminach skrajnie ogólnikowych). Dziś tylko raportuję o zaprzątających mnie medytacjach nad równaniami.
Wobec heurezy wspomnianej na początku, jako naturalny punkt wyjścia do poszukiwań dobrych trójek, przyjąłem poszukiwanie rozwiązań równania Pella:

x^2-D*y^2 = 1

To bardzo dobrze znane (od starożytności) i nieźle zbadane równanie, z grubsza spełniające sformułowany na początku postulat. Daje też niejakie nadzieje na znalezienie dobrych trójek, gdyż wśród 215 dobrych trójek na górze rankingu, dwie pochodzą od rozwiązań tego równania, mianowicie

Rozwiązanie równania: x^2 - (3*547)*y^2 = 1 daje 66 w rankingu trójkę (A=1, B= 2^4*3^7*547 C=5^8*7^2) z alfa=1.439063 znalezioną przez Benne M.M. de Weger
Rozwiązanie równania: x^2 - (2*3)*y^2 = 1 daje 34 w rankingu przepiękną trójkę (A=1, B= 2^5*3*5^2 C=7^4) z alfa=1.455673 również znalezioną przez Benne M.M. de Weger

Zaletą równania Pella jako źródła materiału do przeczesywania jest własnie to, że jest tak dobrze zbadane, ma rozwiązania przy niewielkich założeniach o D (ważne, żeby nie było kwadratem), które to rozwiązania zachowują się bardzo regularnie.

Nawiasem mówiąc znacznie większa ilość trójek w rankingu pochodzi z wyników algorytmicznego poszukiwania i badania rozwiązań innego równania:

K*x^n-L*y^n=M*z.

Atrakcyjność tego ostatniego dla poszukiwań trójek płynie z faktu, że można przyjmować względnie wysokie wykładniki n i dobrze dobierać współczynniki K,L i M licząć, że po wstawieniu za x, y i z rozwiązań równania przy owych parametrach, dostaniemy trójkę z dużym alfa. Eksploatował je z wielkim powodzeniem w tym kontekście Abderrahmane Nitaj.
Ja jednak chwilowo (i w ogóle nie sportowo podchodząc do zagadnienia dobrych trójek, nie rzucając się jak wilk na algorytmy Nitaja by zapisać swoje nazwisko w "hall of fame") zatrzymałem się przy równianiu Pella, którego wszędobylskość w elementarnej (i tej nie całkiem już elementarnej) teorii liczb z wypiekami na twarzy odkrywam. Spotyka się tu fascynująca tematyka ciągów Lucasa , aproksymacji diofantycznych (szczególnie zaś ułamków łańcuchowych), zagadnień obliczeniowych w teorii liczb (np. rzućcie okiem tu), ciał kwadratowych i wielu, wielu innych.
Przy okazji zabaw z równaniem Pella, albo ogólniej, na wycieczce w świat równań diofantycznych, natrafiłem na ciekawe równanie Brocarda-Ramanujana postaci:

n!+1 = m^2

którego znamy trzy rozwiązania, (4,5), (5,11), (7,71). Zbadano, numerycznie, że dla n < 10^9 nie ma innych rozwiązań. Nie ma jednak na razie dowodu, że rozwiązań jest skończenie wiele - chyba, że przy założeniu prawdziwości hipotezy ABC. Wtedy mamy nawet silniejszy rezultat (np. tu ). Ale przy prawdziwości hipotezy ABC, to można dowieść hu hu... Tak dużo, że nie zanosi się na razie na dowód samej hipotezy (a wielu wątpi w jej prawdziwość w ogóle).
Z różnych powodów wydaje mi się jednak, że tezy o skończonej ilości rozwiązań równania Brocarda-Ramanujana można jednak dowieść bez hipotezy ABC, co nie jest jednak na pewno łatwe, przez co dziś jestem trochę niewyspany i rozkojarzony ;).

Varia(t?)

2008-01-03T17:30:00.000+01:00

Varia

Fragment opisu książki (z Merlina):
... podręcznik teorii mnogości napisany przez doświadczonych wykładowców. Zawiera cztery części: - elementarny wykład ze wstępu do matematyki - aksjomatyczną terapię mnogości, arytmetykę liczb porządkowych i liczb kardynalnych - zastosowania teorii mnogości ...

Hmmm... trafne. Aksjomatyka była jednym z lekarstw na brnącą w paradoksalność złudną oczywistość naiwnej teorii mnogości. Czyż Zermelo:

nie jest choć trochę podobny Freuda:

?
Bo przecie nie do mnie:

Dobra, koniec żartów z poważnych spraw.

Rodzi się naturalne pytanie. Czy gdyby przeznaczyć tyle pieniędzy ile wynosi budżet CBA na rozwiązanie hipotezy ABC byłaby szansa popchnąć ją do przodu troszeczkę? Na razie za zupełną darmochę można powalczyć w nieustającym konkursie na dobre trójki ABC, tzn takie trzy liczby naturalne A, B, C parami względnie pierwsze, że:
1. A+B=C
2. alfa = log(C)/log(rad(ABC)) > 1.4
gdzie log to logarytm (powiedzmy dla ustalenia uwagi, że przy podstawie naturalnej, co oczywiście nie ma tu znaczenia), zaś rad to radykał liczby a więc iloczyn wszystkich ich dzielników pierwszych.
Chwilowo znanych jest kilkaset dobrych trójek. Rekord:
A = 2
B = 3^10*109
C = 23^5
alfa = 1.62991 (w przybliżeniu rzecz jasna).
Jeśli ktoś chce się pobawić w bicie rekordów, polecam PARI/GP jako kalkulator. Łatwo zdefiniować tam na przykład liczenie radykałów (których standardowo tam nie ma):

radical(x)=
{

storage = factor(x)[,1];
prod(X=1,#storage, storage[X])
}

Skoro o trójkach i trójcach mowa, w książce "A Shorter Model Theory" pióra Wilfrida Hodgesa (mam niemiłe uczucie porównywalne do tego które wywołuje widok osoby gryzącej wełniany sweter kiedy muszę odmienić anglosaskie nazwisko), znalazłem takie oto ćwiczenie, zresztą pierwsze jakie w ogóle tam jest (tłumaczenie moje więc nienajlepsze):
...
Za Tomaszem z Akwinu, Bóg jest strukturą G z trzema elementami 'pater', 'filius' i 'spiritus sanctus', o sygnaturze składającej się z jednej asymetrycznej binarnej relacji ('relatio opposita') R, nazywanej 'relatio originis'. Tomasz twierdzi również, że trzy elementy moga być jednoznacznie wyznaczone w terminach relacji R^G. Wydedukować, tak jak to zrobił Tomasz z Akwinu, że jeżeli pary (pater, filius) i (pater, spiritus sanctus) leżą w R^G, to dokładnie jedna z par (filius, spiritus sanctus) i (spiritus sanctus, filius) leżyw R^G.
...

Wyraźną linię tematyczną dzisiejszego wpisu (ba - harmonię!) łamie tylko, niczym fałszywa nuta, fakt, że kolega Tomasz z Akwinu nie był w ogóle brodaty:

:-(

Remanenty

2007-12-28T16:01:00.000+01:00

Czas na mały remanent.

Statystyki (niezbyt imponujące) od czasu kiedy zacząłem mierzyć w kwietniu:

1236 odwiedzin
1689 odsłon stron
53% odwiedzin ze stron referujących tu - zważywszy, że jest ich niewiele - dający do myślenia wynik.
40% odwiedzin przez zbłąkanych guglających.
1:44 - średni czas spędzony na stronie.
53% to osoby powracające do strony - zadziwiająco dobrze skorelowane z procentem odwiedzin przez strony referujące do homo sapie...

Jak więc widać przedsięwzięcie jest raczej natury osobistej i jego zaprzestanie nie pozostawi w rozpaczy rzeszy wiernych fanów... Oczywiście mam plan aby kontynuować nie zrażając się tym moją przygodę z blogowaniem. Choć, muszę się przyznać, że kusi mnie żeby przenieść cały kram na wordpress, bo mają tam po prostu boski feature - można wstawiac wzory matematyczne "texowe" w blogu i maszyna je kompiluje do obrazków. Kurczę - to naprawdę świetna rzecz.

Tyle o blogu. Generalnie - co ważne - nie jest to rok który, w wymiarze osobistym, zamieszkałby w którymś ogonie krzywej Gaussa, jakikolwiek parameter chciałoby się badać. Udało się porażki uczynić umiarkowanymi a z sukcesami nie przeginać. Patrząc szerzej, pogonienie PiS-u czyni go jednak trochę wyjątkowym i zasługującym na przymiotnik "dobry".

Cierpliwie czekam na następny i życzę sobie i garstce czytelników spokoju i wiele dobrego.

Aha, zwalniam miejsce na marginesie na książki roku 2008 a listę lektur ukończonych w roku 2007 (just for the records) zamykam poniżej:

Eugeniusz Grodziński "Paradoksy semantyczne"
Michał Heller "Pdróże z filozofią w tle"
Richard Wragham, Dale Peterson "Demoniczne samce"
Vladimir Nabokov "Oko"
Umbert Eco "Semiologia życia codziennego"
Ryszard Kapuściński "Podróże z Herodotem"
Richard P .Feynman "Przyjemność poznawania"
Tom Standage "Historia świata w sześciu szklankach"
Peter Heather "Upadek Cesarstwa Rzymskiego"
Andrzej Kajetan Wróblewski "Historia fizyki"
Willard Van Orman Quine "Od bodźca do nauki"
Vladimir Nabokov "Pnin"
Vladimir Nabokov "Obrona Łużyna"
Ian Stewart "Histerie matematyczne"
Steven Lukes "Niezwykłe oświecenie profesora Caritata"
Konstantin Waginow "Harpagoniada"
Tadeusz Isakowicz-Zaleski "Księża wobec bezpieki"
Alfred W. Crosby "Imperializm ekologiczny"
Wojciech Dudkiewicz "Ślady po PeeReLu. Nieodległa Rzeczywistość"
Bernard-Olaf Küppers "Geneza informacji biologicznej. Filozoficzne problemy powstania życia"
David Edmods, John Eidinow "Pogrzebacz Wittgensteina"
Barbara Skarga "Granice historyczności"
Maguelonne Toussaint-Samat "Historia naturalna i moralna jedzenia"
Albert Camus "Człowiek zbuntowany"
Andrew Baker "Introduction to Galois Theory"
Rafał A. Ziemkiewicz "Michnikowszczyzna"
Józef Kozielecki "Banach geniusz ze Lwowa"
Richard P. Feynmann "Pan raczy żartować, panie Feynman!"
Hugh Brogan "Historia Stanów Zjednoczonych Ameryki"
R.Makłowicz, S.Mancewicz "Zjeść Kraków"

Robię się sentymentalny

2007-12-27T22:38:00.000+01:00

co tu będę krył. Dorwałem się to youtube i podgrzewam nastrój eklektycznym wyborem duszoszczypatielnych kawałków o których dziś nikt już nie pamięta. Co za ulga po tonach sieczki jaką nachalnie wcisnęły w ostatnich dniach w moje uszy środki masowego przekazu ze szczególnym uwzględnieniem telewizji. Urządziłem więc sobie podróż do melodii zapomnianych - naturalnego środowiska dźwiękowego dla różnych wódek wypitych w akademiku i w ogóle czasów kiedy przyszłośc miałem przed sobą . Choćby to lub to, że o tym nie wspomnę... I wiele wiele innych... A że piję do tego piwko - trudno taka już moja pierwotna i dzika uroda.

Troche poza konkursem i nie w głównym nurcie tego postu, ale warte przytoczenia skoro już o muzyce mowa: Bobby McFerrin coś może nas o niej nauczyć.

Dziwny wieczór

2007-12-15T02:13:00.001+01:00

Miała być luźna impreza pożegnalna, którą ze względu na małe niedomagania miałem opuścić szybko. A były, poza oczywiście miłą atmosferą i wesołym bisiadowaniem dwie ciekawe rozmowy. Jedna z kolegami zajmującymi się programowaniem FPGA - fascynujący świat na pograniczu informatyki i hardware. Inne problemy, inna rzeczywistość - sąsiednie biurka a jaka nieznana mi, poza popularną wiedzą, dziedzina. Chętnie dostałbym szansę, żeby się w tym światku poobracać - jakaż byłaby to miła odmiana. Czuję, że w tej dziedzinie czają się jeszcze wielkie wyzwania.
Druga - o Bogu, chrześcijaństwie, biblii, ateiźmie, relatywiżmie i agnostycyźmie i oczywiście polityce. Bez zacietrzewienia, spokojnie. Ważyły się argumenty - nie za czy przeciw Bogu czy religii. Raczej o punktach widzenia, założeniach przyjmowanych i konsekwencjach tych założeń. O koegzystencji różnych stanowisk i o tym gdzie są granice za którymi zaczyna się jakaś forma gwałtu. Co jest akceptowalne co nie. Zbiegło się to z zakończeniem czytania książki księdza profesora Michała Hellera. Musze koniecznie coś zanotować - nie teraz, teraz jestem zmęczony i będę szedł spać - zanim różne myśli nie zatrą mi się w pamięci.
Udany wieczór, tylko żonę zostawiłem samą w domu - chyba narozrabiałem przychodząc tak późno...

Herodot i małpy.

2007-12-10T18:12:00.000+01:00

Jest taki stary dowcip o Janku Muzykancie, który siedzi nad brzegiem strumyka z wsytruganą z wierzbiny fujarką i rozmyśla: Bach, wielki muzyk, ale cóż, Bach nie żyje, Beethoven, wspaniały kompozytor - piąta, dziewiąta, ale cóż, Beethoven też nie żyje, a i ja, po prawdzie, też coś się kiepsko czuję.
Tak właśnie i ja się kiepsko czuję ostatnio i niesporo idą mi wpisy. Grudzień - choć to zaledwie jedna trzecia miesiąca minęła - niemal stracony dla blogowania. Wyniki za listopad, że o październiku nie wspomnę - gorzej niż marnie.
Czytam sobie, zachęcony oczywiście przez Kapuścińskiego, Herodota i przyznaję, że bawię się tą lekturą setnie. Co prawda łatwo sie pogubić w natłoku nazwisk, nazw i meandrach genealogii i geografii - Herodot bywa dość chaotyczny, ale pyszność angdot i pewna, chciałoby się powiedzieć generyczność wątków rekompensuje czujność jaką należy wykazywać przy lekturze. Tak, właśnie generyczność wątków - pewna archaiczna prawdziwość a może archetypiczność tych historii, ich wymowa ocierająca się o morał w bajce - cechy literatury z czasów swego dziecięctwa, gdy mogła zachować świeżość pozwalając sobie jednocześnie na pewną naiwność i nie musiała jeszcze w nazbyt wyrafinowany sposób igrać z formą.
Nie przesłania to faktu, że historie opowiadane przez Herodota są straszne i krwawe. Może z tego względu dobrze mi się czyta Herodota równolegle do innej książki, głośnego swego czasu bestsellera "Demoniczne samce". To w sumie ponura książka i wcale niewesołe myśli przywołuje. Przede wszystkim dlatego, że zjamuje się materią dość ciężką a mianowicie dociekaniem istoty i roli przemocy w świecie ssaków, ze szczególnym uwzglednieniem ssaków naczelnych i oczywiście człowieka - bo z ludzkiej perspektywy te zagadnienia stają się interesujące i fascynujące. Książka jest drastyczna i dość detaliczna w opisie aktów przemocy. Jest coś przerażającego w tej podróży do naszych początków, do miejsca w którym jeszcze nie byliśmy ludźmi i gdzie wszystko to co jakoś tam dziś udało nam się przykryć warstewką kultury było przyrodzonym nam sposobem życia. Uświadamia też - kiedy przejrzymy się niczym w krzywym zwierciadle, albo jeszcze lepiej, w gazetowej karykaturze wyolbrzymiającej cechy charakterystyczne aż do przerażającej przesady swemu odbiciu czy parodii w świecie najbliższych nam genetycznie kuzynów ze świata zwierzęcego - że w zasadzie wciąż tkwimy w tym samym uwikłaniu na które skierowała nas ewolucja, przystosowując stado do życia. I o ile ewolucja w swej niemoralności, kierując się jedynie kompasem sukcesu reprodukcyjnego nie omija obszarów gdzie pojawia się to co my nazywamy cierpieniem, okrucieństwem czy - tautologicznie - bestialstwem o tyle dla nas, dla ludzkości jako takiej, jest to w obliczu posiadania świadomości wyższej, abstrakcyjnej, każącej sie wobec cierpienia buntować, zdolnej do wynalezienia kategorii zła - problem fundamentalny, pęknięcie konstytuujące nasze odczuwanie świata i postrzeganie siebie samych, tak jako gatunku jak i indywidualnych osobników.W tym spięciu tego co zwierzęce, ale zarazem niewinne i tego co ludzkie, co jest innym darem ewolucji - myślenia i świadomości - tworzy się religia, moralność, rytuał i kara. Ten moment spięcia to biblijne wygnanie z raju - zerwanie owocu z drzewa poznania.
Można też, a jest to niemiłe uczucie, patrzeć na poszczególnych ludzi, na zdarzenia w których brało się udział, na siebie samego w końcu, w kontekście tego co wiemy o życiu naszych krewnych w świecie zwierzęcym. Nie na zasadzie bajkowej alegorii, ale przez pryzmat owego karykaturalnego wyolbrzymienia pewnych cech, przy zaniku subtelności i szczegółów. Analogie zachowań, strategii są boleśnie wyraźne, z jednej stronie stawiając przed nami świadectwo naszej własnej małości, naskórkowści tej warstwy która uczyniła ze zwierząt ludzi, z drugiej w naoczny sposób dowodząc bliskości gatunków i prawdy o ich wspólnym pochodzeniu.
Zestawiam sobie - by nie popaść w pesymizm odnosząc refleksje zbyt wyraźnie do współczesności, do ludzi, którzy mnie otaczają i do społeczeństwa w którym przyszło mi żyć - to co wyczytam u Wraghama i Petersona z tym co przeczytam u wciąż żywego, ale bezpiecznie pokrytego patyną wieków Herodota, z jego opowieści czyniąc sobie laboratorium. Tak jest milej i mniej strasznie - choć wcale nie miło. Aż dam się znowu wciągnąć na dobre jego historii: marszom, wojnom, intrygom z wypiekami na twarzy śledząc upadki i wzloty królestw, zmagania o posiadanie władzy, złota i kobiet. I znów jestem sobą...

Czytając "Drogę do rzeczywistości"

2007-11-28T18:29:00.000+01:00

Zaczęło się. Przystąpiłem do lektury "Drogi do rzeczywistości" Penrose'a. Początek jest fantastyczny. Pierwsze niemal dwieście stron po prostu pożarłem.
Już po pierwszych rodziałach muszę się zgodzić, z opinią, która w którejś z recenzji przeczytałem, że książka trafi najlepiej do tych, którzy sprawy już znają od technicznej strony. Rzeczywiście, fragmenty które już znam to dla studiujących matematykę lub fizykę taka mała powtórka w lekko tylko technicznym języku. U osób, które nie przeszły kiedyś pewnych dróg solidnie - ćwicząc i cierpliwie pracując, wiele stwierdzeń może być niezrozumiałych. Dla osób które przećwiczyły kiedyś w swoim życiu ten materiał ale nie obcują z nim na codzień jest to pewien pretekst by odkurzyć podręczniki i przypomnieć sobie co nieco w nieco bardziej formalnym ujęciu. Bądź co bądź, "Droga do rzeczywistości" zalicza się do literatury popularnonaukowej - ale wyraźnie odstaje od jej głównego nurtu, nie idzie na łatwe kompromisy.
Z drugiej strony, czytam na razie tę książkę z nieustającym uczuciem niedosytu.
Cierpię jak przy lekturze każdego przewodnika: co innego turystycznie prześliznąć się z miejsca na miejsce, co innego zabawić dłużej, co innego zdobyć garść informacji okraszających rzut oka na tę czy tamtą fasadę, na ten czy ów obraz czy rzeźbę (że posłużę się przewodnikową terminologią w nawiązaniu do podtytułu książki), co innego zgłębić się w monografię, a potem poogladać każdy kamień, wśliznąć się w każdy zakamarek.
Kolejna refleksja po pierwszych rozdziałach: każdy temat domaga się wręcz przystanku, ale na następnej stronie czai się kolejny, do którego chciałoby się łapczywie dojść. Na razie, poruszając się po obszarach znanych, mimo, że zachwycony krajobrazem łaknę - jak turysta prawdziwy - jak najszybciej dotrzeć do nieznanych miejsc. Nie wiem, czy jednokrotne przeczytanie tej książki wystarczy. Czy zrozumienie dla tego co czytam płynące z faktu, że czytam o czymś co poznałem znacznie ściślej w przeszłości nie zamieni się w uczucie zagubienia kiedy dotrę do miejsc w których tego ekwipunku już mieć nie będę ? Szkoda by było, bo naprawdę bardzo bym chciał, więcej niż tylko powierzchownie pewne sprawy pojąć.
Mam więc pewien pomysł. Otworzę zupełnie nowego bloga, poświęconego wyłącznie książce Penrose'a, a właściwie dyskusji tematów, gromadzeniu notatek i uwag dotyczących tego co Penrose pisze. Chcę pozostawać na tym blogu w silnym zwiążku z książką z poszczególnymi tematami, ba wręcz z rozdziałami, ponieważ liczę, że trafią tam również inni jej czytelnicy i wspólnie skonsumujemy to wyjątkowe dzieło.
Na ile znam swój bloggerski zapał, pewnie książkę skończę, przynajmniej prierwsze czytanie, zanim zdązę zamieścić choćby kilka postów. Ale kto powiedział, że nie warto przeczytać jej więcej razy, albo po prostu, czytać ją ciągle, wracając do miejsc, w których się już było ? Dobre książki nigdy się nie kończą. Skoro coś warto było, a tak twierdzi Penrose, pisać coś przez osiem lat, warto to pewnie przez tyle lat czytać.
Aha, link.

Luźne myśli...

2007-11-13T17:22:00.000+01:00

Skończyłem czytać uroczą - jeśli można tak o tego typu literaturze powiedzieć - książeczkę, zawierającą wybór z wywiadów, okolicznościowych przemówień, i innych tego typu miscelanea Richarda P. Feynmana. Rzecz jest niezwykle przyjemna i wielotematyczna. Jest trochę o nauce, czym jest i wjakim stylu należy a jak nie należy jej uprawiać, trochę o poznawaniu świata i jak uczyć tej umiejętności, odrębny raport Feynmana po katastrofie promu Challenger w 1986 roku, uwagi o religii i jej stosunku do nauki, o odpowiedzialności naukowców i tym co jest ich obowiązkiem a co nie, dwa wizjonerskie artykuły dotyczące miniaturyzacji i komputerów przyszłości, oraz nanotechnologii i masę pysznych anegdot i wspominków. Bardzo gorąco polecam.
Po lekturze tej książki, ale przede wszystkim po lekturze autobiagoficznej "Pan raczy żartować panie Feynman" i biografii "Geniusz" autorstwa Glucka, dochodze do wniosku, że podziwiam tę postać, ale z drugiej strony zdaję sobie sprawę, że gdybym miał z nią obcować z Feynmanem w życiu codziennym, np. pracując na tej samej uczelni, pewnie odczuwałbym do niego niechęć, albo zwyczajnie by mnie irytował. To taka mała refleksja, która pewnie nie świadczy najlepiej o mnie samym, kiedy się wgłębię w przyczyny tej niechęci...
Nie będę jednak tuataj tego analizował, myśl, która nawiedziła mnie dziś rano jest bowiem nieco inna. Odeszło, bądź właśnie odchodzi pokolenie które wydało Feynmana. To niezwykłe pokolenie, ktore ma za sobą gigantyczne osiągnięcia. Pokolenie wizjonerskie, które sprawdziło się doskonale w działaniu. Wysłało ludzi w kosmos, na księżyc, okiełznało energię jądrową, wyprowadziło świat z chaosu wojny, przeprowadziło go wąską ścieżka nad krawędzią zagłady w czasach powojennych i położyło podwaliny pod wielkie projekty polityczne i gospodarcze naszych czasów. Ich impet stymulował jeszcze naszych rodziców - a więc ich dzieci.
Próbowali nas czegoś nauczyć. Zawsze w śródku sporów politycznych i innych które rozgrywają się na naszych oczach, przypominam sobie moją babcię, która przeżyła - choć z wielkim dla siebie szwankiem - pogromy wołyńskie. Nigdy nie wyczułem u niej cienia nienawiści do ludzi, którzy przecież wyrządzili jej i w jej przytomności tyle krzywd. To też część historii, z którą Oni, mimo że jej bezpośredni świadkowie czy ofiary, potrafili się zmagać lepiej chyba niż my. Brak nam będzie doświadczenia i gorzkiej mądrości, ale i zapału i energii owych ludzi. Nie wiem czy stać nas dzisiaj, na odwagę, czy sprostamy wysiłkowi podtrzymania czy też dorównania dziedzictwu tego pokolenia.
Wczoraj w telewizji słuchałem jakiejś okolicznościowej mowy profesora Bartoszewskiego. Z innej beczki to zupełnie, niż owa książeczka Feynmana, ale refleksja która przyszła - ta sama. Wkrótce wszyscy Oni odejdą. Czy naprawdę ich dzieci (te to jeszcze, zaraz same zaczną wymierać), ale ich wnuki poradzą sobie ze światem, z wyzwaniami przed jakimi stoi ludzkość i państwo w XXI wieku ? Czy wśród tylu osiągnięć nie odnieśli jednej porażki - wychowawczej?